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Das abstrakte Algebra ist der Teilbereich der Mathematik, wo man algebraische Strukturen, wie Gruppen, Ringe und Körper oder Felder, Module, Vektorräume und Algebralernt. Der Begriff "abstrakte Algebra" wurde Anfang des 20. Jahrhunderts eingeführt, um dieses Studienfach von der "Algebra" oder "High-School-Algebra", bei der es eher darum geht, die richtigen Regeln auf Formeln anzuwenden und algebraische Ausdrücke im reale Nummern, komplexe Zahlen und Fremde manipulieren. Diese Unterscheidung wird heute selten gemacht.

Zeitgenössische Mathematik und mathematische Physik intensiven Gebrauch von abstrakter Algebra machen, z. B. von der theoretischen Physikphysics Lügenalgebras. Felder wie die algebraische Zahlentheorie, algebraische Topologie und der algebraische Geometrie algebraische Methoden auf andere Bereiche der Mathematik anwenden. Darstellungstheorie grob gesagt, extrahiert die 'abstrakte' aus der 'abstrakten Algebra' und untersucht die konkrete Seite einer gegebenen algebraischen Struktur; sehen Modelltheorie.

Zwei mathematische Disziplinen, die die Eigenschaften algebraischer Strukturen als Ganzes untersuchen, sind die universelle Algebra und der Kategorientheorie. Algebraische Strukturen zusammen mit den entsprechenden HomomorphismenKategorien. Die Kategorientheorie ist ein mächtiger Formalismus, um verschiedene algebraische Strukturen zu studieren und zu vergleichen.

Geschichte

Wie in anderen Bereichen der Mathematik spielten bei der Entwicklung der Algebra konkrete Probleme und Beispiele eine wichtige Rolle. Am Ende des neunzehnten Jahrhunderts standen viele, vielleicht die meisten dieser Probleme auf die eine oder andere Weise mit der Theorie der algebraische Gleichungen. Einige wichtige erwähnenswerte Themen:

• Lösungssysteme von lineare Gleichungen; das hat dazu geführt Matrizen, Determinanten und der Lineare Algebra.
• Versuche, Formeln zur Lösung des Allgemeinen Polynom- Gleichungen höheren Grades finden; Dies hat zur Entwicklung und Entdeckung von Gruppen als abstrakte Ausdrücke von Symmetrie;
• Arithmetische Untersuchungen von quadratisch und Formen höherer Ordnung und von diophantische Gleichungen, vor allem in der Beweis des Der letzte Satz von Fermat; Diese Forschung führte direkt zur Einführung der Konzepte von RingeIdeale.

Zahlreiche Lehrbücher der abstrakten Algebra beginnen mit axiomatischen Definitionen der verschiedenen algebraische Strukturen um seine Eigenschaften festzustellen, was leicht den falschen Eindruck erweckt, dass in der Algebra Axiome zuerst kommen und dann als Motivation und Grundlage für weitere Studien dienen. Der tatsächliche Verlauf der historischen Entwicklung war fast immer genau umgekehrt. Die meisten Theorien, die wir heute als Teile der Algebra anerkennen, begannen als Sammlungen unterschiedlicher Tatsachen aus verschiedenen Zweigen der Mathematik. Irgendwann findet sich in diesen Sammlungen ein gemeinsames Thema, das dann als Nukleus dient, um den sich die Ergebnisse gruppieren, um diese Ergebnisse schließlich auf der Grundlage eines gemeinsamen Konzepts zusammenzuführen. EIN archetypisch Ein Beispiel für eine solche progressive Synthese findet sich in der Gruppentheorie.

Frühe Gruppentheorie

In der frühen Entwicklung der Gruppentheorie gab es mehrere Fäden, die in der modernen mathematischen Terminologie lose mit dem Zahlentheorie, das Gleichungstheorie und der Geometrie. Im Folgenden konzentrieren wir uns auf die ersten beiden.

