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In diesem Artikel geht es um das Konzept Modul in abstrakter Algebra und sollte nicht mit ähnlichen Begriffen verwechselt werden Modul und Modul.

In dem abstrakte Algebra, eine Unterregion der Mathematik, ist ein Modul über einen Ring eine Verallgemeinerung von a Vektorraum. Anstatt wie bei einem Vektorraum zu verlangen, dass Skalare in einem Körper die "Skalare" können in einem beliebigen Ring eines Moduls liegen. Module sind Verallgemeinerungen von abelsche Gruppen, die wiederum Module über ${displaystyle mathbb {Z} }$ sein.

Ein Modul ist also wie ein Vektorraum ein additiver Zusatzadd abelsche Gruppe. Ein Produkt ist definiert zwischen Elemente des Rings und der Elemente des Moduls. Diese Multiplikation ist gemischt assoziativ (bei Multiplikation im Ring) und verteilend.

Module sind ein zentrales Konzept im kommutative Algebra und der homologische Algebra. Sie sind weit verbreitet in der algebraische Geometrie und der algebraische Topologie.

Hintergrund

In einem Vektorraum ist die Sammlung von Skalare ein Körper; zwischen den Skalaren und a Vektor ist eine definierte Operation, die Skalarmultiplikation, die bestimmten formalen Gesetzen unterliegt, wie z Verteilungsrecht abgeschlossen. In einem Modul brauchen die Skalare nur a Ring Formen; in diesem Sinne ist der Begriff Modul daher eine wichtige Verallgemeinerung. In dem kommutative Algebra es ist wichtig, dass beides Ideale wenn Quotientenringe Module, so dass viele Argumente über Ideale oder Quotientenringe zu einem einzigen Argument über Module zusammengefasst werden können. In der nicht-kommutativen Algebra wird die Unterscheidung zwischen linken Idealen, Idealen und Modulen deutlicher, obwohl einige wichtige ringtheoretische Begriffe entweder über linke Ideale als linke Module ausgedrückt werden können.

Ein Großteil der Modultheorie besteht darin, die wünschenswerten Eigenschaften von Vektorräumen über einen Zeitraum so weit wie möglich auf Module auszudehnen."gut erzogen"Ring, wie a Hauptidealbereich. Module können jedoch viel komplizierter sein als Vektorräume; Zum Beispiel haben nicht alle Module a Base, und sogar die Module, die dies tun, kostenlose Module, müssen keinen eindeutigen Rang haben, wenn der zugrunde liegende Ring die invariante Basiszahl Bedingung. Dies steht im Gegensatz zu Vektorräumen, die immer eine Basis haben, deren Kardinalität als einzigartig ist (vorausgesetzt, die Axiom der Wahl).

Definitionen

Sie ${Anzeigestil R}$ ein Ring. EIN linkes Modul Über ${Anzeigestil R}$ ist ein trio ${displaystyle(M, ,,cdot,)}$ von was ${Anzeigestil(M,, ,)}$ ein abelsche Gruppe ist und ${displaystyle ,cdot ,:R imes M o M}$ eine Operation, normalerweise notiert als ${displaystyle rcdot m}$ oder auch ${displaystyle rm}$ Anstatt von ${displaystyle cdot(r,m)}$, Das Skalarmultiplikation aufgerufen wird und mit der Addition in . auf alle folgenden Arten kompatibel ist: ${Anzeigestil M}$ und die Operationen des Rings ${Anzeigestil R}$:

1. ${displaystyle (r s) cdot m = rcdot m scdot m}$
2. ${displaystyle rcdot (m n) = rcdot m rcdot n}$
3. ${displaystyle rcdot (scdot m) = (rs) cdot m}$

wenn ${Anzeigestil R}$ ein Ring mit Einheitselement ${Anzeigestil 1}$ wird oft explizit oder implizit davon ausgegangen, dass ${Anzeigestil 1cdot m=m}$

Die Punktnotation ${displaystyle ,cdot ,}$ oben ist hilfreich, um die Definition explizit zu machen, aber normalerweise wird die Skalarmultiplikation ohne Operator angegeben, ebenso wie die interne Multiplikation von Elementen des Rings ${Anzeigestil R}$.

Analog wird ein rechter Modul mit einer "richtigen" Skalarmultiplikation definiert ${displaystyle ,cdot ,:R imes M o M}$, notiert als ${Anzeigestil cdot (r, m) = mcdot r = mr}$, falls statt Eigenschaft 3 gilt:

${Anzeigestil (mcdot r) cdot s = mcdot (rs)}$

wenn ${Anzeigestil R}$ ein Kommutativer Ring ist, die Unterscheidung zwischen linkem und rechtem Modul verschwindet und man spricht einfach von a Modul.

EIN bimodul ist ein Modul, das ein linkes Modul über einen Ring verbindet ${Anzeigestil R}$ und ein rechtes Modul über einem Ring ${Anzeigestil S}$, wobei die linken und rechten Skalarmultiplikationen kompatibel sind, d. h.:

${Anzeigestil r(ms)=(rm)s}$

Beispiele

• wenn ${Anzeigestil K}$ ein Körper ist, dann sind die Konzepte ${Anzeigestil K}$-Vektorraum (ein Vektorraum über ${Anzeigestil K}$) und ${Anzeigestil K}$Modul identisch. (Vektorräume sind Module über einem Körper.)
• Der Begriff ${displaystyle mathbb {Z} }$-Modul entspricht a abelsche Gruppe. Das heißt, jede abelsche Gruppe ${Anzeigestil G}$ ist ein Modul über die een Ring aus ganzen Zahlen${displaystyle mathbb {Z} }$. Denn lass es gehen ${Anzeigestil xin G}$ und ${Anzeigestil n>0}$${displaystyle nx=x x ldots x}$ (d. h. die Summe von ${displaystyle n}$ mal ${Anzeigestil x}$), ${Anzeigestil 0x=0}$ und ${Anzeigestil (-n)x=-(nx)}$. Ein solches Modul braucht nicht BaseGruppen, die Torsionselemente enthalten.
• wenn ${Anzeigestil R}$ ist ein Ring und ${displaystyle n}$ ein natürliche Zahl, Dann ist es ${displaystyle n}$-falten kartesisches Produkt${displaystyle R^{n}}$ unter den offensichtlichen zusammengesetzten Operationen sowohl ein linkes als auch ein rechtes Modul über ${Anzeigestil R}$. daher ${Anzeigestil R}$ eins besitzen ${Anzeigestil R}$Modul, wobei die Skalarmultiplikation einfach die Ringmultiplikation ist. Module dieser Art sind kostenlose Module erwähnt.

Dualität

Das Doppelmodul${displaystyle M^{*}}$ besteht aus dem lineare Bilder des Moduls ${Anzeigestil M}$ zum Ring ${displaystyle mathbb {R} }$ (letzteres verstanden als ${displaystyle mathbb {R} }$Modul).

Morphismen

Da die Definition eines Moduls sowohl eine Ring- als auch eine abelsche Gruppe beinhaltet, kann man aus verschiedenen Blickwinkeln verschillende . sehen Kategorien und das begleitende Morphismen unterscheiden. Die gängigste Ansicht geht jedoch von einem festen Ring aus ${Anzeigestil R}$ und betrachtet als Morphismen die lineare Bilder zwischen ${Anzeigestil R}$Module. In dieser Kategorie ist das Nullmodul (das Singleton {0}) wenn Initiale und Endobjekt.