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Taylorreeks

Taylorreihenentwicklung von

{displaystyle lnx}

(bzw. 1, 2, 3 und 10 Begriffe)

In dem Analyse, eine Unterregion der Mathematik, ist ein taylor serie oder maßgeschneiderte Entwicklung die Darstellung oder Annäherung von a Funktion wie ein Potenzreihe deren Koeffizienten aus den Werten der . berechnet werden Derivate dieser Funktion in einer bestimmten Punkt.

Das Konzept einer Taylor-Reihe wurde von dem schottischen Mathematiker geprägt James Gregory 1715 vom englischen Mathematiker entdeckt und offiziell eingeführt Brook Taylor. Wenn die Taylorreihe um Null zentriert ist, heißt diese Reihe auch a Maclaurin-Serie, das nach dem schottischen Mathematiker Colin Maclaurin, das im 18. Jahrhundert ausgiebig von der Taylor-Reihe Gebrauch machte.

Es ist üblich, eine Funktion zu approximieren, indem man eine endliche Anzahl von Termen ihrer Taylor-Reihe verwendet. Das Taylors Theorem gibt quantitative Schätzungen des Fehlers in dieser Näherung an. Jede endliche Anzahl von Anfangstermen der Taylorreihe einer Funktion wird zu a Taylor-Polynom erwähnt. Die Taylorreihe einer Funktion ist die Grenze der Taylor-Polynome dieser Funktion, wenn dieser Grenzwert existiert. Eine Funktion muss nicht gleich ihrer Taylor-Reihe sein, auch wenn die Taylor-Reihe dieser Funktion an irgendeinem Punkt konvergiert. Eine Funktion, die in a offenes Intervall (oder ein Scheibe in dem komplexe Ebene) ist gleich seiner eigenen Taylor-Reihe, bekannt als a analytische Funktion.

Definition

Die Taylor-Serie von a series Real- oder komplexwertige Funktion ${displaystyle f}$ Das unendlich differenzierbar ist in einem Real- oder komplexe Zahl ${Anzeigestil a}$ , ist der Potenzreihe

{displaystyle f(x)=f(a) {frac {f'(a)}{1!}}(xa) {frac {f''(a)}{2!}}(xa)^{2} {frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(xa)^{3} ldots =sum _{n=0}^{infty }{frac {f^{(n)}( a)}{n!}},(xa)^{n}}

in welchem ${displaystyle n!}$ das Fakultät von ${displaystyle n}$ zeigt an und ${Anzeigestil f^{(n)}(a)}$ steht für die ${displaystyle n}$ -das Derivat von ${displaystyle f}$ im punkt ${Anzeigestil a}$ . Die Ableitung nullter Ordnung ist als Funktion selbst definiert. Für den Fall, dass ${Anzeigestil a=0}$ heißt auch die Maclaurin-Serie.

Analytische Funktion

Als Funktion in a Umfeld vom Entwicklungspunkt ${displaystyle x_{0}}$ gleich der Reihensumme seiner Taylor-Reihe ist, wird analytisch im ${displaystyle x_{0}}$ erwähnt. Eine in allen Punkten analytische Funktion Domain, heißt kurz analytisch. Beispiele für solche Funktionen sind die trigonometrische Funktionen Sinus und Cosinus und der Exponentialfunktion.

Alle Werte einer analytischen Funktion können verbunden Die Umgebung eines Punktes kann aus dem Funktionswert und dem Wert aller Ableitungen in diesem einzelnen Punkt bestimmt werden. Das bedeutet nicht, dass die Taylor-Reihe konvergiert in allen Werten ${Anzeigestil x}$ davon Umfeld, wie im folgenden Beispiel gezeigt.

{displaystyle f(x)={1 über 1 x^{2}}, xin mathbb {R} }

Die Funktion ${displaystyle f}$ ist in seinem gesamten Bereich analytisch. Ihre taylor-Serie im punkt ${displaystyle x_{0}=0}$

{Displaystyle-Summe _{n=0}^{infty}(-1)^{n}x^{2n}=1-x^{2} x^{4}-x^{6} ldots }

konvergiert nur für ${Anzeigestil x}$ streng zwischen -1 und 1.

