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unter einem Ansatz von a ehrgeizig versteht sich im exakte Wissenschaften ein numerischer Wert, der für einen bestimmten praktischen Zweck dem genauen Wert dieser Größe hinreichend nahe kommt.

So wird es für a Zimmermann in jeder praktischen Situation reicht der Wert 22/7 als Näherung für die Zahl π benutzen. Neben numerischen Näherungen für Größen werden auch Näherungen für Funktionen und ganze Probleme.

Ansätze werden verwendet

• wenn der genaue Wert nicht bekannt ist, zum Beispiel für physikalische Größen;
• wenn der genaue Wert nicht mit endlich vielen Stellen ausgedrückt werden kann, wie bei der Zahl π;
• ein Problem zu vereinfachen, ohne viel Präzision zu opfern; So ist das Finite-Elemente-Methode eine Methode, sich einem komplexen Problem durch ein einfacheres, überschaubares Problem zu nähern, für das eine Lösung gefunden werden kann, die der Lösung des ursprünglichen Problems hinreichend nahe kommt.

Ansätze werden gegeben von:

• Zahlen (Konstanten);
• Formeln (von einem Taschenrechner)
• Funktionen um einen Funktionswert herum;
• Funktionen in einem Intervall;
• Algorithmen; usw.

Zahlen

Eine einfache Methode zur Approximation von Zahlen ist die Komplett auf eine begrenzte Anzahl von Nachkommastellen, zum Beispiel:

${displaystyle { frac {1}{3}}ca. 0,333}$

Konstanten

Die Nummer ${Anzeigestil pi}$ erreichbar über ${Anzeigestil 3.14}$, aber auch von ${displaystyle { frac {22}{7}}}$ und ${displaystyle { frac {1}{3}}{Quadrat {120-18{Quadrat {3}}}}}$.

Als Näherung des Lichtgeschwindigkeit sieht man oft: ${Anzeigestil c=}$ 299.792.458 km/s 300.000 km/s.

Eine Annäherung an die Schwerkraftbeschleunigung ist ${displaystyle gca. }$ 9,81 m/s² ≈ 10 m/s²

Die meisten physikalische Konstanten wurden experimentell ermittelt und sind somit Annäherungen an die Realität.

Bemerkungen

Die Zahl 0,999 ist eine Näherung von 1, aber die sich wiederholender Bruch 0,9999... (mit einer unendlichen Anzahl von Neunen) ist gleich 1. Ebenso ist 0,333 eine Annäherung an den Bruch 1/3, aber 0,33333... (mit unendlich vielen Dreien) ist gleich 1/3 .

Wiederholung

Ergebnis der iterativen Approximation der Wurzel mit der Methode im Text. Die schwarzen Punkte sind die aufeinanderfolgenden Näherungen mit der richtigen Startschätzung 6, die blauen Punkte sind die Näherungen mit der schlechten Startschätzung 2. Die rosa Linie ist ${displaystyle {sqrt {40}}}$.

Ein Taschenrechner berechnet in einigen Fällen ein Ergebnis durch Addieren von a iterativ Näherung, bis die Genauigkeit außerhalb der Reichweite des Rechners liegt (ca. 12 Stellen). Hier ist ein Beispiel für die Berechnung der Wurzel von 40, mit der Iteration:

${displaystyle x_{0}=6}$

als erste Näherung und

${displaystyle x_{n 1}={ frac {1}{2}}(x_{n} { frac {40}{x_{n}}})}$

Damit folgt:

${displaystyle x_{1}={ frac {1}{2}}(6 { frac {40}{6}})=6{,}333ldots }$

${displaystyle x_{2}={ frac {1}{2}}(x_{1} { frac {40}{x_{1}}})=6{,}3245614ldots }$

${displaystyle x_{3}={ frac {1}{2}}(x_{2} { frac {40}{x_{2}}})=6{,}3245553ldots }$

Vergleichen Sie das Ergebnis mit:

${displaystyle {sqrt {40}}=6{,}3245553203ldots}$

Diese Iteration ist sehr schnell zusammenlaufend: Nach nur fünf Iterationen übersteigt die Genauigkeit die Genauigkeit eines Taschenrechners.

Allgemeiner ausgedrückt können Gleichungen numerisch angenähert werden, indem zum Beispiel die Newton-Raphson Algorithmus oder die Regula Falsi.

Funktionen um einen Zahlenwert herum

Gemeinsame Ansätze

Das paraxialer Zugang von geometrische Optik (einschließlich der Objektivhersteller Vergleich) basiert auf folgenden Ansätzen:

${displaystyle sin(heta)ungefähre heta}$

${Anzeigestil cos(heta)ungefähr 1}$

${displaystyle an(heta)={frac {sin(heta)}{cos(heta)}}ungefähre heta}$.

Andere gängige Ansätze:

${Anzeigestil (1x)^{n}ungefähr 1nx}$

Gilt nur für ${Anzeigestil-Heta}$ oder ${Anzeigestil x}$ auf 0 gehen und ${Anzeigestil-Heta}$ im Bogenmaß.

Alle diese Rundungen basieren auf dem taylor serien entwicklungen und kann daraus abgeleitet werden.

