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EIN Logarithmustabelle ist eine Tabelle von Standardlogarithmen, ein entsprechend gewählter Satz von Werten von Logarithmen, mit dem allgemeine Berechnungen durchgeführt werden können. Bis etwa 1980 war eine Logarithmustabelle weit verbreitet Werkzeug für Berechnungen, bevor Werkzeuge wie Rechner und Computer wurden verfügbar.

Geschichte

Die erste Veröffentlichung über Logarithmen von John Napier (1550 - 1617) stammt aus dem Jahr 1614. Das Wort Logarithmus ist eine Kombination der beiden griechischen Wörter Logos und Arithmose, was richtig übersetzt werden kann mit Verhältnis. Der Logarithmus von Napier war ursprünglich kein Logarithmus im Sinne einer inversen Operation einer Exponentialoperation. Henry Briggs (1561 - 1630), hat er zwar die Arbeit mit Logarithmen zur Basis 10 eingeführt, aber wir können sie noch nicht als Exponenten der Basis 10 sehen. Nur durch die Arbeit von Leonhard Euler das Konzept des Logarithmus nahm seine heutige Bedeutung an und die Logarithmen von Briggs erwiesen sich als Exponenten von 10. Briggs' Logarithmen mit der Basis 10 werden zum gewöhnliche Logarithmen erwähnt.

Briggs konstruierte die erste Logarithmustabelle, die noch lange nicht vollständig war. Er verlinkte a geometrische Folge zu einer arithmetische Zeile. Er berechnete die Logarithmen von 1 bis 20.000 und von 90.000 bis 100.000 mit bis zu 14 Nachkommastellen. Diese Tabelle wurde 1624 veröffentlicht. Hesekiel de Decker veröffentlichte 1627 eine Logarithmustabelle, die auch die Logarithmen von 20.000 bis 90.000 enthält.

De Decker arbeitete eng mit Adriaen Vlacq. Vlacq veröffentlichte jedoch 1628 die Logarithmustabelle unter seinem eigenen Namen. Gerade dieser Tisch von Vlacq wurde in ganz Europa verwendet und machte Vlacq berühmt. Es liegt auf der Hand, anzunehmen, dass De Decker und Vlacq zusammen den enormen Rechenaufwand für die Konstruktion der Logarithmustabelle durchgeführt haben, aber das ist nicht sicher.

Die Logarithmen in der Tabelle von Vlacq und De Decker enthalten 10 Nachkommastellen, danach wurden jedoch hauptsächlich Logarithmentabellen verwendet, in denen die Logarithmen mit 5, 6 oder 7 Nachkommastellen ausgedrückt werden. Mittels linearer Interpolation es ist möglich, daraus ohne große Schwierigkeiten Werte mit mehr Nachkommastellen zu erhalten.

Simon Newcomb im Jahr 1881 und Frank Benford entdeckte 1938 auf der Grundlage von Logarithmustafeln ein Gesetz über die Unterteilung von Ziffern in Zahlen, das heute das Benfords Gesetz wird genannt.

Rechenoperationen

Der wichtigste Aspekt beim Rechnen mit einer Logarithmustabelle ist, dass Multiplikationen durch Umrechnung in Logarithmen zu Ergänzungen einbiegen in. Für zwei Zahlen ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ multipliziert man sie miteinander, addiert man die Logarithmen dieser Zahlen und findet die Antwort. Letztendlich:

${displaystyle acdot b=10^{log(a) log(b)}}$

Durch Anwendung anderer Rechenregeln für Logarithmen werden Divisionen in Subtraktionen umgewandelt; Potenzierung in Multiplikationen; Wurzeln schlagen in Divisionen. Willkürliche Potenzen mit positiver Basis und willkürlichem Exponenten können unter Verwendung von Double Logs berechnet werden. Durch die Verwendung der Logarithmustabelle werden somit die schwierigeren Operationen in Additionen und Subtraktionen, die einfachsten Rechenoperationen, umgewandelt, so dass komplizierte und zeitaufwendige Berechnungen in wesentlich einfachere Berechnungen umgewandelt werden können.

