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EIN Linie, bereitgestellt von der Ursprung (blau, dick) im Euklidischer RaumR³ geht, ist ein linearer Unterraum, ein häufiges Studienobjekt in der linearen Algebra.

Lineare Algebra ist ein Teilbereich der Mathematik, das sich mit der Erforschung von Vektoren, Vektorräume und lineare Transformationen, Funktionen die Eingabevektoren nach bestimmten Regeln in Ausgabevektoren umwandeln.

Lineare Algebra ist von zentraler Bedeutung für die moderne Mathematik und ihre Anwendungen. Eine elementare Anwendung der Linearen Algebra ist das Lösen lineare Gleichungssysteme in mehreren Unbekannten. Fortgeschrittenere Anwendungen sind in so unterschiedlichen Bereichen wie der abstrakte Algebra und der Funktionsanalyse. Es hat eine konkrete Vertretung in der analytische Geometrie und wird üblicherweise in der Operatortheorie. Die lineare Algebra wird sowohl im Naturwissenschaften wie im Sozialwissenschaften weit verbreitet. Nichtlinear Mathematische Modelle werden oft durch lineare Modelle approximiert.

Geschichte

Viele der grundlegenden Werkzeuge der linearen Algebra, insbesondere diejenigen, die sich auf die Lösung linearer Gleichungssysteme beziehen, werden seit der Antike verwendet. Aber das abstrakte Studium von Vektoren und Vektorräumen beginnt erst im 17. Jahrhundert. Die Ursprünge vieler dieser Ideen werden in der Geschichte des Artikels über Determinanten. Das Methode der kleinsten Quadrate, erstmals in den 1790er Jahren eingeführt von Carl Friedrich Gauß verwendet wurde, ist eine frühe und bedeutende Anwendung der Ideen der linearen Algebra.

Das Thema begann seine moderne Form Mitte des 19. Jahrhunderts anzunehmen, als viele Ideen und Methoden aus früheren Jahrhunderten in der Welt verallgemeinert wurden abstrakte Algebra. Matrizen und Tensoren wurden zu Beginn des 20. Jahrhunderts eingeführt. Verwenden Sie dies Objekte in dem spezielle Relativitätstheorie, Statistik und Quantenmechanik führte dazu, dass die Ideen der linearen Algebra über die reine Mathematik verbreitet haben.

Allgemeine Strukturen

Das wichtigste Strukturen der linearen Algebra sind Vektorräume und der lineare Bilder zwischen diesen Vektorräumen. EIN Vektorraum ist ein Sammlung, von denen die Elemente kann zusammen und mit hinzugefügt werden Skalare oder Zahlen können multipliziert werden. In vielen natürlichen Anwendungen sind diese Skalare reale Nummern, R. Allgemeiner ausgedrückt können die Skalare a Feld, f Formen - man kann also Vektorräume über dem Körper bilden Q von Rationale Zahlen, das Feld C von komplexe Zahlen oder ein endliches Feldf_q Erwägen. Diese beiden Operationen sollten sich wie die Addition und Multiplikation von Zahlen verhalten: Addition ist kommutativ und assoziativ, Multiplikation verteilt über Addition und so weiter. Insbesondere müssen die beiden Operationen eine Liste von Axiomen erfüllen, die ausgewählt wurden, um Additions- und Skalarmultiplikationseigenschaften von . zu definieren Euklidische Vektoren im Van nachahmen Koordinaten unter der Voraussetzung nein-Platz R^nein. Eines der Axiome schreibt die Existenz des Nullvektor vor dem. Der Nullvektor verhält sich hinsichtlich der Addition analog zur Zahl Null. Elemente eines allgemeinen Vektorraums V können zum Beispiel Objekte unterschiedlicher Natur sein Funktionen oder Polynome. Gesehen als Elemente von V sie werden oft mit dem Begriff bezeichnet Vektoren.

Gegeben zwei Vektorräume V und W über ein Feld f, ist ein lineare Transformation ein Bild

${Displaystil T:V oder W}$

die mit Addition und Skalarmultiplikation kompatibel ist:

${Anzeigestil T(u v)=T(u) T(v), Quad T(rv)=rT(v)}$

für beliebige Vektoren Sie,v ∈ V und ein Skalar r ∈ f.

Eine grundlegende Rolle in der linearen Algebra spielen die Begriffe lineare Kombination, lineares Gehäuse und lineare Unabhängigkeit von Vektoren und die Base und Abmessungen eines Vektorraums. Gegeben einen Vektorraum V über ein Feld f, ein Ausdruck der Form

${displaystyle r_{1}v_{1} r_{2}v_{2} ldots r_{k}v_{k}}$,

wahr v₁, v₂, …, v_k Vektoren und r₁, r₂, …, r_k sind Skalare, die . wird lineare Kombination der Vektoren v₁, v₂, …, v_k mit Koeffizienten r₁, r₂, …, r_k erwähnt. Die Menge aller Linearkombinationen von Vektoren v₁, v₂, …, v_k wird ihr Gehäuse erwähnt. Eine Linearkombination eines Vektorsystems mit allen Nullkoeffizienten ist der Nullvektor von V. Wenn dies die einzige Möglichkeit ist, den Nullvektor als Linearkombination von darzustellen v₁, v₂, …, v_k dann sind diese Vektoren linear unabhängig. Ein linearer unabhängiger Satz von Vektoren, der einen Vektorraum bildet V umhüllt, ist ein Base von V. Wenn ein Vektorraum eine endliche Basis zulässt, dann haben zwei beliebige Basen die gleiche Anzahl von Elementen (das sind die Abmessungen von V heißt) und ist V ein endlichdimensionaler Vektorraum. Diese Theorie kann auf unendlichdimensionale Räume erweitert werden.

