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In dem Lineare Algebra ist der inverse Matrix, oder kurz de invers, von a quadratische Matrix das inverse Element von die Matrix zum Betrieb Matrix-Multiplikation. Nicht jede Matrix hat eine Inverse. Eine Matrix hat nur dann eine Inverse, wenn die bestimmend der Matrix ist ungleich 0. Wenn das Inverse existiert, wird die Matrix als invertierbar bezeichnet. Die Umkehrung der invertierbaren Matrix ${Anzeigestil A}$, notiert als ${Displaystil A^{-1}}$, ist auch eine quadratische Matrix der gleichen Dimension wie ${Anzeigestil A}$, die sowohl links als auch rechts mit . hat ${Anzeigestil A}$ multipliziert die Einheitenmatrix ergibt.

Als Gleichungssystem ${displaystyle Ax=b}$ das Gegenteil ${Displaystil A^{-1}}$ von ${Anzeigestil A}$ ist bekannt, für unterschiedliche Werte der Vektor${displaystyle b}$, der Vektor ${Anzeigestil x}$ berechnet wird. Die Lösung ist ${Anzeigestil x=A^{-1}b}$.

Definition

EIN ${Anzeigestil n imes n}$-Matrix ${Anzeigestil A}$ heißt invertierbar, falls a ${Anzeigestil n imes n}$-Matrix ${Anzeigestil B}$ existiert so, dass

${Anzeigestil AB=BA=I}$

Darin ist ${Anzeigestil I}$ das Einheitenmatrix außer Betrieb ${displaystyle n}$, auch bezeichnet als ${displaystyle I_{n}}$. Die Matrix ${Anzeigestil B}$ heißt die Umkehrung von ${Anzeigestil A}$ und wird bezeichnet mit ${Displaystil A^{-1}}$.

Eine invertierbare Matrix wird auch regulär genannt und ein nicht invertierbares Singular.

Eigenschaften

• Einzigartigkeit: Die Umkehrung ist eindeutig bestimmt. Angenommen, die ${Anzeigestil n imes n}$-Matrix ${Anzeigestil C}$ ist auch eine Umkehrung von ${Anzeigestil A}$. Dann ist

${Anzeigestil C=CI=C(AA^{-1})=(CA)A^{-1}=IA^{-1}=A^{-1}}$

• wenn ${Anzeigestil A}$ ist invertierbar, ist auch ${Displaystil A^{-1}}$ invertierbar und

${Anzeigestil (A^{-1})^{-1}=A}$

• wenn ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ beide invertierbar ${Anzeigestil n imes n}$Matrizen sind auch ihr Produkt ${Anzeigestil AB}$ invertierbar und

${Anzeigestil (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}$

• wenn ${Anzeigestil A}$ ist invertierbar, und ${Anzeigestil c}$ eine von 0 verschiedene reelle Zahl ist, dann

${displaystyle (cA)^{-1}={frac {1}{c}} A^{-1}}$

• Das transponierte Matrix${Displaystil A^{ auf }}$ einer invertierbaren Matrix ${Anzeigestil A}$, ist auch invertierbar und

${displaystyle (A^{ on})^{-1}=(A^{-1})^{ on }}$

Umkehrbarkeit

Für ein ${Anzeigestil n imes n}$-Matrix ${Anzeigestil A}$ die folgenden Aussagen sind äquivalent:

• ${Anzeigestil A}$ ist invertierbar
• da ist ein ${Anzeigestil n imes n}$-Matrix ${Anzeigestil B}$ so dass ${displaystyle AB=I_{n}}$
• da ist ein ${Anzeigestil n imes n}$-Matrix ${Anzeigestil C}$ so dass ${displaystyle CA=I_{n}}$
• das bestimmend von ${Anzeigestil A}$ ist verschieden von 0
• Die gleichung ${displaystyle Ax=0}$ hat die einzige lösung ${Anzeigestil x=0}$
• Die gleichung ${displaystyle Ax=b}$ hat für jeden genau eine Lösung ${displaystyle b}$
• ${Displaystil A^{ auf }}$ ist invertierbar
• die Spalten von ${Anzeigestil A}$ sein linear unabhängig
• die Reihen von ${Anzeigestil A}$ sind linear unabhängig
• das Rang von ${Anzeigestil A}$ ist ${displaystyle n}$
• das Staffelform von ${Anzeigestil A}$ ist die Einheitsmatrix
• alle Eigenwerte von ${Anzeigestil A}$ sind verschieden von null
• das linearer Operator zugehörig ${Anzeigestil A}$ ist invertierbar
• der mit verbundene lineare Operator ${Anzeigestil A}$ ist injektiv, surjektiv, oder beide.

