WikiDer > Logarithmus

Diagramm der mathematischen Funktionen ln(x) und log₁₀(X)
Beide Funktionen haben vertikale Asymptote die Linie ${Anzeigestil x=0}$.

Das Logarithmus von a Nummer ist der Exponent an die eine feste Nummer, die sogenannte Base, muss erhöht werden, um diese erste Zahl als Ergebnis zu erhalten. Für die Basis 10 zum Beispiel ist der Logarithmus von 1000 gleich 3, weil 1000 gleich 10 zu ist Leistung 3: 1000 = 10 × 10 × 10 = 10³. Allgemeiner gesagt, wenn ${displaystyle x=a^{y}}$, die Nummer ${Anzeigestil y}$ der Logarithmus von ${Anzeigestil x}$ ist für die basis ${Anzeigestil a}$. Dies ist geschrieben als ${displaystyle y=log _{a}(x)}$. Beispielsweise, ${Displaystil-Log _{10}(1000)=3}$. Der Logarithmus wurde um 1600 erfunden, um große Zahlen einfach zu multiplizieren und zu dividieren. Mit Logarithmen können Sie Exponenten die viel kleiner sind als die Zahlen selbst.

Definition

Das Logarithmus für die Base${Anzeigestil a}$ einer Zahl ${Anzeigestil x}$ ist die Macht, zu der man die Basis hat ${Anzeigestil a}$ muss heben bis ${Anzeigestil x}$ erhalten Sie das Ergebnis, also:

${displaystyle q=log _{a}(x)Longleftrightarrow a^{q}=x}$

Sowohl die Basis ${Anzeigestil a}$ wenn das Argument ${Anzeigestil x}$ muss größer als 0 sein; außerdem die basis . may ${Anzeigestil a}$ nicht gleich 1.

Existenz des Logarithmus

wenn ${Anzeigestil a>1}$ dann hat die Exponentialfunktion

${displaystyle exp _{a}:mathbb {R} oder mathbb {R} :qmapto a^{q}}$

eine horizontale Asymptote bei ${Anzeigestil y=0}$ und sie erreicht auf der rechten Seite ihrer Domain beliebig große Werte:

${displaystyle lim _{x o infty }exp _{a}(x)= infty .}$

In Ergänzung, ${displaystyle exp_{a}}$ stetig, so dass alle positiven Realwerte erreicht werden. Daraus folgt, dass jeder ${Anzeigestil x>0}$ ein Logarithmus ${Displaystil-Log _{a}(x)}$ hat nach obiger Definition. Dass es genau einen solchen Wert gibt ${Anzeigestil q}$ existiert, folgt daraus, dass die Funktion ${displaystyle exp_{a}}$ nimmt stark zu.

Vor dem ${Anzeigestil 0$ eine ähnliche Argumentation gilt, nur dass die beliebig großen Werte links erreicht werden:

${displaystyle lim _{x o -infty }exp _{a}(x)= infty }$

und dass die Funktion ${displaystyle exp_{a}}$ ist eher rückläufig als steigend.

Der Logarithmus von 0 mit einer beliebigen Basis ist undefiniert, da es keine Potenz mit einer beliebigen Basis gibt, die zu Null führt. Daher hat jeder Graph des Logarithmus kein Bild in Null. Es gibt immer eine Vertikale Asymptote Biene ${Anzeigestil x=0}$.

Base

Die Logarithmusfunktion (und ihre Umkehrung) erfordert eine feste Basis. Dafür eignet sich jede Zahl größer als 1 und damit auch jede Zahl zwischen 0 und 1. Vor allem aber werden die folgenden drei Basen häufig verwendet:

• Logarithmen mit der Basis ${displaystyle e=2{,}718281828ldots }$. Man spricht von natürlicher Logarithmus, oder neperisch oder nepere Logarithmus, zu seinem Schöpfer John Napier. Der natürliche Logarithmus wird notiert als ${displaystyle ln }$, sondern wurde auch historisch ${Displaystil-Protokoll}$ in Bereichen verwendet, in denen es selbstverständlich war, dass der natürliche Logarithmus beabsichtigt war. Beispielsweise:

${displaystyle ln(e^{3})=log _{e}(e^{3})=3}$

• Logarithmen mit der Basis 10. Man spricht von Briggs-Logarithmus und schreibe es als ${displaystyle lg }$ oder ${displaystyle log_{10};}$ beispielsweise:

${displaystyle lg(100)=log _{10}(100)=2.}$

• Logarithmen mit der Basis 2. Diese Art von Logarithmen kommt unter anderem in den Informatik und vor allem die Informationstheorie. Dieser Logarithmus wird geschrieben als ${displaystyle log_{2}}$ oder ${Displaystil-Operatorname {lb} ;}$ beispielsweise:

${Display-Operatorname {lb} (8)=log _{2}(8)=3.}$

Umrechnung zwischen verschiedenen Basen

Logarithmen lassen sich leicht in eine andere Basis umwandeln; sie beziehen sich als konstanter Faktor. von

${displaystyle {frac {log _{a}left(xight)}{log _{b}left(xight)}}={frac {frac {1}{log _{x}left(aight)}}{frac { 1}{log _{x}left(bight)}}}={frac {log _{x}left(bight)}{log _{x}left(aight)}}=log _{a}left(bight )}$,

denn daraus folgt

${displaystyle log _{a}left(xight)=log _{a}left(bight)log _{b}left(xight)}$.