Die Logarithmustabelle

Seite aus einer Logarithmustabelle (Logarithmische und trigonometrische Tabellen und Beistelltische von Dr. B. Gonggerei, 1963)

Logarithmentabellen für die gebräuchlichen Logarithmen bestehen aus einer Tabelle mit den Mantissen der Logarithmen zur Basis 10 und einer Logarithmentabelle der am häufigsten verwendeten trigonometrischen Verhältnisse. Die Logarithmustabelle kann auch Mantissentabelle oder Exponententabelle genannt werden.

Logarithmen mit Basis 10

Der nächste Mantissentisch zeigt ein Beispiel für zwei Zeilen aus einer Logarithmus-Tabelle mit den Mantissen der Zahlen 1 bis 10000:

Nein	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
661	0,82020	027	033	040	046	053	060	066	073	079
662	0,82086	092	099	105	112	119	125	132	138	145

Jede positive Zahl ${Anzeigestil x}$ kann in Gleitkomma-Notation geschrieben werden als ${displaystyle x=Scdot 10^{W}}$. Dies wird am häufigsten verwendet wissenschaftliche Schreibweise. Die Nummer ${Anzeigestil S}$, eine Zahl von 1 bis 10, ist die von Bedeutung von ${Anzeigestil x}$; die ganze Zahl ${Anzeigestil W}$ ist der Zeiger.

In der ersten Spalte der obigen Tabelle (Spalte mit N bezeichnet) ist der signifikante ${Anzeigestil S}$ 3-stellig aufgeführt, jedoch ohne Komma. Die vierte Ziffer von ${Anzeigestil S}$ steht in der obersten Reihe. Nur die Spalte mit der Zahl 0 darüber enthält die Zahlen 0,82; die folgenden Spalten enthalten nur die letzten 3 Ziffern. Zum Beispiel sehen wir, dass der Logarithmus von 6,617 (a signifikant) gleich 0,82066 ist. Damit wissen wir auch, dass der Logarithmus von 66,17 gleich 1,82066 = 0,82066 1 ist und dass der Logarithmus von 661,7 gleich 2,82066 = 0,82066 2 ist und so weiter. Der Logarithmus von 0,006617 ist gleich 0,82066 − 3. Für den Logarithmus von 0,006617 schreiben wir nicht −2,17934, wie wir es bei einem elektronischen Taschenrechner tun würden.

Der Logarithmus einer positiven Zahl ${Anzeigestil x}$ wird immer im Logarithmus des Signifikanten ausgedrückt ${Anzeigestil S}$, Das Mantisse${displaystyle m}$ heißt und eine ganze Zahl Zeiger${Anzeigestil W}$. die Mantisse ${displaystyle m}$ ist eine Zahl von 0 bis 1. Die Logarithmustabelle enthält neben ${Displaystil N}$ (${Anzeigestil =S}$ ohne Komma) nur die Mantissen des entsprechenden Signifikanten ${Anzeigestil S}$; der Zeiger ${Anzeigestil W}$ muss man immer selbst bestimmen. Da der Dezimalpunkt bei den meisten Berechnungen erst in der letzten Minute platziert wird, müssen wir uns nicht um den Dezimalpunkt in kümmern ${Displaystil N}$ oder ${Anzeigestil S}$.

Die Mantisse läuft von 0 bis 1, aber oft ist es sinnvoll, auch die ganzzahlige Mantisse sprechen. Ist die eigentliche Mantisse? ${Anzeigestil m=0{,}82115}$ dann ist ${Anzeigestil M=82115}$ die entsprechende ganzzahlige Mantisse.

