WikiDer > Arkussinus

Das arcsinus (ebenfalls Arkussinus) bezeichnet durch wie in, Arcsin, bgsin^[1] oder Sünde^−1[2]) ist ein Zyklometrische Funktion in dem Mathematik dass die Umkehrfunktion ist von der Sinus wenn es Domain davon beschränkt auf das Intervall ${displaystyle [-pi /2,pi /2]}$. Diese Begrenzung ist wegen der periodischen Natur des Sinus notwendig. Das Ergebnis des Arkussinus ist der Winkel zwischen ${displaystyle -pi /2}$ und ${Anzeigestil pi /2}$ dessen Sinus das Argument als Wert hat. Die Domäne ist [–1,1] und der Bereich ist ${displaystyle [-pi /2,pi /2]}$.

Der Graph von ${Displaystil y=Bogensind x}$ ist das Spiegelbild des Graphen des eingeschränkten Sinus bezüglich der Geraden ${Anzeigestil y=x}$.

Definition

Die Funktion ${displaystyle arcsin}$ ist definiert für ${displaystyle xin[-1,1]}$ durch die Beziehung

${displaystyle arcsin(x)=alpha quad Longleftrightarrow quad alpha in [-{ frac {1}{2}}pi ,{ frac {1}{2}}pi ]{mbox{ and }}sin(alpha )=x}$

In Worten: der Winkel (Bogen), dessen Sinus ${Anzeigestil x}$ ist gleich ${displaystyle alpha }$.

Potenzreihe

Der Arkussinus hat den Serienentwicklung:

${displaystyle arcsin(x)=sum _{n=0}^{infty }{frac {Gamma (n {frac {1}{2}})}{{sqrt {pi }}(2n 1)n!}} x^{2n}}$

Darin ist ${Anzeigestil Gamma }$ das Gamma-Funktion.

Derivat

Das Derivat des Arkussinus ist:

${displaystyle {{m {d}} über {m {d}}x}arcsin(x)={1 über {sqrt {1-x^{2}}}}}$

vor dem ${Anzeigestil xin(-1,1)}$.

Siehe auch

• Arkuskosinus
• Arkkotangens
• Arkustangens
• Zyklometrische Funktion