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komplexe Zahl ${Anzeigestil z}$ Und sein komplex konjugiert${displaystyle {ar {z}}}$

In dem Mathematik ist der komplexe Ebene ein geometrisch Anzeige der komplexe Zahlen, bestehend aus a echte Achse und aufrecht darauf die imaginäre Achse gelegt. Die komplexe Ebene kann als modifizierte kartesisches Flugzeug, wo es echter teil einer komplexen Zahl wird durch eine Verschiebung entlang der x-Achse und der imaginärer Teil indem Sie sich entlang der y-Achse.

Die komplexe Ebene wird manchmal auch als Argand-Ebene bezeichnet, da sie in Argand-Diagrammen verwendet wird. Diese sind so benannt, weil sie nach ihnen benannt sind Jean-Robert Argand, obwohl sie zuerst von dem norwegisch-dänischen Landvermesser und Mathematiker beschrieben wurden Caspar Wessel. Wessels Ausstellung wurde 1797 dem aan . präsentiert Dänische Akademie. Argands Werk wurde 1806 von ihm selbst veröffentlicht.^[1] Argand-Diagramme werden oft verwendet, um die Positionen der Polen und Nullen von a Funktion im komplexen Raum.

Der Begriff der komplexen Ebene repräsentiert a Geometer Interpretation der komplexen Zahlen. Die Summe zweier komplexer Zahlen ist ihre vektorielle Summe und der Produkt von zwei komplexen Zahlen ist am einfachsten in Polar Koordinaten ausgedrückt werden, wobei die Größe oder Absolutwert, der beiden Polarkoordinaten die Produkt ist von den beiden absolute Werte, und wo das resultierende Ecke des Produkts ist gleich dem Summe der beiden Ecken.

Aus diesem Grund werden häufig Argand-Diagramme verwendet, um die Positionen der Polen und Nullen von a Funktion Plot im komplexen Raum. Eine Multiplikation mit einer komplexen Zahl mit Modul 1 kann erfolgen als a Drehung interpretiert werden. Die komplexe Ebene wird häufig verwendet, um physikalische Prozesse zu visualisieren. Somit ist eine Harmonische Vibration als Kreisbewegung um den Ursprung in der komplexen Ebene gesehen. Die Projektion auf der x-Achse ist der reale Teil der Schwingung, der wie a . aussieht Sinus oder Cosinus.

Vereinbarungen über die Notation

In dem Funktionstheorie die komplexen Zahlen werden normalerweise durch das Symbol dargestellt represented ${Anzeigestil z}$ angezeigt. Eine komplexe Zahl ${Anzeigestil z}$ besteht aus einem echter teil${Anzeigestil x}$ und ein Imaginärteil ${displaystyle y}$:

${Anzeigestil z=x iy}$

in welchem ich für die imaginäre Einheit Zustand. In dieser gängigen Schreibweise kommt die komplexe Zahl z entspricht dem Punkt ${Anzeigestil(x,y)}$ in dem kartesisches Flugzeug.

In der kartesischen Ebene ist der Punkt ${Anzeigestil(x,y)}$ auch wie folgt in Polar Koordinaten vertreten sind.

${displaystyle x=rcos heta }$

${displaystyle y=rsinheta }$

und umgekehrt

${displaystyle r={sqrt {x^{2} y^{2}}}}$

${displaystyle heta=arctan {frac {y}{x}}}$

In der kartesischen Ebene kann davon ausgegangen werden, dass die Arkustangens nimmt Werte zwischen ${displaystyle -pi /2}$ und ${Anzeigestil pi /2}$, im Bogenmaß. Bei der Definition der reellen Arkustangensfunktion für die Punkte . ist Vorsicht geboten ${Anzeigestil(x,y)}$ Wofür ${displaystyle xleq 0}$. In der komplexen Ebene haben diese Polarkoordinaten die folgende Form

${displaystyle z=x iy=|z|left(cos heta isin heta ight)=|z|e^{i heta}}$

in welchem

${displaystyle |z|={sqrt {x^{2} y^{2}}}}$

und

${displaystyle heta =arg(z)={frac {1}{i}}ln {frac {z}{|z|}}=-iln {frac {z}{|z|}}}$.^[2]

Hier ist ${Anzeigestil |z|}$ der Absolutwert oder Modul und ${Anzeigestil-Heta}$ das Argument der komplexen Zahl ${Anzeigestil z}$. Das Argument wird normalerweise aus den Intervall${displaystyle [0,2pi )}$. Die Gleichheit ${displaystyle z=|z|e^{i heta}}$ folgt aus dem Eulersche Formel. Beachten Sie, dass das Argument von ${Anzeigestil z}$ ist mehrwertig, weil die komplexe Exponentialfunktion periodisch ist mit Periode ${displaystyle 2pi i}$. Wenn ja ${Anzeigestil-Heta}$ ein Wert für ${displaystyle mathrm {arg} z}$ ist, die anderen Werte sind gegeben durch ${displaystyle mathrm {arg} z=heta 2npi }$, für beliebige ganzzahlige Werte ${displaystyle neq 0}$.^[1] Obwohl selten explizit verwendet, basiert die geometrische Darstellung der komplexen Zahlen implizit auf der Struktur eines euklidischen Vektorraums von Abmessungen 2, in dem die internes Produkt der komplexen Zahlen w und z wird gegeben von ${displaystyle Re(w{overline {z}})}$. Dann fällt für eine komplexe Zahl z sein absoluter Wert |z| zusammen mit seinem euklidische Norm, und seine Argumente arg(z) mit dem Ecke drehend von 1 bis z.

Die Theorie der Konturintegration ist ein wichtiger Bestandteil der Funktionstheorie. In dieser Hinsicht ist die Richtung, in der ein geschlossener Kurve durchgeführt wird, ist wichtig. Die Umkehrung dieser Richtung macht die Integral- Vorzeichen ändern. Die positive Drehrichtung ist vereinbarungsgemäß die Richtung gegen den Uhrzeigersinn.

Fast die gesamte komplexe Analyse betrifft komplexe Funktionen, also mit Funktionen mit a Teilmenge der komplexen Ebene auf eine andere, möglicherweise überlappende oder sogar identische Teilmenge der komplexen Ebene. Es ist hier üblich, über die . zu sprechen Domain von ${Anzeigestil f(z)}$ als in der liegend ${Anzeigestil z}$-Flugzeug, bezogen auf die erreichen oder das Bild von ${Anzeigestil f(z)}$ als Sammlung von Punkte in dem ${Anzeigestil w}$-eben. In Symbolen

${Anzeigestil z=x iy;qquad f(z)=w=u iv}$

und so ist die funktion ${displaystyle f}$ als Transformation des ${Anzeigestil z}$-Flugzeug, mit Koordinaten ${Anzeigestil x}$ und ${displaystyle y}$, in und auf der ${Anzeigestil w}$-Flugzeug, mit Koordinaten ${Anzeigestil u}$ und ${Anzeigestil v}$.

Erweiterte komplexe Ebene

Die erweiterte komplexe Ebene ist die komplexe Ebene, ergänzt um a zeige auf unendlich, Vergleich die projektive Linie. Die erweiterte komplexe Ebene wird auch als . bezeichnet und dargestellt Riemann-Atmosphäre.

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