In der anderen Notation für Logarithmen (het Zug):

${displaystyle {}^{a}!log x={}^{a}!log bcdot {}^{b}!log x}$.

Beispiele

• Praktisches Beispiel mit einem Taschenrechner, der es ermöglicht ${displaystyle ln left(xight)}$ oder ${displaystyle lg links(xight)}$ berechnen, aber nicht direkt ${displaystyle log _{7}left(xight)}$:

${displaystyle ln(3)=log _{e}(3)=log _{e}(7)cdot log _{7}(3)={}ln left(7ight)cdot log _{7}(3) }$, So

${displaystyle log _{7}left(3ight)={frac {ln left(3ight)}{ln left(7ight)}}={frac {1.099ldots }{1.946ldots }}=0.565ldots }$ oder auch ${displaystyle log _{7}left(3ight)={frac {lg left(3ight)}{lg left(7ight)}}={frac {0.477ldots }{0.845ldots}}=0.565ldots }$.

• Umwandlung von ${Displaystil-Operatorname {lb} }$ zu ${displaystyle lg }$

${displaystyle lg(x)=log _{10}(x)=log _{10}(2)cdot log _{2}(x)=lg(2)cdot Operatorname {lb} (x)=0.301cdot Operatorname {lb} (x).}$

Notation

Der Logarithmus ist ein Mathematiker Funktion was notiert ist als ${Displaystil-Protokoll}$ mit der basis ${Anzeigestil a}$ wenn niedrigerer Index: ${Displaystil-Log _{a}(x)}$, oder als hochgestelltes Präfix: ${displaystyle ^{a}!log(x)}$. In einem Text mit Logarithmen wird oft die gleiche Basis verwendet. Man schreibt einfach in die Formeln ${Displaystil-Log}$. Die Basisnummer darf dann einmal angegeben werden.

Das ISO-Norm für mathematische Zeichen und Symbole in den Naturwissenschaften und in der Technik ist ISO 80000-2. Er verwendet die folgenden Notationen für Logarithmen:^[1]

Base	Symbol
${Anzeigestil a}$	${displaystyle log_{a}}$
e	${displaystyle ln }$
10	${displaystyle lg }$
2	${Displaystil-Operatorname {lb} }$

Die Norm legt auch fest, dass das Format ${Displaystil-Protokoll}$ (d.h. Weglassen der Basis ${Anzeigestil a}$) sollte nicht für Basen verwendet werden ${displaystyle e,}$ 10 oder 2.

Algebraische Eigenschaften

Rechnen mit Logarithmen

Bei der Arbeit mit Logarithmen können die folgenden Regeln verwendet werden

• ${displaystyle b^{log _{b}(a)}=a}$, per Definition
• ${displaystyle log _{a}left(x^{g}ight)=glog _{a}(x)}$
• ${displaystyle {frac {log_{n}{b}}{log_{n}{a}}}=log_{a}{b}}$, wenn ${Anzeigestil n,a,b>0}$ und ${displaystyle n,aeq 1}$
• ${displaystyle log _{a}{bc}=log _{a}(b) log _{a}(c)}$

Folgt aus: ${displaystyle a^{log _{a}(bc)}=bc=a^{log _{a}(b)}a^{log _{a}(c}=a^{log _{a}( b) log _{a}(c)}}$

• ${displaystyle log _{a}left({frac {b}{c}}ight)=log _{a}(b)-log _{a}(c)}$

Folgt aus: ${displaystyle log _{a}left(bc^{-1}ight)=log _{a}(b) log _{a}left(c^{-1}ight)=log _{a}(b) -log _{a}(c)}$

• ${Displaystil-Log _{a}(1)=0}$
• ${Displaystil-Log _{a}(a)=1}$ vor dem ${Anzeigestil a>0}$
• ${displaystyle log _{a}left({frac {1}{x}}ight)=-log _{a}(x)}$, manchmal auch geschrieben: ${displaystyle mathrm {co} log(x)}$
• ${displaystyle log _{a}(b)={frac {1}{log _{b}(a)}}}$
• ${displaystyle log_{a}(b)={frac {log_{c}(b)}{log_{c}(a)}}}$
• ${displaystyle log _{left(a^{n}night)}left(b^{n}night)=log _{a}(b)}$ vor dem ${displaystyle b>0}$ und ${displaystyle neq 0}$

Folgt aus: ${displaystyle log _{a}(b)={frac {log _{c}(b)}{log _{c}(a)}}={frac {nlog _{c}(b)}{nlog _ {c}(a)}}={frac {log _{c}left(b^{n}night)}{log _{c}left(a^{n}night)}}=log _{left( a^{n}Nacht)}links(b^{n}Nacht)}$

Invers

Inverser Betrieb

Den Logarithmus kann man sich vorstellen als bearbeiten der mit zwei nummern ${Anzeigestil a}$ und ${Anzeigestil x}$ eine neue nummer ${displaystyle-Protokoll _{a}x}$ ähnlich wie die Addition zweier Zahlen ihre Summe verbindet.

