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Morfisme

In dem Mathematik ist ein Morphismus ein Abstraktion die sich von strukturerhaltend ableitet Bilder zwischen zwei mathematische Strukturen.

Das Studium von Morphismen und Strukturen (die sogenannten Objekte) über die diese definiert werden, ist zentral für die Kategorientheorie. Ein Großteil der Terminologie im Zusammenhang mit Morphismen sowie die ihnen zugrunde liegende Intuition stammen von konkrete Kategorien, wo die Objekte Kollektionen sind mit einer zusätzlichen Struktur versehen, und Morphismen sind Bilder, die diese Struktur beibehalten. Im Allgemeinen sind Morphismen nicht unbedingt Bilder, und die Objekte, auf denen Morphismen definiert sind, sind nicht notwendigerweise Sammlungen. Stattdessen wird ein Morphismus oft als a Pfeil was ist ein Objekt, das es Domain heißt, verbindet sich mit einem anderen Objekt, das es codomain wird genannt.

Das Konzept des Morphismus taucht in vielen Bereichen der zeitgenössischen Mathematik auf. In dem Mengenlehre sind Morphismen Bilder, in der Topologie kontinuierliche Funktionen, in dem universelle Algebra Homomorphismen und in der Gruppentheorie Gruppenhomomorphismen.

Definition

EIN Kategorie ${Anzeigestil C}$ besteht aus zwei Klassen, einer von Objekte und der andere von Morphismen. Jeder Morphismus hat die beiden Objekte Domain (oder Quelle) und codomain (oder Ziel). Für den Morphismus ${displaystyle f}$ mit Domain ${Anzeigestil X}$ und codomain ${Anzeigestil Y}$ einer schreibt ${Anzeigestil f:X oder Y}$ . Ein Morphismus ist also a Pfeil von der Domäne zur Codomäne dieses Morphismus. Die Menge aller Morphismen von ${Anzeigestil X oder Y}$ wird bezeichnet mit ${displaystyle mathrm {hom} _{C}(X,Y)}$ oder einfach ${displaystyle mathrm {hom} (X,Y)}$ , und wird der hom-Kollektion zwischen ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ erwähnt. (Manche Mathematiker schreiben auch ${displaystyle mathrm {Mor} _{C}(X,Y)}$ oder ${displaystyle mathrm {Mor} (X,Y)}$ ).

Für alle drei Objekte ${Anzeigestil X,Y}$ und ${Anzeigestil Z}$ existiert einer? binäre Operation ${displaystyle mathrm {hom} (X,Y) imes mathrm {hom} (Y,Z) oder mathrm {hom} (X,Z)}$ , welche de Komposition Anrufe. Die Zusammensetzung von ${Anzeigestil f:X oder Y}$ und ${Anzeigestil g:Y oder Z}$ wird geschrieben als ${displaystyle gcirc f, gf,}$ oder auch ${displaystyle fg}$ . Die Zusammensetzung von Morphismen wird oft in a . dargestellt Kommutatives Diagramm. Beispielsweise,

Morphismen treffen die beiden AxiomFotos:

Identität: für jedes Objekt ${Anzeigestil X}$ Existiert ein Morphismus? ${Displaystyle-Operatorname {id} _{X}:X oder X}$ , Das hier Identitätsmorphismus auf ${Anzeigestil X}$ Namen, so dass für jeden Morphismus ${Anzeigestil f:A oder B}$ zählt das ${Displaystyle-Operatorname {id} _{B}circ f=f=fcirc Operatorname {id} _{A}}$ .
Assoziativität: ${Anzeigestil hcirc (gcirc f) = (hcirc g)circ f}$ , wenn die Operationen definiert sind.

wenn ${Anzeigestil C}$ ein konkrete Kategorie ist, der Identitätsmorphismus ist nur der Identitätsfunktion, und ist die Zusammensetzung nur die gewöhnliche Funktionszusammenstellung. Assoziativität dann folgt, weil die Zusammensetzung der Funktionen assoziativ ist.

Beachten Sie, dass die Domäne und die Kodomäne tatsächlich Teil der Informationen sind, die einen Morphismus bestimmen. Zum Beispiel können in der Kategorie der Mengen, in denen Morphismen Funktionen sind, zwei Funktionen als Mengen von identisch sein bestellte Paare (sie können das gleiche tun erreichen haben), während sie unterschiedliche Codomänen haben. Aus Sicht der Kategorientheorie diese beiden Funktionen sind unterschiedlich. Viele Autoren fordern daher, dass die hom-Klassen ${displaystyle mathrm {hom} (X,Y)}$ zusammenhangslos sein. In der Praxis ist dies kein Problem, denn wenn diese Disjunktion nicht gilt, kann dies immer noch sichergestellt werden, indem die Domäne und die Kodomäne zu den Morphismen hinzugefügt werden (z. B. als zweiter und dritter Teil eines geordneten Tripletts).

