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Das Satz von Euler (ebenfalls Eulers Exposition genannt) ist eine Aussage aus dem Elementar Zahlentheorie, benannt nach dem schweizerischMathematikerLeonhard Euler. Der Satz von Euler ist eine Verallgemeinerung des Der kleine Satz von Fermat, und ist daher nicht mehr auf nur beschränkt Primzahlen. Der Satz wird selbst verallgemeinert durch Satz von Carmichael.

Gestell

Der Satz von Euler besagt, dass wenn ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle n}$positivganze Zahlen sind, für die gilt, dass sie relativ prim sind (d.h. dass die größter gemeinsamer Teiler von ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle n}$ gleich 1), dann

${displaystyle a^{varphi(n)}äquivalent 1{pmod {n}}}$

wahr ${displaystyle varphi(n)}$ das Indikator oder totient von ${displaystyle n}$ ist.

Vor dem ${displaystyle p}$ eine Primzahl, dann folgt

${Anzeigestil varphi(p)=p-1}$,

und folgt dem Der kleine Satz von Fermat sofort.

Das Theorem kann verwendet werden, um hoch . zu berechnen Kräfte modular ${displaystyle n}$ vereinfachen. Zur Veranschaulichung beschreiben wir die Berechnung des letzten het Dezimal Zahl von 7²²², das ist 7²²² (Mod.10).

Es gilt, dass 7 und 10 relativ prim sind und ${Anzeigestil varphi(10)=4.}$ Der Satz von Euler liefert

${Displaystil 7^{4}Äquiv. 1{pmod {10}}}$

auf und wir bekommen

${displaystyle 7^{222}Äquiv 7^{4 imes 55 2}=links(7^{4}ight)^{55} imes 7^{2}Äquiv 1^{55} imes 49=49Äquiv 9{pmod { 10}}}$.

Im Allgemeinen wird beim Reduzieren der Leistung von ${Anzeigestil a}$ modular ${displaystyle n}$ (bei welchem ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle n}$ relativ prim sein) muss modulo . funktionieren ${displaystyle varphi(n)}$ im Exponenten von ${Anzeigestil a}$. So

${displaystyle a^{x}äquivalent a^{y}{pmod {n}}}$,

wenn

${displaystyle xequiv y{pmod {varphi(n)}}}$.

Beweisen

Leonhard Euler veröffentlicht in 1736 Beweis. Mit modernen Techniken lässt sich der Satz wie folgt beweisen: Die Zahlen ${Anzeigestil a}$ die sind relativ prim mit ${displaystyle n}$ sind die Einheiten der Ring${displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} }$ und bilde a Gruppe für die Multiplikation modulo ${displaystyle n}$. Dieses Gruppe hast ${displaystyle varphi(n)}$Elemente und der Satz von Euler folgt dann aus Satz von Lagrange.

Alternativer Nachweis

Es gibt auch direkte Beweise. wenn ${displaystyle R={x_{1},x_{2},ldots ,x_{varphi (n)}},{pmod {n}}}$ ein reduziertes Restsystem ist und ${Anzeigestil a}$ ist relativ prim mit ${displaystyle n}$, bedeutet, die Elemente von zu multiplizieren ${Anzeigestil R}$ mit ${Anzeigestil a}$ eine Permutation, also ${displaystyle aR={ax_{1},ax_{2},ldots ,ax_{varphi (n)}}=R{pmod {n}}}$. Dann folgt aus ${displaystyle ax_{i}=ax_{j}!!{pmod {n}}}$, Welche ${Anzeigestil i=j}$. weil

${displaystyle prod_{i=1}^{varphi (n)}x_{i}äquivalent prod _{i=1}^{varphi (n)}ax_{i}äquivalent a^{varphi (n)}prod_ {i=1}^{varphi (n)}x_{i}{pmod {n}},}$

folgt auch:

${displaystyle a^{varphi (n)}äquivalent 1{pmod {n}}.}$

Anwendung

Der Satz von Euler wird in der Kryptographie, bestimmtes RSA (Kryptografie). Für die RSA-Anwendung wird nur ein Spezialfall des Satzes von Euler benötigt, nämlich der Fall, dass ${Anzeigestil n=pq}$, in welchem ${displaystyle p}$ und ${Anzeigestil q}$ sind verschiedene Primzahlen. Im Fall der Kryptographie, ${displaystyle p}$ und ${Anzeigestil q}$ sehr große Primzahlen, die aus Hunderten von Ziffern bestehen.