Die inverse Operation der Addition ist die Subtraktion, denn die Aussage ${Anzeigestil a b=c}$ ist äquivalent zu ${Anzeigestil a=c-b}$ und auch mit ${Anzeigestil b=c-a.}$ Die Umkehroperation der Multiplikation ist die Division, denn ${Anzeigestil a.b=c}$ ist äquivalent zu ${Anzeigestil a=c/b}$ und mit ${Anzeigestil b=c/a.}$

Für die Erhöhung es gibt jedoch zwei verschiedene Umkehroperationen, da bei der Potenzierung das Ergebnis von der Reihenfolge der Operanden abhängt: ${Displaystil x^{y}}$ ist normalerweise nicht dasselbe wie ${Anzeigestil y^{x}.}$ Je nachdem ob wir vergleichen ${Anzeigestil a^{b}=c}$ möchte sich auflösen ${Anzeigestil a}$ oder zu ${Anzeigestil b,}$ ist die Umkehroperation de Wurzelextraktion bzw. der Logarithmus: ${displaystyle a={sqrt[{b}]{c}}}$ und ${displaystyle b=log _{a}c.}$

Umkehrfunktion

Der Logarithmus mit fester Basis ${Anzeigestil a}$ kann als Funktion mit einer Zahl angesehen werden ${Anzeigestil x}$ eine neue nummer ${displaystyle-Protokoll _{a}x}$ Die logarithmische Funktion ist die is invers des Exponentialfunktion, im Sinne von „invers für die Zusammensetzung von Funktionen“, nicht im Sinne von „invers für die Multiplikation“. So machen sie sich nacheinander wieder rückgängig.

Ergebnis: Potenzerhöhung und dann Logarithmus - beides mit der gleichen Basis - hat keine Wirkung.

${displaystyle log _{a}(a^{q})=q}$

Und logarithmieren und dann die Macht auch nicht erhöhen.

${displaystyle a^{log _{a}(x)}=x}$

Der Logarithmus für die Base${Anzeigestil a}$ ist also die Umkehrung von Exponentialfunktion mit ${Anzeigestil a}$ als Basis. Wenn einer Diagramm des Logarithmus für die Basis ${Anzeigestil a}$ Spiegel in Bezug auf die Linie ${Anzeigestil y=x}$, erhält man wie immer den Graphen der Umkehrfunktion, also hier ${displaystyle xo a^{x}}$.

Gruppenisomorphismus und kommutatives Diagramm

Logarithmen verbinden die Welt der Multiplikation (der streng positiven reellen Zahlen) mit der Welt der Addition (aller reellen Zahlen). Wie bereits erwähnt, ist der umgekehrte Weg die Exponentialfunktion. Dieser Weg hin und zurück heißt a Gruppenisomorphismus weil es automatisch die schönen Gruppeneigenschaften von einer Welt in die andere überträgt. Addition und Multiplikation scheinen sich bis zu einem gewissen Grad identisch zu verhalten.

Kommutativität bedeutet, dass, wenn man zuerst das eine und dann das andere macht, das Ergebnis dasselbe ist wie umgekehrt. Es gibt ein interessantes Kommutatives Diagramm zeichnen. Zeichnet man einen quadratischen Weg und beginnt oben links, dann führt man zuerst nach rechts und dann nach unten rechts unten. Aber erst nach unten und dann auch nach rechts. Das Abwärtsfahren pendelt also mit horizontalem Seitenwechsel. Lassen Sie nun links die Welt der Multiplikation, rechts die Welt der Addition. Nach rechts zu gehen bedeutet den Logarithmus zu nehmen und nach links zu gehen bedeutet die Exponentialfunktion. Nach unten zu gehen bedeutet die Operation (Multiplikation oder Addition). Wenn Sie dieses Quadrat von oben nach unten betreten, gelangen Sie im Folgenden zu einigen der wichtigsten Formeln. Zum Beispiel, dass der Logarithmus eines Produkts gleich der Summe der Logarithmen ist.

Rationalität

Sein ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$natürliche Zahlen, dann ist ${Displaystil-Log _{a}(b)}$ allgemein a irrationale Zahl. Nur wenn es ganze Zahlen gibt ${displaystyle n}$ und ${displaystyle m}$ sei so ${Displaystil a^{m}=b^{n}}$ ist der Logarithmus rational, weil gleich ${Anzeigestil m/n}$.

Aussage

von ${Displaystil a^{m}=b^{n}}$ folgt ${Anzeigestil ({a^{m}})^{1/n}=({b^{n}})^{1/n}}$ und somit ${displaystyle b=a^{m/n}}$.

Unter linkem und rechtem Logarithmus ergibt sich

${displaystyle log _{a}(b)=log _{a}(a^{m/n})={frac {m}{n}}in mathbb {Q} }$

Zum Beispiel für ${Anzeigestil a=27}$ und ${displaystyle b=9}$ gilt ${Anzeigestil a^{2}=b^{3}=3^{6}}$, So:

${displaystyle log _{27}(9)={frac {2}{3}}}$

Geschichte

Titelseite von Briggs . Logarithmustabellen

Der Schweizer Uhrmacher Jost Burgic, im Dienste der Landgraf von Hessen-Kassel, entwickelte als erster den Begriff des Logarithmus.