Spezielle Morphismen

Monomorphismus

EIN Monomorphismus ist ein Morphismus ${displaystyle f}$ das nach links Schrottgesetz erfüllt:

{Anzeigestil für alle g,h:fg=fhimplies g=h}

In der Kategorie der Mengen und Bilder sind die Monomorphismen die Injektionen.

Hinweis: der Morphismus ${displaystyle f}$ hat ein links invers wenn es einen Morphismus gibt ${Anzeigestil g:Y oder X}$ ist, damit ${displaystyle gf=Betreibername {id} _{X}}$ . Die linke Umkehrung ${displaystyle g}$ wird auch a Rückzug von ${displaystyle f}$ erwähnt. Morphismen mit Linksinversen sind immer Monomorphismen, aber die Inversion gilt nicht immer in jedem Kategorie; ein Monomorphismus muss keine Linksinverse haben.

Spleißmonomorphismus

EIN Spleißmonomorphismus ${Anzeigestil h:X oder Y}$ ist ein Monomorphismus mit einer Linksinversion ${Anzeigestil g:Y oder X}$ hat, damit ${displaystyle gh=operatorname {id} _{X}}$ . Die Zusammensetzung ${displaystyle hg:Y oder Y}$ ist deshalb idempotent, d.h. ${displaystyle (hg)^{2}=hgX}$ .

Im konkrete Kategorien ist eine Funktion mit einer Linksinversen injektiv. In konkreten Kategorien sind Monomorphismen oft, aber nicht immer, injektiv. Die Bedingung, eine Injektion zu sein, ist stärker als die Bedingung, ein Monomorphismus zu sein, aber schwächer als die Bedingung, ein Spleißmonomorphismus zu sein.

Epimorphismus

EIN Epimorphismus ist ein Morphismus ${displaystyle f}$ die einem gesetzlichen Löschungsgesetz entsprechen:

{Anzeigestil für alle g,h:gf=hfimplies g=h}

In der Kategorie der Mengen und Bilder sind die Epimorphismen die Surjektionen.

Der Morphismus ${displaystyle f}$ hat ein rechts invers wenn es einen Morphismus gibt ${Anzeigestil g:Y oder X}$ existiert damit ${displaystyle fg=Operatorname {id} _{Y}}$ . Das rechte Gegenteil ${displaystyle g}$ wird auch a Sektion von ${displaystyle f}$ erwähnt. Morphismen mit einer Rechtsinversen sind immer Epimorphismen, aber das Gegenteil gilt nicht immer für jede Kategorie, zum Beispiel wenn ein Epimorphismus keine Rechtsinverse hat.

EIN gespaltener Epimorphismus ist ein Epimorphismus, der eine Rechtsinverse hat.

Im konkrete Kategorien ist eine Funktion mit einer rechtsinversen surjektiv. In konkreten Kategorien sind Epimorphismen daher oft, aber nicht immer surjektiv. Die Bedingung, eine Surjektion zu sein, ist stärker als die Bedingung, ein Epimorphismus zu sein, aber schwächer als die Bedingung, ein gespaltener Epimorphismus zu sein. In dem Kategorie der Sammlungen jede Surjektion hat einen Abschnitt, ein Ergebnis äquivalent zu Axiom der Wahl.

Beachten Sie, dass als Spleißmonomorphismus ${displaystyle f}$ eine linke inverse ${displaystyle g}$ hast, ${displaystyle g}$ ist ein gespaltener Epimorphismus und eine Rechtsinverse ${displaystyle f}$ hast.

Bimorphismus

EIN Bimorphismus ist ein Morphismus, der sowohl ein Epimorphismus als auch ein Monomorphismus ist.

Isomorphismus

EIN Isomorphismus ist ein Monomorphismus, der auch ein Epimorphismus ist ${Anzeigestil f:X oder Y}$ ist ein Isomorphismus wenn es einen Morphismus gibt ${Anzeigestil g:Y oder X}$ existiert damit ${displaystyle fg=Operatorname {id} _{Y}}$ und ${displaystyle gf=Operatorname {id} _{X}.}$

Hat ein Morphismus sowohl eine linke als auch eine rechte Inverse, dann sind diese beiden Inversen gleich, so dass ${displaystyle f}$ ein Isomorphismus ist und ${displaystyle g}$ einfach die invers von ${displaystyle f}$ wird genannt. Inverse Morphismen sind, wenn sie existieren, eindeutig. das Gegenteil ${displaystyle g}$ ist auch ein Isomorphismus mit einem Inversen ${displaystyle f}$ . Zwei mathematische Objekte mit einem Isomorphismus zwischen ihnen haben isomorph oder gleichwertig.

