WikiDer > Potenzierung

Potenzierung ist ein MathematikerOperation, was geschrieben wird als ${Displaystil x^{n}}$, wo zwei Zahlen, die Base oder der Faktor ${Anzeigestil x}$ und der Exponent${displaystyle n}$, beteiligt. wenn ${displaystyle n}$ ein positive ganze Zahl ist, Exponentiation entspricht wiederholt Multiplikation; mit anderen Worten, ein Produkt von ${displaystyle n}$ Faktoren von ${Anzeigestil x}$:

${displaystyle x^{n}=underbrace {x imes ldots imes x} _{n { ext{times}}}}$,

ebenso wie die Multiplikation mit einer positiven ganzen Zahl dem Wiederholen entspricht summieren:

${displaystyle n imes x=underbrace {x ldots x} _{n { ext{times}}}}$

Der Ausdruck ${Displaystil x^{n}}$ heiß Leistung von ${Anzeigestil x}$; es ist der nein-das Kraft von ${Anzeigestil x}$.
Dieser Ausdruck wird ausgesprochen als: ${Anzeigestil x}$ hoch ${displaystyle n}$, oder ${Anzeigestil x}$ bis zum ${displaystyle n}$- die Leistung, oder auch kurz ${Anzeigestil x}$ bis zum ${displaystyle n}$-das. So ist ${Anzeigestil 2}$ hoch ${Anzeigestil 3}$, oder ${Anzeigestil 2}$ zum dritten: ${displaystyle 2^{3}=2 mal 2 mal 2=8}$, mit ${Anzeigestil 2}$ wenn die Basis und ${Anzeigestil 3}$ als Exponent der Macht ${Displaystil 2^{3}}$.

Potenzierung ist a Arithmetik Betrieb des dritten Auftrag.

Definition

Für die natürliche Zahl${displaystyle neq 0}$ ist der ${displaystyle n}$-die Macht der Basis ${Anzeigestil x}$, notiert als ${Displaystil x^{n}}$, definiert als die Produkt von ${displaystyle n}$ Faktoren ${Anzeigestil x}$.

Aus dieser Definition folgt auch, dass

${Displaystil x^{1}=x}$

Die übliche Schreibweise ist der Exponent ${displaystyle n}$, die die Anzahl der Faktoren angibt, die höher geschrieben werden sollen (hochgestellt).

Vor dem ${Anzeigestil n=0}$ eine gesonderte Definition ist erforderlich. Vor dem ${displaystyle xeq 0}$ ist die übliche Definition:

${Displaystil x^{0}=1}$

Mit dieser Definition ist die Beziehung ${Displaystil x^{n 1}=xcdot x^{n}}$ Gültig für ${Anzeigestil n=0}$.

Durch Erweiterung der Definition um:

${displaystyle x^{-n}={frac {1}{x^{n}}}}$

auch negative Exponenten sind möglich.

Eine weitere Erweiterung ist:

${displaystyle x^{frac {1}{m}}={sqrt[{m}]{x}}}$

was auch gebrochene Exponenten erlaubt.

Geschichte

Die Notationen ${Displaystil x^{2}}$ und ${Anzeigestil x^{3}}$ als Abkürzungen für ${displaystyle xcdot x}$ und ${Displaystil xcdot xcdot x}$ auftreten um Thomas Harriot in seinem posthumen Werk Artis analyticae praxis ab 1631. René Descartes macht ausgiebig Gebrauch von dieser Notation für positive ganzzahlige Exponenten. John Wallis definiert negative und gebrochene Exponenten.^[1]

Rechnen mit Potenzen

Beim Rechnen mit Potenzen können die folgenden Rechenregeln verwendet werden. Es wurde immer davon ausgegangen, dass die beteiligten Befugnisse definiert sind.

Vor dem ${displaystyle xeq 0}$ ist:

• ${Displaystil x^{0}=1}$
• ${displaystyle x^{-1}={frac {1}{x}}}$
• ${Anzeigestil x^{a}x^{b}=x^{a b}}$

• ${displaystyle {frac {x^{a}}{x^{b}}}=x^{a-b}}$

Der Termin ${Displaystil x^{0}=1}$ wurde so gewählt, dass die genannten Berechnungsregeln allgemein gültig sind für ${displaystyle xeq 0}$

• ${displaystyle left(x^{a}ight)^{b}=x^{ab}}$ vor dem ${Anzeigestil x>0}$, und auch für ${displaystyle xeq 0}$ wenn ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ ganz sein.

Diese Rechenvorschrift bedeutet zum Beispiel, dass ${displaystyle x^{frac {n}{m}}={sqrt[{m}]{x^{n}}}={({sqrt[{m}]{x}})}^{n}}$.

N.B. Machterhöhung ist daher nicht assoziativ; d.h. im Allgemeinen gilt das nicht ${displaystyle left(x^{a}ight)^{b}=x^{left(a^{b}ight)}}$

• ${displaystyle links(xyight)^{a}=x^{a}y^{a}}$ wenn ${Anzeigestil a}$ ganz oder wenn ${Anzeigestil x,y>0}$.

Wenn die Basis ${Anzeigestil 0}$ gilt weiterhin:

vor dem ${Anzeigestil a>0}$ ist:

• ${Anzeigestil 0^{a}=0}$

• ${Anzeigestil 0^{0}}$ ist oft nicht definiert. Manchmal wird es gewählt ${Anzeigestil 0^{0}=1}$ einstellen, siehe unten: Null zur Null-Leistung.