Der natürliche Logarithmus wurde erstmals in 1614 durch John Napier der als Erfinder des Logarithmus gilt. Er hat darüber in seinem Buch geschrieben Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Zunächst verwendete Napier die Zahl 1/e als Basis. Er nannte Logarithmen "künstliche Zahlen", künstliche Zahlen. Später prägte er den Begriff "Logarithmus", um anzuzeigen, dass es sich sowohl um ein Verhältnis als auch um eine Zahl der number Altgriechisch: , Logos, was Verhältnis und Verhouding bedeutet, Arithmose, Nummer.

Die Verwendung von Logarithmen trug zum Fortschritt der Wissenschaft bei, indem sie komplexe Berechnungen vereinfachte, insbesondere zur Astronomie. Die Logarithmen ersetzten die komplizierteren Prothesen, beyogen auf trigonometrisch Gleichungen als schnelle Methode der Multiplikation. Vor der Ankunft von Rechner und Computers, Logarithmen wurden häufig für Berechnungen verwendet, auch in der Navigation und der technische Wissenschaften.

Der Briggs-Logarithmus ist nach dem englischen Mathematiker benannt Henry Briggs. Das Logarithmus-Tabellen mit der basis ${displaystyle e}$ waren sehr schwer einzurichten. Sie waren daher ungenau. Briggs schlug vor, die Basis 10 zu verwenden. Das zählte leichter. Nach einem Besuch in Napier 1615 schrieb Briggs sein erstes Werk, Logarithmorum Chilias Prima, Einführung in die Logarithmen, die in 1617 aufgetaucht. Er schrieb in 1624 eine weitere mathematische Abhandlung unter dem Titel Arithmetik Logarithmik. Diese Arbeit enthielt die Logarithmen der natürlichen Zahlen von 1 bis 20.000 und von 90.000 bis 100.000 auf 14 Dezimalstellen berechnet. Er stellte diese Tabellen auf, indem er mit Stift und Papier die ersten 27 aufeinanderfolgenden Quadratwurzeln von 10 mit 16 Nachkommastellen zeichnete. Die 27 folgenden Wurzeln ermittelte er mit einer Näherungsformel. In derselben Arbeit finden wir auch Tabellen für die Sinus bis zu 15 Dezimalstellen und ab dem Tangente und Sekante auf 10 Dezimalstellen.

Die noch vorhandene Lücke in der Logarithmustabelle, 70 %, zwischen 20.000 und 90.000 war noch nicht berechnet, betrug Gouda vom Vermesser Hesekiel de Decker in zwei getrennten Ausgaben ausgefüllt. Sein erschien 1626 Erster Teil der neuen Zählkunst und 1627 zusammen mit Adriaen Vlacq es Zweiter Teil der neuen Zählkunst. Die kompletten Tische wurden 1628 in Vlacqs gebaut Arithmetik Logarithmik erstmals veröffentlicht.

Die endgültigen vollständigen Tabellen von Briggs wurden 1631 in Gouda gedruckt und 1633 unter dem Titel Trigonometria Britannica veröffentlicht. Dieses Werk war der Nachfolger von Briggs, der 1617 veröffentlicht wurde Logarithmorum Chilias Prima. Dies war der erste Rechner, der gut funktionierte.

Anwendungen

Reduzieren von Bearbeitungen

Unter Verwendung von Logarithmen können die folgenden Operationen auf Additionen und Subtraktionen reduziert werden.

Multiplizieren

Multiplizieren mit a Rechenschieber

Vor Jahrhunderten war der Logarithmus wichtig für Leute, die viel rechnen mussten. Eine Eigenschaft von Logarithmen ist, dass a Multiplikation kann in a umgewandelt werden Zusatz:

${displaystyle log(a) log(b)=log(ab)}$

Zum Produkt von ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ zu berechnen, werden die Logarithmen von ${Anzeigestil a}$ und von ${displaystyle b}$ zusammen addiert. Es sucht dann nach der Zahl, deren Ergebnis der Logarithmus ist. Die Logarithmen werden nicht berechnet, sondern in Tabellen hin und her nachgeschlagen. Dieses Logarithmus-Tabellen (Zahlentabellen mit ihrem Logarithmus) wurden vor Jahrhunderten berechnet und veröffentlicht. Sie wurden von Seeleuten verwendet, um ihre Position auf See zu bestimmen (Navigation), von Ingenieuren etc.

Teilen

Divisionen können auch durch Subtrahieren von Logarithmen voneinander durchgeführt werden.

${displaystyle log(a)-log(b)=log links({frac {a}{b}}ight)}$

Potenzierung

Nimmt man zweimal hintereinander den Logarithmus, kann man eine Zahl durch Addition beliebig potenzieren.

${displaystyle log(log(a)) log(b)=log links(log links(a^{b}ight)ight)}$

Verwurzelung

Wenn Sie den Logarithmus zweimal hintereinander ziehen, können Sie eine beliebige Quadratwurzel abziehen.

${displaystyle log(log(a))-log(b)=log links(log links(a^{1/b}ight)ight)=log links(log({sqrt[{b}]{a}}) ach)}$

Auch der Rechenschieber basiert auf dem Prinzip der Logarithmen: Die Skalen sind so angeordnet, dass die Logarithmen der angezeigten Zahlen linear sind: Das Segment zwischen 1 und 2 hat die gleiche Länge wie das Segment zwischen 2 und 4. Durch Addition zweier Segmente wird die Länge des Logarithmus der Zahlen wird am Ergebnis das Ergebnis ihrer Multiplikation abgelesen. Mit dem Aufkommen des Taschenrechners sind beide Logarithmus-Tabellen da Rechenschieber in Vergessenheit geraten sind.