umkehren

Tatsächlich ist die Berechnung der Inversen einer Matrix oft eine mühsame Aufgabe mit vielen numerischen Schwierigkeiten. Dies liegt daran, dass die beteiligten Matrizen in der Regel große Abmessungen haben. Sowohl theoretisch als auch praktisch wurde viel über die Entwicklung von Het geforscht Algorithmen um eine Matrix zu invertieren.

Die Umkehrung der quadratischen Matrix ${Anzeigestil A}$ kann mit der Formel berechnet werden

${displaystyle A^{-1}={frac {1}{det(A)}}{m {{adj}(A)}}}$

Darin ist ${displaystyle det(A)}$ das bestimmend von ${Anzeigestil A}$ und ${displaystyle {m {{adj}(A)}}}$ das Adjutant von ${Anzeigestil A}$.

Beispiel 1

Die 2×2-Matrix ${displaystyle A={ egin{bmatrix} a&b/c&d end{bmatrix}}}$ ist invertierbar, wenn die bestimmend von ${Anzeigestil A}$ ist ungleich 0: ${displaystyle ad-bceq 0}$. Die Umkehrung von ${Anzeigestil A}$ ist dann gegeben durch:

${displaystyle A^{-1}={frac {1}{ad-bc}} { egin{bmatrix}d&-b/-c&aend{bmatrix}}}$

Matrix "wischen"

Die Anwendung dieser Formel erfordert jedoch in der Regel einen hohen Rechenaufwand.

Einer der numerisch Methoden zur Bestimmung der Inversen einer invertierbaren Matrix ${Anzeigestil A}$ ist durch Gauss-Eliminierung die erweiterte Matrix ${displaystyle [A|I_{n}]}$ rückführbar auf ${displaystyle [I_{n}|A^{-1}]}$.

Beispiel 2

Umkehren:

${displaystyle A={ egin{bmatrix}1&2&0/2&4&1/2&1&0end{bmatrix}}}$

Bilden Sie die erweiterte Matrix

${displaystyle [Amid I;]=left[{ egin{array}{ccc|ccc}1&2&0&1&0&0/2&4&1&0&1&0/2&1&0&0&0&1end{array}}ight]}$

Fegen:

Subtrahiere 2 mal die erste Zeile von den anderen beiden:

${displaystyle left[{ egin{array}{ccc|ccc}1&2&0&1&0&0/0&0&1&-2&1&0/0&-3&0&-2&0&1end{array}}ight]}$

Vertauschen Sie die 2. und 3. Reihe:

${displaystyle left[{ egin{array}{ccc|ccc}1&2&0&1&0&0/0&-3&0&-2&0&1/0&0&1&-2&1&0end{array}}ight]}$

Teilen Sie die 2. Reihe durch –3:

${displaystyle left[{ egin{array}{ccc|ccc}1&2&0&1&0&0/0&1&0&{ frac {2}{3}}&0&-{ frac {1}{3}}/0&0&1&-2&1&0end{array}}ight]}$

Subtrahiere 2 mal die 2. Reihe von der 1.:

${displaystyle left[{ egin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-{ frac {1}{3}}&0&{ frac {2}{3}}/0&1&0&{ frac {2}{3}}&0&-{ frac {1}{3}}/0&0&1&-2&1&0end{array}}ight]}$

Die Umkehrung lautet also:

${displaystyle A^{-1}={ egin{bmatrix}-{ frac {1}{3}}&0&{ frac {2}{3}}/{ frac {2}{3}}&0&-{ frac {1 }{3}}/-2&1&0end{bmatrix}}}$

Nicht-quadratische Matrizen

Für eine nicht-quadratische Matrix ${Anzeigestil A}$ Es kann eine separate Matrix für die rechte und linke Multiplikation geben, die bei Multiplikation mit ${Anzeigestil A}$ ergibt eine Einheitsmatrix. Solche Matrizen werden nicht als inverse Matrix betrachtet. Allerdings werden die Begriffe links-invers und rechts-invers verwendet, ohne dass es sich um eine inverse Matrix handelt.