Es gibt einen wichtigen Unterschied zwischen einem von Koordinaten unter der Voraussetzung nein-Platz R^neinund ein allgemeiner endlichdimensionaler Vektorraum V. Während R^nein ein Standardbasis {e₁, e₂, …, e_nein} has ist ein Vektorraum V normalerweise nicht mit einer Basis ausgestattet. Außerdem existieren viele verschiedene Basen (obwohl sie alle gleich sind, auf der Dimension von V gleiche Anzahl von Elementen haben). Eine bestimmte Basis haben {v₁, v₂, …, v_nein} von V macht den Bau von a Koordinatensystem im V möglich: der Vektor mit Koordinaten (r₁, r₂, …, r_nein) ist die Linearkombination

${displaystyle r_{1}v_{1} r_{2}v_{2} ldots r_{n}v_{n}}$.

Die Bedingung, dass v₁, v₂, …, v_neinV Spannen, garantiert, dass jeder Vektor v Koordinaten zugeordnet werden können, während die lineare Unabhängigkeit von v₁, v₂, …, v_nein stellt außerdem sicher, dass diese Koordinaten eindeutig bestimmt werden (d. h. es gibt nur eine Linearkombination der Basisvektoren, die gleich ist v). Einmal auf diese Weise eine Basis eines Vektorraums V Über f gewählt ist, kann V werden mit den koordinierten nein-Platz f^nein. Unter dieser Identifizierung, Addition und Skalarmultiplikation von Vektoren in korrespondieren V mit Addition und Skalarmultiplikation ihrer Koordinatenvektoren in f^nein. Wenn zusätzlich V und W bzw. a nein-dimensional und ich-dimensionaler Vektorraum über f sind, und für beide da V wenn W eine Basis aufgebaut ist, dann ist jede lineare Transformation t: V → W werden angezeigt als ich × neinMatrixein mit Elementen im Feld f. Diese Matrix wird Matrix von . genannt t in Bezug auf diese Grundlagen. Im Großen und Ganzen kann aus diesem Grund das Studium axiomatisch definierter linearer Transformationen durch das Studium konkreter Matrizen ersetzt werden. Dies ist eine wichtige Technik in der linearen Algebra.

Einige nützliche Aussagen

• Jeder Vektorraum hat a Base.
• Beliebige zwei Basen des gleichen Vektorraums haben das gleiche Kardinalität; oder gleichwertig die Abmessungen eines Vektorraums ist wohldefiniert.
• EIN quadratische Matrix ist dann und nur danninvertierbar wie sie bestimmend ist nicht null.
• Eine Matrix ist genau dann, wenn invertierbar als die lineares Bild die durch die Matrix a . dargestellt wird Isomorphismus ist.
• Wenn eine quadratische Matrix eine linke oder rechte Inverse hat, dann ist diese Matrix invertierbar (siehe inverse Matrix für andere gleichwertige Aussagen).
• Eine Matrix ist genau dann, wenn positiv-semi-definit wie jeder von Eigenwerte größer oder gleich Null ist.
• Eine Matrix ist genau dann, wenn positiv definit wie jeder von ihr Eigenwerte ist größer als null.
• EIN nein×nein Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn (d.h. es gibt a invertierbare Matrixp und ein diagonale Matrixd existieren, so dass ein = PDP⁻¹) wenn diese Matrix nein linear unabhängig Eigenvektoren hast.
• Das Spektralsatz behauptet, dass eine Matrix genau dann, wenn senkrecht ist diagonalisierbar, wenn diese Matrix symmetrisch ist.

Grundbegriffe der Linearen Algebra

• Vektorraum
• (linearer) Unterraum
• linear unabhängig
• lineare Kombination
• Basis eines Vektorraums
• Dimension eines Vektorraums
• Isomorphismen von Vektorräumen
• grundlegende Transformation
• produzieren
• lineares Gehäuse
• Matrix
• Rang einer Matrix
• transponierte Matrix
• quadratische Matrix
• symmetrische Matrix
• diagonale Matrix
• Einheitenmatrix
• adjuvante Matrix
• inverse Matrix
• hermitesche Matrix
• bestimmend
• Selbstachtung
• Eigenvektor
• charakteristisches Polynom (${displaystyle det (A-Lambda I)}$)
• internes Produkt
• externes Produkt
• lineares Bild
• Matrix der Basisänderung
• senkrecht
• orthonormal
• Überlagerung (Physik)

Externer Link

• (und) Videovorlesungen zur Linearen Algebra durch Gilbert Strang

Wikibooks hat mehr zu diesem Thema: Kurs der linearen Algebra.