Der Logarithmus ist a Arithmetik dritter Ordnung.

Logarithmische Skalen

sehen Logarithmische Darstellung für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Der Logarithmus ist praktisch, wenn etwas eine so große Bandbreite hat, dass der Unterschied zwischen dem niedrigsten und dem höchsten Wert nicht mehr viel aussagt. Das Das Webersche Gesetz sagt, dass die menschlichen Sinne einen logarithmischen Eindruck von der Intensität des Reizes machen.

Bekannte logarithmische Skalen sind:

• Lautstärke: die Dezibel
• Tonhöhe: die Cent, aber auch in gewissem Sinne die Rahmen selbst (chromatische Tonleiter im gleiches Temperament)
• Säure: de pH
• Selbstauskunft: das bisschen
• Stärke von Erdbeben: die Richter Skala
• Helligkeit eines Sterns: Größe
• das Fälschung für Zunahmen und Abnahmen von Zustandsvariablen

Größenordnungen und Logarithmen

Der Logarithmus einer Zahl X gibt die Größenordnung von X Auf. Wenn wir 10 als Basis nehmen, ist es leicht zu sehen:

Logarithmus von 1 ist 0, weil 10⁰= 1

Logarithmus von 10 ist 1, weil 10¹= 10

Logarithmus von 100 ist 2

Logarithmus von 1000 ist 3

Die Größenordnung von 3269 ist ${displaystyle lfloor lg 3269floor =3}$; die wissenschaftliche Schreibweise lautet daher 3269=3,269 10³.

Es funktioniert auch für negative Kräfte. Die Größenordnung von 0,03269 ist ${displaystyle lfloor lg 0.03269floor =-2}$; die wissenschaftliche Schreibweise lautet: 0.03269=3.269 10⁻².

In einem nein-zahlreich Zahlensystem Ist es möglich, die Anzahl der Stellen vor dem Komma einer beliebigen Zahl auf folgende Weise zu ermitteln? X zu entscheiden.

Stellenzahl = ${displaystyle lfloor log _{n}left(xight) 1floor }$

Die Stellenzahl einer Zahl im Dezimalsystem wird also bestimmt durch ${displaystyle lfloor lg links (xight) 1floor }$.

Berechnungen großer Zahlen

Logarithmen sind ein Hilfsmittel für Berechnungen mit großen Zahlen, geschrieben als Potenz, die a . ist grafischer Taschenrechner nicht berechenbar (ohne Umschreiben).

Beispiel

Berechnung

${displaystyle X={sqrt[{18}]{frac {3000^{140}cdot (9pi )^{3002}}{2008^{2008}}}},}$

mit einem Taschenrechner nicht möglich. Das funktioniert mit Logarithmen:

${Anzeigestil lg(X)}$

${displaystyle =lg left({sqrt[{18}]{frac {3000^{140}cdot (9pi )^{3002}}{2008^{2008}}}}ight),}$

${displaystyle ={ frac {1}{18}}lg links({frac {3000^{140}cdot (9pi )^{3002}}{2008^{2008}}}ight),}$

${displaystyle ={ frac {1}{18}}links[lg links(3000^{140}cdot (9pi)^{3002}ight)-lg left(2008^{2008}ight)ight],}$

${displaystyle ={ frac {1}{18}}links[lg links(3000^{140}ight) lg left((9pi )^{3002}ight)-lg left(2008^{2008}ight)ight], }$

${displaystyle ={ frac {1}{18}}links[140cdot lg(3000) 3002cdot lg(9pi)-2008cdot lg(2008)ight],}$

${Anzeigestil ca. -99{,}33736779,}$

Wir haben nun den Logarithmus der gesuchten Antwort berechnet. Nun müssen wir diese Potenz von 10 berechnen:

${Displaystil Xca. 10^{-99{,}33736779},}$

${Displaystil ca. 10^{-0{,}33736779} imes 10^{-99},}$

${Displaystil ca. 0{,}4598669977 imes 10^{-99},}$

Analytische Definition und Eigenschaften

Logarithmische Funktionen sind die Umkehrungen von Exponentialfunktionen und liegen daher auf ihrem gesamten Bereich ${displaystyle(0, infty)}$ kontinuierlich und unbegrenzt ableitbar.

Analytische Definition

Der natürliche Logarithmus einer positiven reellen Zahl ${Anzeigestil x}$ kann auch sein definiert als bestimmtes Integral, d. h. die Fläche einer Figur, die durch den Graphen der Funktion begrenzt ist ${Anzeigestil f(t)=1/t:}$

${displaystyle ln x=int _{t=1}^{x}{frac {1}{t}}dt.}$

Es wird verifiziert, dass diese Funktion die Rechenregel erfüllt ${Anzeigestil ln(xy)=ln x ln y}$ und daraus folgt, dass es der Logarithmus in einer gegebenen Basis ist. diese Basis, ${displaystyle e}$ wird eindeutig durch die Bedingung bestimmt, dass sein natürlicher Logarithmus 1 sein muss:

${displaystyle int _{t=1}^{e}{frac {1}{t}}dt=1.}$

Grenzen

Für Logarithmen gilt: Grenzen.

Vor dem ${Anzeigestil a>1}$ gilt:

${displaystyle { egin{array}{clr}displaystyle lim _{x, o , infty }&log _{a}left(xight)= infty /displaystyle lim _{x,downarrow ,0}&log _{a}left(xight )=-infty /end{array}}}$

Vor dem ${Anzeigestil 0$ gilt:

${displaystyle { egin{array}{clr}displaystyle lim _{x, o , infty }&log _{a}left(xight)=-infty /displaystyle lim _{x,downarrow ,0}&log _{a}left( xight)= infty /end{array}}}$

Diagramm

In der Abbildung unten können die Werte des Logarithmus zur Basis 10 aus dem Briggs-Logarithmus abgelesen werden. Weil die Funktion bis an die Grenze ${displaystyle -infty }$ geht wie ${Anzeigestil x}$ (entlang der rechten Seite) gegen Null geht, hat der Graph eine Vertikale Asymptote am linken Rand der Domäne: die Gerade ${Anzeigestil x=0}$. Rechts gibt es keine Asymptote: Die Funktion erreicht beliebig hohe Werte und die Ableitung bleibt positiv, wird aber beliebig klein.

Graph des Logarithmus zur Basis 10

Derivat

Eine besondere Eigenschaft des natürlichen Logarithmus ist die einfache Form seines ersten Derivat, nämlich:

${displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}ln left(xight)={frac {1}{x}}}$.

Von dem Kettenregel nämlich folgt:

${displaystyle 1=x'=left(e^{ln(x)}ight)'=e^{ln(x)}ln '(x)=xln '(x)}$,

woraus die Aussage folgt.

Durch Verwendung des natürlichen Logarithmus und seiner Ableitung ist es möglich, die Ableitungen anderer Logarithmen zu bestimmen.

${displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}log _{a}left(xight)={frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}{frac {log _{ e}left(xight)}{log _{e}left(aight)}}={frac {1}{ln a}}{frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}ln left(xight )={frac{1}{xln {a}}}}$

Schon seit ${Anzeigestil x}$ ist immer positiv, und ${Anzeigestil ln(a)>0}$ ist für ${Anzeigestil a>1}$ und ${Anzeigestil ln(a)<0}$ ist für ${Anzeigestil 0$, ist ${displaystyle f(x)=log _{a}links(xight)}$ ein streng ansteigende Funktion wenn ${Anzeigestil a>1}$ und eine streng absteigende Funktion, wenn functie ${Anzeigestil 0$.

Das partielle Ableitung von ${Displaystil-Log _{a}(x)}$zur Basis${Anzeigestil a}$ ist

${displaystyle {frac {partial }{partial a}}left({frac {ln x}{ln a}}ight)=-{frac {ln x}{a(ln a)^{2}}}.}$

Unbestimmtes Integral

EIN primitive Funktion für die natürliche logarithmische Funktion ist gegeben durch

${displaystyle int ln(x),dx=xln(x)-x C.}$

Dies kann direkt durch Ableitung der rechten Seite verifiziert werden, das Ergebnis kann aber auch durch Teilintegration.

Logarithmen in anderen Zahlenmengen

Logarithmen komplexer Zahlen

Dreidimensionale Darstellung des Realteils des natürlichen Logarithmus einer komplexen Zahl. Die horizontalen Achsen zeigen den Real- bzw. Imaginärteil der Zahl ${Anzeigestil z;}$ auf der vertikalen Achse der Realteil von ${displaystyle lnz}$

Dreidimensionale Darstellung des Hauptwertes des Imaginärteils des natürlichen Logarithmus einer komplexen Zahl. Diese Funktion (die Argumentfunktion komplexer Zahlen) ist auf der negativen reellen Achse unstetig.

Oben war das Argument ${Anzeigestil x}$, deren Zahl wir logarithmieren, immer eine positive reelle Zahl. Es ist jedoch möglich, die Definition des Logarithmus auf die komplexe Zahlen verschieden von 0 und damit auch von negative Zahlen. Der Logarithmus der komplexen Zahlen kann nicht für verschiedene Basen verwendet werden, aber der komplexe Logarithmus einer positiven Zahl ${Anzeigestil x}$ kommt mit dem natürlichen Logarithmus ${Anzeigestil ln(x)}$ von ${Anzeigestil x}$ Spiel.

Die komplexe Zahl ${Anzeigestil w}$ heißt Logarithmus von ${Anzeigestil z}$, So ${displaystyle w=ln ,z}$, wenn ${displaystyle e^{w}=z}$. Man spricht von ein Logarithmus, denn im Allgemeinen gibt es ${Anzeigestil z}$ unendlich viele Zahlen ${Anzeigestil w}$ die als Logarithmen erscheinen. Wegen der Identität von Euler, ${displaystyle e^{2pi i}=1}$, unterscheiden sich die verschiedenen Logarithmen einer komplexen Zahl um eine ganze Zahl mehrere von ${displaystyle 2pi i}$ von einander. Wenn du die komplexe Zahl schreibst Polar Koordinaten:

${displaystyle z=re^{ivarphi}}$,

mit Absolutwert ${displaystyle r}$ und argumentieren ${Anzeigestil Varphi }$, dann für jede ganze Zahl ${displaystyle n}$ die komplexe Zahl

${displaystyle w=ln r ivarphi 2npi i}$

ein Logarithmus von ${Anzeigestil z}$. Der Logarithmus für komplexe Zahlen ${displaystyle zeq 0}$ ist eine mehrwertige Funktion:

${displaystyle ln z=ln r ivarphi 2npi i}$.

