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In dem Mathematik wird mit dem Begriff invers eine Reihe verwandter Konzepte, wie inverse Operation, inverse von a Nummer oder Variable relativ zu einem bestimmten Operation und darauf bezogen die Inverse eines Elements von a Gruppe, die Umkehrung von a Funktion oder Bild, und damit die Umkehrung von a Matrix.

Inverser Betrieb

Unter der inversen Operation einer (arithmetischen) Operation verstehen wir eine Operation, die in gewissem Sinne das Gegenteil bewirkt. So ist subtrahieren die umgekehrte oder entgegengesetzte Operation von summieren, Teilen ist die Umkehroperation von multiplizieren. Mit Potenzierung es gibt zwei möglichkeiten. Wenn die Variable ${Anzeigestil x}$ es Base ist zum Beispiel in ${Anzeigestil x^{2},}$ ist Verwurzelung die umgekehrte Operation von Potenzierung. wenn ${Anzeigestil x}$ in dem Exponent Zustand, zum Beispiel in ${displaystyle e^{x},}$ ist der Logarithmus die Umkehrung der Exponentiation.

Inverse einer Zahl oder Variable

Wenn wir eine Zahl zuerst mit 3 und dann mit 1/3 multiplizieren, ist das Endergebnis die ursprüngliche Zahl. Immerhin ergeben die Zahlen 3 und 1/3 als Produkt die Zahl 1, die für die Multiplikation die neutrales Element ist. Sie werden daher als umgekehrt zur Operation des Multiplizierens bezeichnet. Zum Beispiel eine beliebige Zahl oder Variable ${Anzeigestil x,}$ vorausgesetzt ungleich 0, bezüglich Multiplikation ein Inverses ${Anzeigestil 1/x.}$

Im Allgemeinen versteht man unter dem Inversen einer Variablen ${Anzeigestil x}$ relativ zu einer gegebenen binären Operation die Zahl ${Anzeigestil x^{-1}}$ auf die das Ergebnis der Operation angewendet wird ${Anzeigestil x}$ und diese Zahl ergibt das neutrale Element dieser Operation.

Bei der Berechnung modular eine Zahl ${displaystyle n}$ ist die Multiplikationsinverse der Zahl ${Anzeigestil x}$ wird bestimmt durch:

${displaystyle x^{-1}cdot x=1mod n}$

wenn ${displaystyle n}$ B. gleich 29, können die Kehrwerte der Zahlen 1 bis 28 berechnet werden. 25 ist also die Umkehrung von 7, weil

${displaystyle 25imes 7=175äquivalent 1mod 29.}$

Um die Multiplikationsinverse zu finden, wird euklidischer Algorithmus benutzt.

Umkehrung einer Funktion oder eines Bildes

Wie im Artikel Funktion erklärt, man kann bijektives Bild${Anzeigestil A}$ ein inverses Bild ${Displaystil A^{-1}}$ definiere, was sozusagen die Umkehrung von ist ${Anzeigestil A}$ vollbringt. Passt einer zuerst ${Anzeigestil A}$ bis zu ${Anzeigestil x,}$ und dann auf das ergebnis ${Anzeigestil A(x)}$ das inverse bild ${Displaystil A^{-1},}$ dann ist das Ergebnis wieder gleich ${Anzeigestil x;}$ in Formelform

${Anzeigestil A^{-1}(A(x))=x}$

Ein Beispiel zeigt, wie die Inverse einer Funktion bestimmt werden kann. Sie:

${Anzeigestil f(x)=e^{3x}}$

Dies ist eine bijektive Funktion, von der die Umkehrung existiert. Die Umkehrfunktion ${displaystyle f^{-1}}$fügt einem Bild hinzu ${Anzeigestil y=f(x)}$ das Original ${Anzeigestil x}$ eingestehen:

${Anzeigestil f^{-1}(y)=x}$.

Durch das Lösen ${Anzeigestil x}$ aus der Gleichung:

${displaystyle y=e^{3x}}$,

folgt

${displaystyle f^{-1}(y)=x={ frac {1}{3}}ln(y)}$

So für ${Anzeigestil y>0}$ ist:

${displaystyle f^{-1}(y)={ frac {1}{3}}ln(y)}$

Andere Beispiele

• ${displaystyle fleft(xight)=aximplies f^{-1}left(yight)={frac {1}{a}}y}$

• Für eine ungerade natürliche Zahl gilt n ${displaystyle fleft(xight)=x^{n}impliziert f^{-1}left(yight)={sqrt[{n}]{y}}}$

• ${displaystyle fleft(xight)=n^{x}impliziert f^{-1}left(yight)=log _{n}left(yight)}$

Inverse Transformation

Transformationen beinhalten auch inverse Transformationen. EIN Transformation ist ein (teilweise) Funktion von a Sammlung zu sich selbst. "Verdoppeln" und "Haben" sind beispielsweise Transformationen der Menge der reellen Zahlen. Eine Transformation ist die Umkehrung der anderen.

unter einem Funktionstransformation wir meinen eine Operation, die eine Funktion über eine bestimmte Regel auf eine andere Funktion abbildet.

Ein Beispiel für eine inverse Funktionstransformation ist die inverse Laplace-Transformation.

Inverse einer Matrix

Das inverse Matrix (siehe dort) von a QuadratinvertierbarMatrix ist die Umkehrung der Operation Matrix-Multiplikation. Da die Matrixmultiplikation der sukzessiven Anwendung der entsprechenden (linearen) Bilder entspricht, ist die Inverse einer Matrix auch die Matrix des inversen Bildes.

Inverse einer Teilordnung

Das Inverse einer Teilordnung erhält man durch Vertauschen der beiden Operanden.