Verwendung der natürlicher Logarithmus und der Exponentialfunktion für die positive Basis ${Anzeigestil a}$ gilt:

${displaystyle a^{x}=e^{xcdot ln {a}}}$

Umgekehrte Operationen

Dort nicht potenzieren kommutativ ist,

${Displaystil 2^{3}=8}$

während

${Displaystil 3^{2}=9}$,

Es gibt zwei Inversionsoperationen: Verwurzelung und Logarithmus

${displaystyle {sqrt[{3}]{8}}=2}$ und ${displaystyle ^{2}!log 8=3}$

${displaystyle {sqrt[{2}]{9}}=3}$ und ${displaystyle ^{3}!log 9=2}$

Derivat

bekommen wir das? ${Anzeigestil a}$-Die kraft von ${Anzeigestil x}$ on als Funktion von ${Anzeigestil x}$, also für einige exponenten ${Anzeigestil a}$ ist:

${Anzeigestil f(x)=x^{a}}$,

dann ist die Derivat gegeben von:

${displaystyle f'(x)=ax^{a-1}}$.

Nehmen wir eine Potenz als Funktion des Exponenten, also für eine bestimmte Basis ${Anzeigestil a}$ ist:

${Anzeigestil g(x)=a^{x}}$

dann ist die Ableitung gegeben durch:

${displaystyle g'(x)=a^{x}ln(a)}$,

in welchem ${Anzeigestil ln(a)}$ das natürlicher Logarithmus von ${Anzeigestil a}$ ist.

Potenzen und komplexe Zahlen

Mittels mathematischer Regeln auch Potenzen mit als Exponent nicht-natürlich und sogar von komplexe Zahlen definiert, siehe zum Beispiel die Eulersche Formel

${displaystyle e^{pi cdot i}=-1}$.

Serienentwicklung mit Power

Funktionen können verwendet werden als Serienentwicklung mit Vollmachten geschrieben werden. Ein Beispiel ist die Serienentwicklung für a ExponentialfunktionFür zwei reale Nummern, Quaternionen oder komplexe Zahlen${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$, mit ${Anzeigestil a>0}$, gilt

${displaystyle a^{b}=e^{bcdot ln {a}}=sum _{n=0}^{ infty }{frac {(bcdot ln {a})^{n}}{n!}}}$

Null hoch Null

In Situationen, in denen der Exponent nicht kontinuierlich Änderung kommt der Termin ${Anzeigestil 0^{0}=1}$ an mehreren Stellen gegen:

• Der IEEE-Standard.
• Kombinatorisch posiert ${displaystyle n^{m}}$ die Anzahl der Bilder für von a Sammlung von ${displaystyle m}$Elemente in einer Sammlung von ${displaystyle n}$ Elemente. überzeugend ist ${Anzeigestil 0^{0}}$ die Anzahl der Bilder der leere Sammlung im leeren Satz. Es gibt nur 1 (die leere Funktion).
• EIN Potenzreihe wenn ${displaystyle extstyle e^{x}=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}}$ wäre sonst nicht definiert für ${Anzeigestil x=0}$, oder man könnte die längere Formel verwenden ${displaystyle extstyle e^{x}=1 Summe _{n=1}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}}$handhaben müssen. Das gleiche gilt für die polynomische Notation ${displaystyle extstyle f(x)=sum _{n=0}^{N}a_{n}x^{n}}$.
• Die Formel für die Binomial-${displaystyle extstyle (1 x)^{n}=sum _{k=0}^{n}{ inom {n}{k}}x^{k}}$ gilt nicht für ${Anzeigestil x=0}$ ohne diesen Termin.
• Die Formel, die besagt, dass die Ableitungsfunktion von ${displaystyle extstyle f(x)=x^{n}}$ für alle ${displaystyle neq 0}$ gleich ${displaystyle extstyle f'left(xight)=nx^{n-1}}$ macht bei n=1 implizit die Annahme, dass ${Displaystil x^{0}=1}$ für alle ${Anzeigestil x}$.
• Die Aussage, dass man auf Exponentiation modulo ${displaystyle m}$ kann die Basis ableiten nur wahr, wenn ${Anzeigestil 0^{0}=1}$.

Effiziente Berechnung von Naturkräften

sehen Potenzierung durch Quadrieren für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Wenn der Exponent ${displaystyle n}$ eine natürliche Zahl größer als 1 ist, dann ist die Berechnung von ${Displaystil x^{n}}$ nacheinander ${Anzeigestil n-1}$ erfordern Multiplikationen; die Anzahl der Operationen kann jedoch durch wiederholtes Quadrieren und mit dem Original drastisch reduziert werden ${Anzeigestil x}$ die multiplizieren. Somit ist die zwölfte Potenz von ${Anzeigestil x}$ werden berechnet, indem zuerst der Würfel auf die übliche Weise berechnet wird (2 Multiplikationen) und dann das Ergebnis noch zweimal quadriert wird (2 weitere Multiplikationen, insgesamt 4). Dies ist besonders vorteilhaft bei großen Werten von advantageous ${displaystyle n}$ wie der in der Kryptographie Performance.

Siehe auch

• Berechnen
• Wiederholte Potenzierung
• Quadrat: die zweite Potenz einer Zahl
• Würfelnummer: der Würfel einer Zahl

Externer Link

• Was ist 0^0 (Null hoch null) gleich? Warum sind sich Mathematiker und Gymnasiallehrer nicht einig?