Es ist üblich das Argument ${Anzeigestil Varphi }$ so zu definieren, dass ${displaystyle -pi$. Dieser Wert des Logarithmus, also mit ${Anzeigestil n=0}$, heißt der Hauptwert des Logarithmus.

Negative Zahlen sind komplexe Zahlen. Beispielsweise ${Anzeigestil z=-1}$ ist eine komplexe Zahl auf dem Einheitskreis mit Argumenten ${displaystyle varphi =pi}$. Der Logarithmus von −1 hat also einen Hauptwert von ${displaystyle ln 1 pi i=pi i}$.

Aus dieser Definition des Logarithmus einer komplexen Zahl folgen auch die Identitäten für den Real- und den Imaginärteil (des Hauptwerts) getrennt:

${displaystyle {hbox{Re }}ln z=ln |z|}$

${displaystyle {hbox{Im }}ln z=arg(z)}$

Logarithmen von Quaternionen

Es ist möglich, die Definition des Logarithmus auf Quaternionen auszudehnen.

EIN Quaternion${Anzeigestil w}$ heißt Logarithmus von ${Anzeigestil q}$, ${Anzeigestil w=lnq}$, wenn ${displaystyle e^{w}=q}$.

Man spricht von ein Logarithmus weil at ${Anzeigestil q}$ unendlich viele Zahlen ${Anzeigestil w}$ sind solche, die als Logarithmen erscheinen. Sie unterscheiden sich voneinander um ein ganzzahliges Vielfaches von ${Displaystil 2pi v}$, in welchem ${Anzeigestil v}$ ist der Einheitsvektor, der entspricht ${Anzeigestil q}$, so dass ${displaystyle v^{2}=-1}$ und

${displaystyle v={frac {q-mathrm {Re} (q)}{|q-mathrm {Re} (q)|}}}$.

Das ist weil ${displaystyle e^{2npi i}=1}$.

Schreiben die Leute? ${Anzeigestil q}$ wenn:

${displaystyle q=re^{vphi}}$,

mit Absolutwert ${displaystyle r}$, Streit ${Anzeigestil Varphi }$ und Einheitsvektor ${Anzeigestil v}$, dann jede der Zahlen

${displaystyle w=ln r vphi 2npi v}$

ein Logarithmus von ${Anzeigestil q}$. Der Logarithmus für Quaternionen ${Anzeigestil q}$ ist ein mehrwertige Funktion:

${Anzeigestil ln q = ln r vphi 2 npi v}$.

(N.B. Es ist üblich, das Argument ${Anzeigestil Varphi }$ so zu definieren, dass ${displaystyle -pi$.)

Der Wert des Logarithmus für ${Anzeigestil n=9}$, heißt die Hauptwert des Logarithmus.

Für zwei Quaternionen ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ gilt:

${displaystyle log _{b}a={frac {ln a}{ln b}}}$

Dies ist wiederum eine mehrwertige Funktion, die von zwei ganzen Zahlen abhängt ${displaystyle n_{1}}$ (zugehörig ${Anzeigestil ln(a)}$) und ${displaystyle n_{2}}$ (zugehörig ${Anzeigestil ln(b)}$). Ist es jetzt ${displaystyle n_{1}=n_{1}=0}$, dann erhält man den Hauptwert von ${displaystyle log _{b}a}$

Serienentwicklung

Genauigkeit der sukzessiven Approximationen des natürlichen Logarithmus durch Teilsummen der Taylor-Reihe. In dieser Abbildung sind die Achsen um eine Einheit nach rechts verschoben, sodass wir die Taylor-Reihe von ${Anzeigestil ln(z 1)}$ runden ${Anzeigestil z=0,}$ im offenen Intervall absolut konvergent ${Anzeigestil(-1,1).}$ Die rote Kurve ist der Graph des Logarithmus selbst. Die beige Kurve ist die Näherung des 3. Grades; das Blau des 10. Grades und die hellgrüne Kurve ergeben die Taylor-Näherung bis einschließlich Grad 25.

Logarithmen sind analytische Funktionen und kann somit abgerufen werden von Potenzreihe, aber nicht durch eine Reihe in Potenzen von ${Anzeigestil z}$ (d.h. zentriert um 0, auch genannt Maclaurin-Serie genannt), weil 0 nicht zum . gehört Domain des Logarithmus. Der Punkt 0 ist auch kein ook isolierte Singularität, damit a Laurent Serie (Reihenentwicklung einschließlich negativer Potenzen) existiert ebenfalls nicht.