Beachten Sie, dass, während jeder Isomorphismus ein Bimorphismus ist, ein Bimorphismus nicht unbedingt ein Isomorphismus ist. In der Kategorie Kommutative Ringe ist die Inklusion ${displaystyle mathbb {Z} oder mathbb {Q} }$ B. ein Bimorphismus, der kein Isomorph ist. Jeder Morphismus, der sowohl ein Epimorphismus als auch ein Spleiß-Monomorphismus oder sowohl ein Monomorphismus als auch ein Spleiß-Epimorphismus ist, muss auch ein Isomorphismus sein. Eine Kategorie wie einstellen, in dem jeder Bimorphismus ein Isomorphismus ist, heißt a ausgewogene Kategorie.

Endomorphismus

Ein Morphismus ${Anzeigestil f:X oder X}$ heißt a Endomorphismus von ${Anzeigestil X}$ .

EIN spaltender Endomorphismus ist ein idempotenter Endomorphismus ${displaystyle f}$ , wenn ${displaystyle f}$ eine Zersetzung ${displaystyle fg}$ erlaubt mit ${displaystyle gh=operatorname {id} }$ . Insbesondere die Karoubi-Umschlag einer Kategorie spaltet sich jeder idempotente Morphismus.

Automorphismus

EIN Automorphismus ist ein Morphismus, der sowohl ein Endomorphismus als auch ein Isomorphismus ist.

Kern und Bild eines Morphismus

In dem Gruppentheorie ist der Ader von a Gruppenhomomorphismus die Sammlung Elemente der Domäne (Quelle), die durch den Homomorphismus auf dem neutrales Element der Co-Domain (target} angezeigt. Es ist a Untergruppe der Domäne.

In der Kategorie der Sets und ihrer Bilder und in den meisten Kategorien, die auf Strukturen mit Strukturen basieren, ist es Statue eines Bildes, den Satz von Elementen des Ziels, auf dem mindestens ein Element der Domäne abgebildet ist.

In der Kategorientheorie hat nicht jede Kategorie den Begriff "Kern eines Morphismus" - dafür müssen wir davon ausgehen, dass die Kategorie mit a . ausgestattet ist Nullmorphismus zwischen jedem Objektpaar. Die Nullmorphismen haben die Eigenschaft, dass

{Anzeigestil für alle f:A o B,füralle g:C oder D:g,0_{AC}=0_{BD},f}

Die (abstrakte, kategorietheoretische) Ader eines Morphismus ${displaystyle f}$ vom Objekt ${Anzeigestil A}$ widersprechen ${Anzeigestil B}$ ist ein Morphismus ${displaystyle k}$ eines Objekts ${Anzeigestil I}$ zu ${Anzeigestil A}$ mit den Eigenschaften:

${displaystyle fk=0_{IB}}$
${displaystyle forall k':J o A:(fk'=0_{JB}impliziert existiert !u:J o I,k'=ku)}$

Der Kern von ${displaystyle f}$ , falls vorhanden, müssen nicht eindeutig sein, aber alle Kerne von ${displaystyle f}$ sind durch gegenseitige Isomorphismen verbunden ("bestimmt außer für Isomorphismus").

In der abstrakten Kategorientheorie hat jede Kategorie den Begriff des "Bildes eines Morphismus" (eines Objekts ${Anzeigestil A}$ widersprechen ${Anzeigestil B}$ ). Dies ist ein Monomorphismus ${Anzeigestil x}$ eines Objekts ${Anzeigestil I}$ zu ${Anzeigestil B}$ mit den Eigenschaften:

${displaystyle existiert g:A oder I,xg=f}$
${displaystyle forall {hbox{monomorphisms }}y:J o B,forall h:A o J:(yh=fimplies existiert !m:I o J,h=mg,y=xm)}$

Beispiele

In dem konkrete Kategorien der in der universelle Algebra werden studiert (Gruppen, Ringe, Module, usw.), werden zu Morphismen Homomorphismen erwähnt. Die Begriffe Automorphismus, Endomorphismus, Epimorphismus, Homöomorphismus, Isomorphismus und Monomorphismus gelten alle in der universelle Algebra.

In dem Kategorie topologischer Räume sind Morphismen kontinuierliche Funktionen und werde Isomorphismen Homöomorphismen erwähnt.

In der Kategorie der glatte Sorten sind Morphismen glatte Funktionen und werden zu Isomorphismen Diffeomorphismen erwähnt.

Siehe auch

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