Der Zeiger ${Anzeigestil W}$ können wir auch mit folgender Faustregel bestimmen: Ist die positive Zahl ${Anzeigestil x}$ größer als 1 ist der Zeiger is ${Anzeigestil W}$ gleich der Anzahl der Stellen vor dem Komma minus 1; ist die positive Zahl ${Anzeigestil x}$ kleiner als 1, dann ist der Zeiger ${Anzeigestil W}$ gleich der Anzahl der Nullen, mit der die Zahl ${Anzeigestil x}$ startet multipliziert mit -1. Der Zeiger von 345,67 ist also 2; der Zeiger von 0,000567 ist -4.

Proportionale Teile

Wie die obige Tabelle zeigt, ist der Unterschied zwischen zwei aufeinanderfolgenden Mantissen über kleine Teilintervalle immer gleich. Über die gesamte Logarithmustabelle werden diese Unterschiede immer kleiner, da der Graph des Logarithmus immer weniger stark ansteigt. (Aufgrund von Rundungen kann die Differenz manchmal lokal zunehmen.) In einem solchen Intervall können wir den Graphen der logarithmischen Funktion als annähernd geradlinig betrachten. Als Ergebnis können wir auf Zwischenmantissen zugreifen über lineare Interpolation Berechnung. Um die Interpolation zu erleichtern, werden neben den Mantissen kleine Multiplikationstabellen gedruckt. Auf der Seite der Tabelle, der wir die beiden obigen Zeilen entnommen haben, sind beispielsweise die Multiplikationstabellen von 6 und 7 aufgeführt, bei denen die Produkte durch 10 geteilt werden:

	6	7
1	0,6	0,7
2	1,2	1,4
3	1,8	2,1
4	2,4	2,8
5	3,0	3,5
6	3,6	4,2
7	4,2	4,9
8	4,8	5,6
9	5,4	6,3

Eine solche Multiplikationstabelle wird Tabelle der proportionalen Teile erwähnt. Wir lesen diese Tabelle wie folgt: wenn zum Beispiel rechts von ${Displaystil N}$ a 4 wird addiert und die Differenz zweier aufeinanderfolgender ganzzahliger Mantissen ist 6, dann mit ganzzahliger Mantisse ${Anzeigestil M}$ 2,4 der ersten Zahl hinzugefügt. Ein Beispiel zur Verdeutlichung. Die ganzzahlige Mantisse ${Anzeigestil M}$ von 6613 ist 82040 und die ganzzahlige Mantisse ${Anzeigestil M}$ von 6614 ist 82046. (Wir kümmern uns vorerst nicht um die Stellen der Kommas.) Wir sehen, dass der Unterschied zwischen diesen beiden ganzzahligen Mantissen 6 beträgt. Angenommen, wir wollen die Mantisse von . wissen Nein = 6613,7, dann nehmen wir an, dass die Addition 0,7 beträgt und dass der Anstieg der Mantisse 0,7 mal 6 = 4,2 betragen muss. Wir finden die Zahl 4,2 in der Multiplikationstabelle mit 6 darüber. Wir addieren: 82040 4,2 = 82044,2, was wir auf . runden ${Anzeigestil M=82044}$. Die angeforderte tatsächliche Mantisse ${displaystyle m}$ ist somit 0,82044.

Auf diese Weise haben wir die Mantisse einer 5-stelligen Zahl bestimmt, aber diese Methode eignet sich auch zur Bestimmung der Mantisse einer 6-stelligen Zahl. Wir führen einfach die lineare Interpolation bis zur nächsten Dezimalstelle durch und teilen die Zahlen in der Tabelle der proportionalen Division durch 100 statt durch 10. Zum Beispiel ist die ganzzahlige Mantisse von 6613,78 in 5 Stellen gleich 82040 4,2 0,48 = 82045 und so ist die eigentliche Mantisse? ich = 0,82045. (Da die ursprünglichen Mantissen 5-stellig sind, muss auch die interpolierte Antwort 5-stellig ausgedrückt werden.)