Die Reihenentwicklung des natürlichen Logarithmus um ${Anzeigestil z=1}$ wird gegeben von

${displaystyle ln(z)=sum _{k=1}^{infty}(-1)^{k-1}{frac {(z-1)^{k}}{k}}=(z-1 )-{frac {(z-1)^{2}}{2}} {frac {(z-1)^{3}}{3}}-cdots }$

Diese Reihe enthält keinen Term nullter Ordnung (Konstante), da der Logarithmus von 1 bereits 0 ist. Sein Konvergenzradius ist 1, d. h. es absolut konvergiert für alle komplexen Zahlen ${Anzeigestil z}$ Wofür ${Anzeigestil |z-1|<1}$ und divergiert wenn ${Anzeigestil |z-1|>1.}$

Vor dem ${Anzeigestil z=2}$ wird das der sein alternierende harmonische Reihe, die konvergiert (aber nicht absolut konvergiert) gegen ${Anzeigestil ln 2.}$

Zum Beispiel folgt die obige Formel aus der Integration Term für Term der geometrische Reihe

${displaystyle {frac {1}{1 (z-1)}}=Summe _{k=0}^{infty}(-1)^{k}(z-1)^{k}=1-(z -1) (z-1)^{2}-(z-1)^{3} ldots }$

Für eine allgemeine Basis ${displaystyle aeq 1}$ der Logarithmus ist ein konstantes Vielfaches des natürlichen Logarithmus, seine Folge besteht also aus den gleichen Termen geteilt durch den natürlichen Logarithmus von ${Anzeigestil a:}$

${displaystyle log _{a}(z)=sum _{k=1}^{infty}(-1)^{k-1}{frac {(z-1)^{k}}{kln a}} ={frac {z-1}{ln a}}-{frac {(z-1)^{2}}{2ln a}} {frac {(z-1)^{3}}{3ln a}} -cdots }$

Für Zahlen außerhalb des Konvergenzbereichs ${Anzeigestil |z-1|<1}$ kann prinzipiell analytische Fortsetzung werden verwendet; wirklich ${displaystyle zgeq 2}$ Es ist jedoch einfacher, die Originalsequenz auf anzuwenden ${Anzeigestil z}$ dividiert durch eine hinreichend große Zahl, deren natürlicher Logarithmus als bekannt vorausgesetzt wird, beispielsweise eine Zweierpotenz. Paar ${displaystyle u=z2^{-n}}$ mit einer natürlichen Zahl ${displaystyle n}$ so gewählt, dass ${displaystyle 1leq u<2,}$ dann ist

${displaystyle ln(2^{n}u)=nln 2 Summe _{k=1}^{infty}(-1)^{k-1}{frac {(u-1)^{k}}{k }}=nln 2 (z-1)-{frac {(u-1)^{2}}{2}} {frac {(u-1)^{3}}{3}}-cdots }$

${displaystyle ln z=nln 2 sum _{k=1}^{infty }(-1)^{k-1}{frac {(z2^{-n}-1)^{k}}{k}}=nln 2 {frac {(z-2^{n})}{2^{n}}}-{frac {(z-2^{n})^{2}}{2.2^{2n}}} {frac {(z-2^{n})^{3}}{3.2^{3n}}}-cdots }$

Dit is dan de Taylorreeks van ${displaystyle ln z}$ rond ${displaystyle z=2^{n};}$ ze heeft convergentiestraal ${displaystyle 2^{n}.}$

Logaritme van vierkante matrices

In deze paragraaf beschouwen we matrices waarvan de elementen reële getallen zijn; de begrippen en redeneringen gaan evenwel net zo goed op voor complexe matrices.

De verzameling der vierkante ${displaystyle n imes n}$-matrices vormt een algebra, dat wil zeggen dat matrices niet alleen kunnen worden vermenigvuldigd met een reëel getal en bij elkaar worden opgeteld, maar dat matrices ook onderling met elkaar kunnen worden vermenigvuldigd. Daardoor kan een vierkante matrix ${displaystyle M}$ ook tot de ${displaystyle n}$-de macht worden verheven voor ieder willekeurig natuurlijk getal ${displaystyle n,}$ en dit geeft op zijn beurt een betekenis aan de afzonderlijke termen van de taylorreeks

${displaystyle ln(M)=sum _{k=1}^{infty }(-1)^{k-1}{frac {(M-I)^{k}}{k}}=(M-I)-{frac {(M-I)^{2}}{2}} {frac {(M-I)^{3}}{3}}-cdots }$

waar ${displaystyle I}$ de eenheidsmatrix van dezelfde afmetingen als ${displaystyle M}$ is.

Om over convergentie en limieten van dergelijke reeksen te kunnen spreken, hebben we een convergentiebegrip voor vierkante matrices nodig; vaak wordt daarvoor de operatornorm gebruikt:

${displaystyle |M|=sup{|Mv|;vin mathbb {R} ^{n},|v|leq 1}}$

De taylorreeks hierboven convergeert als ${displaystyle |M-I|<1}$ en definieert dus (althans voor matrices die "dicht" bij de eenheidsmatrix liggen) de natuurlijke logaritme van een vierkante matrix. Ook hier is de logaritme de inverse van de exponentiële functie, op voorwaarde dat we de exponentiële functie ook via haar Taylorreeks definiëren. De logaritme van de eenheidsmatrix is de nulmatrix. De rekenregel ${displaystyle ln(M.N)=ln M ln N}$ geldt evenwel alleen als ${displaystyle M}$ en ${displaystyle N}$commuterende matrices zijn, dat wil zeggen als ${displaystyle M.N=N.M}$