WikiDer > Kommutativer Ring

In dem Ringtheorie, Teil von dem abstrakte Algebra, ist ein Kommutativer Ring ein Ring, in dem die bearbeiten , was dem entspricht multiplizieren, kommutativ ist. Dies bedeutet, dass wenn ein und b zufällig Elemente des Ring ist das dann ab = ba gilt. Das Studium kommutativer Ringe wird zum kommutative Algebra erwähnt.

Beachten Sie, dass in der Kette unten von onderstaande ein kommutativer Ring auftritt Teilmengen:
Körper (Niederländisch) oder Felder (Belgisch) ⊂ Euklidische Domänen ⊂ Hauptidealbereiche domain ⊂ eindeutige Faktorisierungsdomänen ⊂ Integritätsdomänen ⊂ Kommutative Ringe ⊂ Ringe

Definition

sehen Ring (Mathematik) für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Ein Ring ist a SammlungR die mit zwei ausgestattet ist binäre Operationen, also Operationen, die eine beliebige Kombination von zwei Elementen des Rings zu einem dritten Element kombinieren. Die beiden Operationen werden summieren und Multiplikation und werden oft mit " " und "⋅" bezeichnet, zum Beispiel einb und ein ⋅ b. Um einen Ring zu bilden, müssen diese beiden Operationen eine Reihe von Eigenschaften erfüllen: Der Ring muss a abelsche Gruppe und unter Multiplikation a monoid sei so, dass die Multiplikation und Addition verteilend sein, das ist

ein ⋅ (bc) = (ein ⋅ b) (ein ⋅ c).

Das neutrale Elemente für Addition und Multiplikation sind mit . bzw. 0 und 1. Ist die Multiplikation auch kommutativ, d.h.

ein ⋅ b = b ⋅ ein,

dann wird der Ring R kommutativ genannt.

Beispiele

• Das Hauptbeispiel für einen kommutativen Ring sind die ganze Zahlen mit den beiden Operationen Addition und Multiplikation. Die gewöhnliche Multiplikation von Zahlen ist kommutativ. In der Literatur wird dieser Ring üblicherweise als z, von dem Deutsche Wort Zahlen für Zahlen.
• Das rational, Real- und Komplex Zahlen bilden kommutative Ringe, sind es aber auch Belgisch: Felder oder Niederländisch: Körper
• Allgemeiner ausgedrückt ist jeder Körper ein kommutativer Ring, also ist die Klasse der Körper a Teilmenge der Menge der kommutativen Ringe.
• Ein Beispiel für einen nicht kommutativen Ring ist der Sammlung von allen 2-mal-2 Matrizen, deren eingegebene Werte ganze Zahlen sind.

${displaystyle { egin{bmatrix}1&1/0&1/end{bmatrix}}cdot { egin{bmatrix}1&1/1&0/end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}2&1/1&0/end{bmatrix}}}$

ist nicht gleich der in umgekehrter Reihenfolge durchgeführten Multiplikation:

${displaystyle { egin{bmatrix}1&1/1&0/end{bmatrix}}cdot { egin{bmatrix}1&1/0&1/end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}1&2/1&1/end{bmatrix}}.}$

Wofür die Matrix-Multiplikation wird gebraucht.

Diese Matrizen sind auch keine Integritätsdomäne:

${displaystyle { egin{bmatrix}1&2/-3&-6/end{bmatrix}}cdot { egin{bmatrix} 6&-8/-3& 4/end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}0&0/0&0/end{ bmatrix}}.}$

• Matrizen, die sein können diagonalisiert mit dem gleichen ähnliche Matrix einen kommutativen Ring bilden.

• wenn R ein gegebener kommutativer Ring ist, dann ist die Menge aller Polynome in der variablen X, von denen die Koeffizienten im R liegend, a Polynomring, bezeichnet durch R[X].

• wenn V irgendein topologischer Raum ist zum Beispiel eine Teilmenge von einigen R^nein, bilden den reell-oder-komplexwertigen kontinuierliche Funktionen auf V ein kommutativer Ring. Das gleiche gilt für differenzierbar oder holomorphe Funktionen, wenn diese beiden Begriffe definiert sind, z. B. wenn V ein komplexe Vielfalt ist.