WikiDer > Betreiberstandard

In dem Funktionsanalyse, eine Unterregion der Mathematik, ist der Betreiberstandard ein Mittel zur Bestimmung der "Größe" bestimmter lineare Operatoren messen. Formal ist es a Norm die auf der definiert ist Platz von beschränkte lineare Operatoren zwischen zwei Daten normierte Vektorräume. Der Betreiberstandard hängt von den Standards in diesen Bereichen ab.

Definition

Das Betreiberstandard${displaystyle |A|_{ ext{on}}}$ eines linearen Bildes ${displaystyle Acolon V o W}$ der normierten Vektorräume ${Anzeigestil V}$ und ${Anzeigestil W}$ kann auf verschiedene äquivalente Weisen definiert werden. Vor dem ${displaystyle Veq {0}}$:

1. ${displaystyle |A|_{ ext{op}}=inf{cgeq 0:|Av|leq c|v|{mbox{ für alle }}vin V}}$
2. ${displaystyle |A|_{ ext{op}}=sup{|Av|:vin V{mbox{ with }}|v|leq 1}}$
3. ${displaystyle |A|_{ ext{op}}=sup{|Av|:vin V{mbox{ with }}|v|=1}}$
4. ${displaystyle |A|_{ ext{op}}=sup links{{frac {|Av|}{|v|}}:vin V{mbox{ with }}veq 0ight}}$

Im trivialen Fall ${Displaystil V={0}}$ die Mengen in der dritten und vierten Definition sind leer, und die ersten beiden Definitionen geben null zurück.

Ist das Ergebnis endlich, heißt der Operator beschränkt. Dies entspricht der Stetigkeit für lineare Operatoren.

Ein linearer Operator zu und von einem endlichdimensionalen Vektorraum wird dargestellt durch a Matrix. ${Anzeigestil Av}$ kann dann als Multiplikation einer Matrix und eines Vektors gelesen werden. Dieser Operator ist für jedes Paar von Standards beschränkt/stetig.