Komplexe Funktion

Auch für komplexe Funktionen der Begriff Taylor-Reihe. Eine komplexe Funktion, deren erste Ableitung existiert, heißt heet holomorphe Funktion. Die Differenzierbarkeit komplexer Funktionen ist eine so starke Voraussetzung, dass auch alle höheren Ableitungen einer holomorphen Funktion existieren. Die Taylorreihe einer differenzierbaren Funktion ${Anzeigestil f(z)}$ für komplexe ${Anzeigestil z}$ mit ${Anzeigestil |z-z_{0}|$ ist:

{displaystyle f(z)=sum _{n=0}^{infty }{frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{ n}}

vor dem

{Anzeigestil |z-z_{0}|

Entwicklungen

Binomiale Entwicklung

{displaystyle (1 x)^{n}=1 nx {frac {n(n-1)}{2!}}x^{2} {frac {n(n-1)(n-2)}{3 !}}x^{3} ldots nx^{n-1} x^{n}=Summe _{k=0}^{n}{n wähle k}x^{k}}

Serienentwicklung von Exponential- und Logarithmusfunktionen

{displaystyle e^{x}=1 x {frac {x^{2}}{2!}} {frac {x^{3}}{3!}} {frac {x^{4}}{4! }} ldots =sum _{k=0}^{infty }{frac {x^{k}}{k!}}}

{displaystyle a^{x}=e^{ln(a)x}=1 xln(a) {frac {(xln(a))^{2}}{2!}} {frac {(xln(a) )^{3}}{3!}} ldots ,}

mit

{displaystyle ain mathbb {R} _{>0}}

{displaystyle ln(1 x)=x-{ frac {1}{2}}x^{2} { frac {1}{3}}x^{3}-ldots =sum _{n=0}^{ infty }{frac {(-1)^{n}}{n 1}}x^{n 1},}

mit

{displaystyle -1

Serienentwicklung trigonometrischer Funktionen

{displaystyle sin(x)=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n 1)!}}x^{2n 1}=x-{frac { x^{3}}{3!}} {frac {x^{5}}{5!}}-{frac {x^{7}}{7!}} ldots }

{displaystyle cos(x)=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{frac {x^ {2}}{2!}} {frac {x^{4}}{4!}}-{frac {x^{6}}{6!}} ldots }

{displaystyle an(x)=x {frac {x^{3}}{3}} {frac {2x^{5}}{15}} {frac {17x^{7}}{315}} ldots }

{displaystyle sec(x)=1 {frac {x^{2}}{2}} {frac {5x^{4}}{24}} {frac {61x^{6}}{720}} ldots }

{displaystyle arcsin(x)=x {frac {1}{2}}{frac {x^{3}}{3}} {frac {1}{2}}{frac {3}{4}}{frac {x^{5}}{5}} {frac {1}{2}}{frac {3}{4}}{frac {5}{6}}{frac {x^{7}}{7} } ldots }

{displaystyle arccos(x)={frac {pi}{2}}-arcsin(x)={frac {pi}{2}}-x-{frac {1}{2}}{frac {x^{3 }}{3}}-{frac {1}{2}}{frac {3}{4}}{frac {x^{5}}{5}}-{frac {1}{2}}{frac {3}{4}}{Frak {5}{6}}{Frak {x^{7}}{7}}-ldots }

{displaystyle arctan(x)=x-{frac {x^{3}}{3}} {frac {x^{5}}{5}}-{frac {x^{7}}{7}} ldots }

vor dem

{Anzeigestil |x|leq 1}

Die wahre Funktion ${displaystyle xmapsto arctan(1/x)}$ hat als solche keine Serienentwicklung in ${Anzeigestil x=0}$ , weil es dort eine Unstetigkeit hat (linke Grenze und rechte Grenze unterscheiden sich um einen geraden Winkel). Indem man Funktionswerte als ganzzahliges Vielfaches von betrachtet ${Anzeigestil pi}$ Immerhin lässt sich eine Art Sequenzentwicklung schreiben: