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Arctangens (rot) und Arccotangens (grün)

Das Arkustangens oder Arkustangens, bezeichnet durch eine Lohe, arctan oder bgtan, und auch von ${Anzeigestil und ^{-1}}$^[1] ist ein Zyklometrische Funktion in dem Mathematik dass die Umkehrfunktion ist von der Tangente wenn es Domain der Tangente beschränkt sich auf das Intervall limited ${Anzeigestil (-pi /2,pi /2)}$. Diese Einschränkung ist wegen der periodischen Natur der Tangente notwendig. Das Ergebnis des Arkustangens ist der Winkel zwischen ${displaystyle -pi /2}$ und ${Anzeigestil pi /2}$ dessen Tangens den Argumentwert hat. Die Domäne ist ${displaystyle mathbb {R} }$ und die Reichweite ist ${Anzeigestil (-pi /2,pi /2)}$.

Der Graph von ${Displaystil y=Arktan x}$ ist das Spiegelbild des Graphen der eingeschränkten Tangente zur Geraden de ${Anzeigestil y=x}$.

Definition

Die Funktion ${Anzeigestil arctan }$ ist definiert für ${displaystyle xin mathbb {R} }$ durch die Beziehung

${displaystyle arctan(x)=alpha quad Leftrightarrow quad alpha in (-{ frac {1}{2}}pi ,{ frac {1}{2}}pi ){mbox{ and }} an(alpha )=x}$

In Worten: der Winkel (Bogen), dessen Tangente ${Anzeigestil x}$ ist gleich ${displaystyle alpha }$.

Zwei Eigenschaften

Zwei Eigenschaften der Funktion ${Anzeigestil arctan }$.

1. In der nebenstehenden Abbildung ist E1:

${displaystyle an(Winkel A_{1})=1}$

${Anzeigestil an(Winkel A_{2})=2}$

${Anzeigestil an(Winkel A_{3})=3}$

so dass:

${displaystyle arctan(1) arctan(2) arctan(3)=pi}$

2. In der nebenstehenden Abbildung ist E2:

${displaystyle an(Winkel B_{1})={ frac {1}{2}}}$

${displaystyle an(Winkel B_{2})={ frac {1}{3}}}$

so dass:

${displaystyle arctan({ frac {1}{2}}) arctan({ frac {1}{3}})={frac {pi }{4}}}$

Potenzreihe

Der Arkustangens hat Vorteile ${displaystyle xin[-1,1]}$ das Serienentwicklung:

${displaystyle arctan(x)=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{2n 1}}x^{2n 1}=x-{ frac {1}{ 3}}x^{3} { frac {1}{5}}x^{5}-{ frac {1}{7}}x^{7} ldots }$

Das Ergebnis davon liegt im geschlossenen Intervall ${displaystyle [-{ frac {1}{4}}pi ,{ frac {1}{4}}pi ]}$.

Es gibt eine kompliziertere Reihenfolge für X im offenen Intervall ${displaystyle (-infty ,infty )}$.

Leonhard Euler eine effizientere Reihe für den Arkustangens gefunden:

${displaystyle arctan x={frac {x}{1 x^{2}}}sum _{n=0}^{infty }prod _{k=1}^{n}{frac {2kx^{2}} {(2k 1)(1x^{2})}}}$

Alternativ kann dies wie folgt ausgedrückt werden:

${displaystyle arctan x=sum _{n=0}^{infty }{frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n 1)!}};{frac {x^{2n 1 }}{(1 x^{2})^{n 1}}}}$

Fortsetzung Fraktur

Für den Arkustangens gibt es auch eine Form wie Kettenbruch:

${displaystyle arctan(z)={cfrac {z}{1 {cfrac {z^{2}}{3 {cfrac {4z^{2}}{5 {cfrac {9z^{2}}{7 {cfrac { 16z^{2}}{9 {cfrac {25z^{2}}{ddots ,}}}}}}}}}}}}}$

Diese Formel wurde erstellt von Carl Friedrich Gauß, Verwendung der hypergeometrische Reihen.

