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In dem Ringtheorie, eine Unterregion der Mathematik, ist ein Polynomring ein Sammlung von Polynome in einer oder mehreren Variablen mit Koeffizienten in einem Ring.

der Polynomring ${Anzeigestil R[x]}$

Sie ${Anzeigestil R}$ ein Ring. ein Polynom ${displaystyle f}$ mit Koeffizienten ${displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},ldots ,a_{n}}$ im ${Anzeigestil R}$ ist ein Ausdruck

${displaystyle f(x)=sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=a_{0} a_{1}x a_{2}x^{2} ldots a_{n }x^{n}~.}$

Die Nummer ${displaystyle n}$ heißt der Grad des Polynoms. Wenn der Koeffizient ${displaystyle a_{n}=1}$ das Polynom heißt monisch oder monisch.

Die Sammlung ${Anzeigestil R[x]}$ aller Polynome über ${Anzeigestil R}$ kann mit a ausgestattet werden Zusatz und ein Multiplikation. Mit diesen Operationen ${Anzeigestil R[x]}$ ein Ring.

${Anzeigestil Summe _{i=0}^{n}a_{i}x^{i} Summe _{i=0}^{m}b_{i}x^{i}=Summe _{i=0} ^{max(n,m)}(a_{i} b_{i})x^{i},}$

und

${displaystyle left(sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}ight)left(sum _{j=0}^{m}b_{j}x^{j}ight) =Summe _{k=0}^{nm}links(Summe _{ij=k}a_{i}b_{j}ight)x^{k},}$

wobei das Polynom ggf. um Terme mit Koeffizient 0 ergänzt wird.

Es Quotient von zwei Polynomen heißt a rationale Funktion. Das ist im Allgemeinen kein Polynom, also bildet die Menge der Polynome einen Ring, aber nicht Körper/Feld.

wenn ${Anzeigestil R}$ ein Kommutativer Ring ist dann ${Anzeigestil R[x]}$ das auch, und a Algebra Über ${Anzeigestil R}$.

Eigenschaften

• wenn ${Anzeigestil R}$ ist ein Körper, dann ${Anzeigestil R[x]}$ sogar ein euklidische Domäne und deshalb a Hauptidealbereich.
• wenn ${Anzeigestil R}$ ein einzigartige Faktorisierungsdomäne ist dann ${displaystyle R[x_{1},ldots ,x_{n}]}$ das auch.
• wenn ${Anzeigestil R}$ ein Integritätsdomäne ist dann ${displaystyle R[x_{1},ldots ,x_{n}]}$ das auch.
• wenn ${Anzeigestil R}$noethers ist dann ${displaystyle R[x_{1},ldots ,x_{n}]}$ das auch, die Hilberts Grundsatzbert.
• Jeder Kommutativer Ring die zugleich eine endlich erzeugte Algebra über einem Körper ist, kann als Quotientenring geschrieben werden, als Quotient eines Polynomrings und seines Ideals.