Leonhard Euler berücksichtigt algebraische Operationen auf Zahlen modulo eins gerade Zahl, die sogenannte modulare Mathematik. In dieser Forschung gelang Euler sein Verallgemeinerungen des Der kleine Satz von Fermat beweisen. Diese Untersuchungen wurden viel weiter durchgeführt von Carl Friedrich Gauß, die die Struktur von Multiplikationsgruppen von Einheiten mod n und damit viele Eigenschaften von zyklisch- und mehr allgemein abels Gruppen gefunden. In seinen Forschungen zur Zusammensetzung von binäre quadratische Formen, hat Gauss explizit die Assoziatives Recht für die Komposition von Formen, aber wie vor ihm scheint Euler mehr an konkreten Ergebnissen als an allgemeiner Theorie interessiert gewesen zu sein. Im Jahr 1870 gab Leopold Kronecker eine Definition einer abelschen Gruppe im Kontext der ideale Klassengruppen von a Zahlenfeld, eine weitreichende Verallgemeinerung des Werks von Gauß. Er scheint seine Arbeit von früheren Arbeiten über Gruppen, insbesondere Permutationsgruppen, getrennt zu haben. Dann Heinrich Weber In Anbetracht des gleichen Problems im Jahr 1882 erkannte er den Zusammenhang und gab eine ähnliche Definition, wobei die Storno-Eigenschaft aufgetreten ist, aber in dem die Existenz von a inverses Element wurde noch weggelassen. Diese Definition war übrigens in Webers Kontext von . ausreichend endliche Gruppen.

Permutationen waren von Joseph Lagrange studierte in seinem Artikel von 1770, Reflexions sur la résolution algebrique des équations (Reflections on the Solution of Algebraic Equations), die sich der Lösung algebraischer Gleichungen widmete. In diesem Artikel stellte Lagrange seine Lagranges Lösungsmethode. Lagranges Ziel war es zu verstehen, warum Gleichungen dritten und vierten Grades durch eine allgemeine Formel lösbar sind, und identifizierte die Permutationen der Wurzeln als Schlüsselobjekte. Ein wichtiger neuer Schritt, den Lagrange in diesem Artikel unternahm, war eine abstrakte Darstellung der Wurzeln, also als Symbole und nicht als Zahlen. Kompositionen von Permutationen sprengten jedoch seinen Rahmen. Zufälligerweise ist die erste Ausgabe von Edward WaringsMeditationen Algebraicae im selben Jahr 1770 (eine erweiterte Version dieses Werkes wurde 1782 veröffentlicht). Waring bewies die Hauptsatz der symmetrischen Funktionen, und insbesondere die Beziehung zwischen den Wurzeln einer quadratischen Gleichung und ihrer kubischen Lösungsmethode betrachtet. In seinem Artikel Mémoire sur la Resolution des équations (Erinnerung an die Lösung von Gleichungen) entwickelt Alexander Vandermonde (1771) die Theorie symmetrischer Funktionen aus einem etwas anderen Blickwinkel, aber wie Lagrange, mit dem Ziel, die Löslichkeit algebraischer Gleichungen besser zu verstehen.

Paolo Ruffinic war der erste, der die Theorie der Permutationsgruppen wurde wie seine Vorgänger wiederum im Zusammenhang mit der Lösung algebraischer Gleichungen entwickelt. Sein Ziel war es, die Unmöglichkeit einer algebraischen Lösung einer allgemeinen algebraischen Gleichung vom Grad vier oder höher zu bestimmen. Zu diesem Zweck führte er den Begriff der Ordnung eines Elements einer Gruppe ein, Konjugation, die Zykluszerlegung von Elementen von Permutationsgruppen und die Konzepte von primitiv und primitiv. Er bewies auch eine Reihe wichtiger Theoreme zu diesen Konzepten, wie z

wenn ${Anzeigestil G}$ ein Untergruppe ist von ${displaystyle S_{5}}$, von denen die Auftrag durch 5 teilbar ist dann enthält ${Anzeigestil G}$ ein Element der Ordnung 5.

Beachten Sie jedoch, dass er erfolgreich war, ohne das Konzept einer Gruppe oder sogar einer Permutationsgruppe zu formalisieren.

Der nächste Schritt wurde 1832 von Evariste Galois (seine Arbeit blieb bis 1846 unveröffentlicht), als er zum ersten Mal überlegte, was wir heute schließende Eigenschaft einer Permutationsgruppe, die er wie folgt ausdrückte:

... wenn man in einer solchen Gruppe über die Auswechslungen ist ${Anzeigestil S}$ und ${Anzeigestil T}$ dann hat man auch die Substitution ST.

Die Theorie von Permutationsgruppen eine weitere, weitreichende Entwicklung in den Händen von Augustin Cauchy und Camille Jordan, sowohl durch die Einführung neuer Konzepte, aber vor allem durch eine große Fülle von Ergebnissen zu speziellen Klassen von Permutationsgruppen und sogar zu einigen allgemeinen Sätzen. Jordan definierte unter anderem den Begriff Isomorphismus, noch im Kontext von Permutationsgruppen. Jordan war auch die Person, die den Begriff geprägt hat Gruppe weithin bekannt.