Wenn der Logarithmus einer Zahl ${Anzeigestil x}$ ist gegeben und wir ${Anzeigestil x}$ feststellen wollen, gehen wir mehr oder weniger gleich vor. Annehmen ${displaystyle log(x)=2{,}2116}$, dann ist ${Anzeigestil W=2}$ der Zeiger und ${Anzeigestil m=0{,}82116}$ die eigentliche Mantisse. Die ganzzahlige Mantisse ist ${Anzeigestil M=82116}$. Er liegt zwischen 82112 und 82119 in der zweiten Zeile der Tabelle, die diesen Abschnitt beginnt. Mit den ganzzahligen Mantissen ${Anzeigestil M=82112}$ und ${Anzeigestil M=82119}$ höre jeweils die Zahlen ${Displaystil N=6624}$ und ${Displaystil N=6625}$. Anscheinend brauchen wir einen Zwischenwert von ${Displaystil N}$ finden, für die die ganzzahlige Mantisse 82116 ist. Die Mantisse 82112 muss noch 4 wachsen. Die Differenz von 82119 und 82112 beträgt 7. Wenn wir in die Tabelle mit Proportionalteilen unter 7 schauen, sehen wir, dass wir die Mantisse um 3,5 um die Zahl erhöhen können ${Displaystil N}$ um 0,5 wachsen. Biene ${Displaystil N=6624{,}5}$ hört daher die Mantisse 82112 3.5 = 82115.5. Die Differenz zur angegebenen Mantisse 82116 beträgt immer noch 0,5. Wenn wir noch einmal in der Tabelle mit proportionalen Anteilen unter 7 nachsehen, sehen wir, dass wir die Mantisse um 0,49 erhöhen können, indem wir den zuvor gefundenen Wert von verwenden ${Displaystil N}$ um 0,07 erhöht werden. Wir haben somit 82115,5 0,49 = 82115,99 als sehr gute Näherung der gegebenen Mantisse 82116. Der entsprechende Wert von ${Displaystil N}$ ist 6624 0,5 0,07 = 6624,57, die wir durch Runden auf 6624,6 auf 5 Stellen reduzieren ${Anzeigestil W}$. Dieser ist 2, also beträgt die Anzahl der Stellen vor dem Komma 3: 662,46 ist der angeforderte Wert von ${Anzeigestil x}$. Wir können dieses Ergebnis mit einem elektronischen Taschenrechner überprüfen: 10^2,82116 = 662,46.

Logarithmen trigonometrischer Verhältnisse

Seite aus einer trigonometrischen Tabelle

Wer eine Logarithmustabelle öffnet, sieht fast immer neben der Tabelle der gewöhnlichen Logarithmen auch eine Tabelle mit den Logarithmen der trigonometrischen Verhältnisse. Um viele Parameter im . zu berechnen Trigonometrie, Trigonometrie und sphärische Trigonometrie stehen neben den Logarithmen der von Bedeutung benötigen auch die Logarithmen der trigonometrischen Verhältnisse.

Die trigonometrischen Verhältnisse der Winkel im ersten Quadranten sind positiv. In den anderen Quadranten sind einige Verhältnisse positiv und andere negativ. Einfache Translationen können jedoch die Berechnung eines solchen Verhältnisses auf ein trigonometrisches Verhältnis eines Winkels im ersten Quadranten reduzieren. Die Tabelle mit den Logarithmen der trigonometrischen Verhältnisse enthält daher nur die winkelbezogenen Logarithmen im ersten Quadranten.

Außerdem ist man auf Winkel in der ersten Hälfte des ersten Quadranten beschränkt, denn über die Formeln

${displaystyle { egin{cases}sin(45^{circ } alpha)=cos(45^{circ}-alpha)/cos(45^{circ} alpha)=sin(45^{circ}-alpha)/an/ (45^{circ } alpha ) = Kinderbett (45^{circ }-alpha )/Kinderbett (45^{circ } alpha ) = an(45^{circ }-alpha )end{cases}}}$

die trigonometrischen Winkelverhältnisse in der zweiten Hälfte des ersten Quadranten lassen sich leicht in Winkelverhältnisse in der ersten Hälfte umwandeln.