Entwicklungen der Taylor-Reihe

Jede Funktion kann in der Nähe eines Funktionswertes angenähert werden, gemäß der Taylor-Reihenentwicklung

${displaystyle f(x)=sum _{n=0}^{k-1}{frac {(x-x_{0})^{n}}{n!}}f^{(n)}(x_ {0}) R_{k}}$,

oder (abgemeldet):

${displaystyle f(x)approx f(x_{0}) f'(x_{0})(x-x_{0}) { frac {1}{2}}f''(x_{0})(x -x_{0})^{2} { frac {1}{6}}f'''(x_{0})(x-x_{0})^{3} ldots }$

In vielen Fällen nur die Lineare Näherung verwendet, d. h. die Entwicklung erster Ordnung:

${Anzeigestil f(x)approx f(x_{0}) f'(x_{0})(x-x_{0})}$

Beispiel

Drunter ist ${Anzeigestil f(x)=sünde(x)}$ mit einer Taylor-Reihe angegangen. Die schwarze Kurve ist die "richtige", das dunkle Orange repräsentiert den Taylor-Ansatz. Von links nach rechts: lineare Näherung (erster Ordnung), zweiter Ordnung und dritter Ordnung. Es wird rundherum angefahren ${displaystyle x=pi /4}$ (in der Mitte der Abbildung).

Weit entfernt vom angenäherten Funktionswert verschwindet die Korrespondenz mit der Kurve. Unten ist die Näherung dritter Ordnung, die sehr unterschiedlich ist:

Nun ist die Näherung von ${displaystyle sin(heta)}$, ${Anzeigestil cos(heta)}$ vor dem ${Anzeigestil x}$ Null anzeigen (zuerst die Näherung dritter Ordnung, dann die Näherung zweiter Ordnung):

${displaystyle sin(x)ca. x-{ frac {1}{6}}x^{3}ca. x}$

${displaystyle cos(x)ca. 1-{ frac {1}{2}}x^{2}ca. 1}$

Funktionen in einem Intervall

Splines

Eine willkürliche Kurve kann angenähert werden durch a Spline indem Sie in einem Intervall durch eine Anzahl von Punkten auf dieser Kurve wählen und dann die Funktionswerte verbinden. Sowohl die Auswahl der Punkte als auch das Verbinden dieser kann auf unterschiedliche Weise erfolgen:

Punkte auswählen

Eine erste Möglichkeit besteht darin, das Intervall gleichmäßig zu teilen, zum Beispiel haben wir das Intervall [0,5], dann wählen wir die Punkte 0, 1, 2, 3, 4 und 5. Offensichtlich berücksichtigt diese Division nicht die Komplexität von a Funktion - Orte, an denen sich viel ändert, bekommen genauso viele Punkte wie Intervalle, an denen nichts passiert.

Verbindungsauswahl (Interpolation)

Die erhaltenen Punkte (Funktionswert der oben ausgewählten Punkte) können linear (mit einer Linie) verbunden werden. Auch eine quadratische (kubische) Interpolation ausgetragen werden.

Beispiel

Eine Funktion auf der linken Seite, ${Anzeigestil f(x)=sin(x) 2cos(x)}$, mit einer Anzahl von Punkten (gleichmäßig auf [0,5] verteilt): 1, 2, 3, 4 und 5.

Rechts die Funktion und ihre Näherungen (Kurve: blau, linear: rot, quadratisch: grün, kubisch: braun). Die lineare Näherung ist schwach, aber der erste Grad Spline (quadratisch) und höher (kubisch, ...) nähern sich dem Kurve viel besser. Dies half natürlich durch die sehr "mutigen" kontinuierlich Kurve.

Für weniger stetige Funktionen müssen mehr Punkte oder ein Spline höheren Grades genommen werden

die Fourierreihe

Eine andere Möglichkeit, eine Funktion auf einem Intervall anzunähern, ist die Verwendung von Fourier-Analyse und approximieren die Funktion durch eine endliche Anzahl von Termen der die Fourierreihe.

Beispiel

Die folgende Funktion wird durch eine endliche Anzahl von Termen der Fourier-Reihe angenähert.

Dies sind die gefundenen Näherungen, die Genauigkeit nimmt zu: 1 Term, 3 Terme, 10, 50 und 150 Terme. Der unstetige Sprungpunkt ist schwer zu erreichen, da die Funktionen, aus denen die Approximation besteht, stetig sind. Dieses Phänomen wird als bezeichnet Gibbs-Phänomen erwähnt.

Algorithmen

Einige genaue Algorithmen haben a Komplexität die so hoch ist (d.h. das Programm dauert sehr lange), dass es heuristisch dafür wurden Algorithmen entwickelt, die viel schneller arbeiten, aber nicht 100% korrekt sind.

Beispiel

Um zu prüfen, ob eine Zahl A eine Primzahl ist, müssen alle zugrunde liegenden Zahlen (bis zur Quadratwurzel von A) geprüft werden. Es gibt schnellere Algorithmen, aber sie sind nicht narrensicher: der Lucas-Test und der Pseudoprimalität Prüfung. Zusammen durchgeführte Arbeiten, die viel schneller ablaufen als alle zugrunde liegenden Zahlen und dennoch sind keine Zahlen bekannt, die bei diesem Test ein falsches Ergebnis liefern.

Finite-Elemente-Methode

Den Hauptartikel finden Sie unter Finite-Elemente-Methode

Für komplexe Probleme, für die es keine analytische Lösung gibt, kann die Approximation sein: Finite Elemente aushelfen. Diese Methode

• zerlegt das Hauptproblem (Stab, Leiter, Rohr) in Hunderte kleinerer Teile;
• stellt die Gleichungen für jedes Stück auf (zum Beispiel in Bezug auf Kräfte, Druck, elektrische Ladung);
• löst das System aus den Gleichungen der Hunderte von Teilen, und
• bildet eine Näherungslösung.

Beispiele

• das Annäherung an Stirling, zum Berechnen Fakultäten;
• die Form unserer Boden kann durch eine Kugel angenähert werden, eine bessere Annäherung ist eine Abplattung Ellipsoid;
• das Ansatz von ${Anzeigestil pi}$ durch eine geometrische Konstruktion.

Siehe auch

• Faustregel