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In dem Mathematik hat den Begriff Base, je nach Kontext, unterschiedliche Bedeutungen. Erst ist es soweit Nummer auf denen a Zahlensystem basiert. Zweitens ist es die Zahl, auf der eine Berechnung basiert. Welche der beiden Bedeutungen gemeint ist, lässt sich meist aus dem Kontext ableiten.

Grundlage eines Zahlensystems

Die Basis eines Zahlensystems ist in a positionelles numerisches System die Anzahl der eindeutigen Symbole, die verwendet werden, um alle Zahlen darzustellen, d. h. die Anzahl der verschiedenen Zahlen das wird in diesem Zahlensystem verwendet. 10 ist also die Basis des Dezimal System, da 10 Symbole verwendet werden, um alle Zahlen darzustellen (d. h. die Zahlen 0 bis 9). Das höchste Symbol eines numerischen Positionssystems (im Dezimalsystem die 9) hat einen Wert, der um 1 kleiner ist als die Basis des Systems, dank der Verwendung des 0 (null). Verschiedene Positionssysteme unterscheiden sich nur in der verwendeten Basis, die Berechnungsregeln sind für alle Systeme gleich. Das Zahlensystem wird daher oft nach der Basis benannt: zweifach, vierfach, zehnfach usw. oder eine aus dem Griechischen oder Lateinischen abgeleitete Übersetzung davon.

Wenn bei einer geschriebenen Zahl nicht sofort klar ist, in welchem ​​Zahlensystem sie ausgedrückt wird, wird die Basis oft als Index nach der Zahl gedruckt, zum Beispiel: 100101₂. Die 2 gibt an, dass die betreffende Zahl in der gelesen werden soll binär und damit – ausgedrückt in der Sprache des Dezimalsystems – den Wert „dreiundsiebzig“ und nicht „einhunderttausendeinhunderteins“ darstellt.

Prinzipiell sind unendlich viele Zahlensysteme mit ebenso vielen Basen denkbar. In der Praxis werden nur wenige verwendet. Es Dezimalsystem oder Dezimalsystem kennen wir alle aus dem Alltag. Computers und andere 'digitale' Geräte verwenden fast immer intern die binär oder zweisprachig System (Basis 2), bei dem jede Speicherposition nur zwei mögliche Werte hat (zum Beispiel eine negative oder positive elektrische Spannung, dargestellt durch den Menschen als 0 oder 1). In dem Computertechnik oder Informatik zusätzlich zum binären Schreiben in 'Nullen und Einsen' verwendet man auch die hexadezimal (Basis 16) und manchmal die oktal System (Basis 8). Im SPS manchmal wurde auch das vierstellige System (Basis 4) verwendet. Die Basen 2, 4 und 8 haben den Vorteil, dass alle Zahlen leicht in die Binärdarstellung umgerechnet werden können.

Historisch gab es Zahlen- und Maßsysteme mit den Basen 12, 20 und 60. Die Basis 60 (sexagesimal System) wird noch immer für die Klassifizierung der Stunde und von Grad.

Die Basis eines Zahlensystems ist normalerweise positiv gerade Zahl, größer als 1. Zahlen lassen sich aber auch mit a darstellen negative Basis, oder mit a nicht ganzzahlige Basis; diese letzte Darstellung mit der Basis β wird als β-Erweiterung bezeichnet.

Berechnungsgrundlage

An einer Erhöhung Basis ist die Zahl, die mehrmals mit sich selbst multipliziert wird. Genauer gesagt: im Aufstieg der Macht ${Anzeigestil x^{y}}$ ist ${Anzeigestil x}$ die Basis.

Bei der Logarithmus Die Basis ist die Zahl, die bei der Berechnung des Logarithmus als „Basis“ zählt. Deutlicher: im Logarithmus ${displaystyle ^{a}!log b}$ ist ${Anzeigestil a}$ die Basis.