Der abstrakte Begriff einer Gruppe tauchte erstmals 1854 in den Artikeln von . auf Arthur Cayley. Cayley erkannte, dass eine Gruppe keine Permutationsgruppe ist (oder gar endlich) muss sein. Eine Gruppe kann stattdessen Matrizen existieren. In den folgenden Jahren führte Cayley eine systematische Untersuchung der algebraischen Eigenschaften wie Multiplikation und Inverse von Matrizen durch. Viel später stellte Cayley erneut die Frage, ob abstrakte Gruppen allgemeiner waren als Permutationsgruppen, und stellte als Antwort fest, dass jede Gruppe tatsächlich so war isomorph ist mit einer Permutationsgruppe.

Moderne Algebra

Im späten 19. und frühen 20. Jahrhundert kam es zu einer großen Verschiebung der Methodik der Mathematik. Nicht mehr zufrieden mit der Feststellung der Eigenschaften von Beton Objekte, wandten sich einige Mathematiker der allgemeinen Theorie zu. Zum Beispiel wurden Ergebnisse aus verschiedenen Permutationsgruppen jetzt als Beispiele für allgemeine Thesen, bezogen auf einen allgemeinen Begriff von a abstrakte Gruppe. Fragen zum Struktur und die Klassifikation der verschiedenen mathematischen Objekte rückte in den Vordergrund. Diese Art von Prozessen traten in der gesamten Mathematik auf, waren aber in der Algebra besonders prominent. Formale Definitionen basierend auf primitiven Operationen und AxiomFotos wurden für viele Basen vorgeschlagen algebraische Strukturen, wie Gruppen, Ringe und Körper oder Felder. Die algebraischen Untersuchungen allgemeiner Körper von Ernst Steinitz und von vorn kommutativ und dann allgemeines Durchklingeln David Hilbert, Emil Artin und Emmy Noether, der auf der Arbeit von aufgebaut hat Ernst Kummer, Leopold Kronecker und Richard Dedekind, die letztere als Ideale in kommutativen Ringen betrachtet hatte, und von Georg Frobenius und Issai Schur in Bezug auf die Darstellungstheorie von Gruppen, haben sozusagen abstrakte Algebra definiert. Diese Entwicklungen aus dem letzten Viertel des 19. Jahrhunderts und dem ersten Viertel des 20. Jahrhunderts wurden systematisch in Bartel van der Waerdens' Moderne Algebra, eine zweibändige Monographie, die 1930-1931 veröffentlicht wurde. Diese Arbeit änderte die Bedeutung, die dem Wort von der mathematischen Welt gegeben wurde Algebra ausgezeichnet Gleichungstheorie in einem Theorie der algebraischen Strukturen

Ein Beispiel

Abstrakte Algebra erleichtert das Studium von Eigenschaften und Mustern, die scheinbar unterschiedliche mathematische Konzepte gemeinsam haben. Nehmen wir zum Beispiel die beiden BetriebFunktionszusammenstellung, ${Anzeigestil (fcirc g)(x)=f(g(x))}$, und Matrix-Multiplikation, ${Anzeigestil AB}$. Diese beiden Operationen haben eigentlich die gleiche Struktur, sind im Wesentlichen gleich. Es gilt: ${Anzeigestil (AB)x=A(Bx)}$. Funktionen unter Komposition und Matrizen unter Multiplikation sind Beispiele für Monoide. Eine Sammlung ${Anzeigestil S}$ und ein binäre Operation Über ${Anzeigestil S}$, bezeichnet durch Verkettung, bilden ein Monoid, wenn die Operation assoziativ ist, ${Anzeigestil (ab)c=a(bc)}$, und wenn es ein gibt Element${Anzeigestil ein S}$ existiert, so dass ${displaystyle ae=ea=a}$.

Beispiele für algebraische Strukturen aus der abstrakten Algebra

Beispiele für algebraische Strukturen mit einem einzigen binäre Operation sein:

• magmas,
• Quasi-Gruppen,
• Monoide, Halbgruppen und Gruppen.

Kompliziertere Beispiele sind:

• Ringe und Körper
• Module und Vektorräume
• assoziative Algebra und Lügenalgebra
• Riegel

In dem universelle Algebra Es sammelt alle Definitionen und Fakten, die für alle algebraischen Strukturen gelten. Alle oben genannten Beispiele, kombiniert mit den Begriffen Gleichmäßigkeit, Formenkategorien und Kategorientheorie, bieten oft einen Formalismus für den Vergleich verschiedener algebraischer Strukturen.

Externe Links

• Abstrakte Algebra online, Umfassende Liste von Definitionen und Theoremen.

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