In der Tabelle sehen wir die Logarithmen des Sekants und des Kosekans nicht, da diese leicht aus den Logarithmen des Sinus und des Kosinus bestimmt werden können.

${displaystyle { egin{cases}log sec alpha =-log cos alpha /log csc alpha =-log sin alpha end{cases}}}$

Winkel in Logtabellen werden normalerweise in der angegeben sexagesimale Zahlensystem ausgedrückt, d. h. in Grad, Minuten und Sekunden. Einige Log-Tabellen verwenden Gons, die einen Viertelkreis in 100 Gon (100 grad oder 100 gr) teilen. Diese Verteilung sollte nicht mit der Dezimalverteilung von Sexagesimalgraden verwechselt werden, wie z. B. auf a Rechenschieber oder in einem elektronischen Taschenrechner, bei dem jeder Grad in Zehntel- und Hundertstelgrad unterteilt ist, wo ein Viertelkreis jedoch in 90 Grad unterteilt ist.

Für Winkel in der ersten Hälfte des ersten Quadranten sind Sinus, Cosinus und Tangens kleiner als 1, sodass die Logarithmen dieser Verhältnisse negativ sind. Bei positiven Werten sind die Rechenoperationen jedoch einfacher durchzuführen, daher wird die Zahl 10 zum tatsächlichen Wert des Logarithmus des relevanten trigonometrischen Verhältnisses addiert. Zum Beispiel finden wir: log sin(40°,37') = 9,81 358. Der tatsächliche Wert ist −0,18 642, aber es erweist sich als unpraktisch, damit zu rechnen. Die Schreibweise mit einem Bindestrich über der ersten Stelle des Logarithmus wird ebenfalls verwendet. Man sieht dann Ī,81 358, was als 0,81 358 – 1 gelesen werden sollte.

Einige Zeilen einer Seite aus einer Tabelle mit den Logarithmen der trigonometrischen Verhältnisse sind:

40°
ich	log Sünde	V 1s	Log tan	GV 1s	Blockbett	log cos	V 1s	ich
36	...	...	...	...	...	...	...	24
37	9,81 358	0,23	9,93 329	0,42	10,06 671	9,88 029	0,18	23
38	...	...	...	...	...	...	...	22
ich	log cos	V 1s	Blockbett	GV 1s	Log tan	log Sünde	V 1s	ich
49°

Eine solche Seite kann von oben nach unten oder von unten nach oben gelesen werden.

Von oben nach unten gelesen, diese Seite betrifft den Winkel von 40°. Die nächste Zeile enthält die Überschriften M für Minuten für das Lesen von oben nach unten, log sin, V1s = Differenz pro Sekunde, log tan, GV1s = gemeinsame Differenz pro Sekunde, log cotan, V1s = Differenz pro Sekunde, und wieder M für Minuten , aber jetzt zum Lesen von unten nach oben.

Von unten nach oben gelesen, ist es nicht notwendig, eine 45°-Addition oder -Subtraktion durchzuführen. Von unten nach oben gelesen, dies betrifft den Winkel von 49°. Darüber ist eine weitere Reihe von Tassen. Log Sin und Log Cos haben die Plätze getauscht, ebenso wie Log Tan und Log Cotan.

Die Tabelle lautet: log sin(40°,38') = 9,81 372. Der Unterschied zu log sin(40°,37') = 9,81 358 beträgt 14 Einheiten der äußersten rechten Ziffer. Da sich die Winkel um 1 Minute = 60 Sekunden unterscheiden, beträgt die Differenz pro Sekunde 14/60 = 0,23 (333) Einheiten der äußersten rechten Ziffer. (Es gibt auch Tabellen, die nur die Differenz von 15 Einheiten auflisten und die Berechnung der Differenz pro Sekunde dem Benutzer überlassen.) Log sin (40°,37',20") = 9,81 358 20 0,00 000 23(333) = 9,81 363.