Komplexe Notation

Mit den komplexen Definitionen von Sinus und Cosinus kann der Arkustangens geschrieben werden als:

${displaystyle arctan(x)={ frac {1}{2}}iln left({frac {1-xi}{1 xi}}ight)}$

Die arctan2.-Funktion

In praktischen Situationen ist der Arkustangens nicht immer nützlich, da er eine Antwort im Intervall liefert ${displaystyle [-{ frac {1}{2}}pi ,{ frac {1}{2}}pi ]}$, während der tatsächliche Winkel irgendwo auf dem Kreis liegen kann. Dies ist der Fall, wenn eine komplexe Zahl verwendet wird, um eine Amplitude und eine Phase zu beschreiben, wie bei der Fourier-Transformation.

Um die Ecke θ eines Komplexes z = a i b um zu finden, kann man zuerst die artanges von . finden b/ein aber um den richtigen Winkel zu finden, muss das Ergebnis dieses Arkustangens um erhöht werden π für den Fall, dass ein < 0. Die meisten Programmiersprachen stellen daher eine zweite Arkustangens-Funktion mit zwei Argumenten zur Verfügung: Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl müssen getrennt angegeben werden. Dadurch kann überprüft werden, in welchem ​​Quadranten sich die komplexe Zahl befindet und welchen Winkel sie hat. Der Name dieser Funktion hängt von der Software ab, ist aber oft 'atan2' oder 'arctan2'.^[2][3][4][5] Die Definition lautet:

${displaystyle mathrm {arctan2} (y,x)={ egin{cases}arctan({frac {y}{x}})&{mbox{for}} x>0/arctan({frac {y}{x} }) pi &{mbox{for}} x<0,ygeq 0/arctan({frac {y}{x}})-pi &{mbox{for}} x<0,y<0/ {frac {1 }{2}}pi &{mbox{for}} x=0, y>0/-{frac {1}{2}}pi &{mbox{for}} x=0, y<0/{ ext{ unbestimmt}}&{mbox{for}} x=0, y=0/end{cases}}}$

Die obige Definition von arctan2 lässt sich auch mit dem Vorzeichen von formulieren ja.

${displaystyle mathrm {arctan2} (y,x)={ egin{cases}operatorname {sgn}(y)cdot arctan(|{frac {y}{x}}|)&qquad x>0/operatorname {sgn}(y )cdot {frac {pi }{2}}&qquad x=0,yeq 0/{ ext{unbestimmt}}&qquad x=0,y=0/Operatorname {sgn}(y)cdot (pi -arctan(|{frac {y}{x}}|))&qquad x<0/end{cases}}}$

Beispiel

Das Argument (im Hauptwert) der komplexen Zahl −2 2i ist nicht durch den arctan des Quotienten aus Imaginär- und Realteil gegeben. Das ergibt den Wert:

${displaystyle arctan left({ frac {2}{-2}}ight)=arctan(-1)=-{ frac {1}{4}}pi }$.

Der tatsächliche Winkel ist jedoch ¾π, was auch das Ergebnis von:

${displaystyle mathrm {arctan2} (2,-2)=arctan left({ frac {2}{-2}}ight) pi ={ frac {3}{4}}pi }$.

Hinweis

Einige Plattformen kehren die Reihenfolge der atan2-Parameter um.

Ableitung und Integral

Das Derivat des Arkustangens ist:

${displaystyle {frac {m {d}}{{m {d}}x}}arctan(x)={frac {1}{1 x^{2}}}}$

Das Integral- des Arkustangens kann mit Teilintegration berechnet werden:

${displaystyle int arctan(x){m {d}}x=xarctan(x)-{ frac {1}{2}}ln(1 x^{2}) C}$

Siehe auch

• Arkuskosinus
• Arkussinus
• Arkkotangens
• Zyklometrische Funktion