Zwischen den Spalten log tan und log cotan befindet sich die Spalte mit den gemeinsamen Unterschieden. Da log tan(α) log cotan(α) = 0 ist, nimmt der Kotangens pro Sekunde ab, wenn der Tangens pro Sekunde zunimmt. Zum Beispiel log tan(40°,37',20") = 9,93 329 20 0,00 000 42 = 9,93 337, aber log cotan(40°,37',20") = 10,06 671 − 20·0,00 000 42 = 10,06 663.

Beispiele

Ein Beispiel mit Multiplikation und Division.
Berechnung

${displaystyle x={frac {4{,}767cdot 305{,}3cdot 10{,}68}{15{,}67}}}$

Logarithmus:

${displaystyle log x=log 4{,}767 log 305{,}3 log 10{,}68-log 15{,}67=}$

${displaystyle =0{,}67825 0{,}48473 2 0{,}028570 1-0{,}19507-1=}$

${displaystyle =2{,}99648}$

So

${Displaystil x={10}^{2{,}99648}=991{,}9}$

Ein Beispiel mit Kräften.
Berechnung

${displaystyle x={frac {76{,}89^{3}}{0{,}6990^{2}}}}$

Logarithmus:

${displaystyle log x=3cdot log 76{,}89-2cdot log 0{,}6990=}$

${Anzeigestil =3cdot (0{,}88587 1)-2cdot (0{,}84448-1)=0{,}96865 5}$

So

${Displaystil x=10^{0{,}96865 5}=9{,}304cdot 10^{5}}$

Ein Beispiel für eine Potenz mit einer Basis größer als 1 und einem Exponenten größer als 1.
Berechnung

${Anzeigestil x=56{,}86^{1{,}596}}$

Logarithmus:

${displaystyle log x=1{,}596cdot log 56{,}86}$

Logarithmus noch einmal:

${displaystyle log log x=log 1{,}596 log log 56{,}86=}$

${displaystyle =0{,}20303 log 1{,}75481=0{,}20303 0{,}24423=0{,}44726}$

So

${Displaystil-Log x=10^{0{,}44726}=2{,}80066}$

und

${Anzeigestil x=10^{2{,}80066}=631{,}9}$

Ein Beispiel mit Wurzeln.
Berechnung

${displaystyle x={frac {sqrt[{5}]{234{,}6}}{sqrt[{3}]{1987}}}}$

Logarithmus:

${displaystyle log x={ frac {1}{5}}log 234{,}6-{ frac {1}{3}}log 1987={ frac {1}{5}}(0{,}37033 2) -{ frac {1}{3}}(0{,}29820 3)=}$

${Anzeigestil =0{,}474066-1{,}0994=0{,}374666-1}$

So

${Anzeigestil x=10^{0{,}374666-1}=0{,}2370}$

Vor allem in der Geometrie stoßen wir auf Kombinationen von Logarithmen von Zahlen und Logarithmen von trigonometrischen Verhältnissen. Mit Hilfe der Logarithmus-Tabelle ist eine solche Kombinationsrechnung nicht schwierig, wie das folgende Beispiel zeigt: Angenommen, das Dreieck ABC ist rechtwinklig mit dem Winkel B dem rechten Winkel. Angenommen, der Winkel A beträgt 32°,40' und AB = 4,8, dann berechnen wir BC wie folgt:

${displaystyle { egin{aligned}&BC=ABcdot an A=4{,}8cdot an 32^{circ }40' o /&log BC=log 4{,}8 log an 32^{circ }40'=/&= 0{,}68124 9{,}80697-10=/&=0{,}48821 o /&BC=10^{0{,}48821}=3{,}1/Ende{ausgerichtet}}}$

Siehe auch

• Logarithmus
  • Briggs-Logarithmus
  • Natürlicher Logarithmus
• Rechenschieber
• Adriaen Vlacq
• Hesekiel de Decker