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In dem Mengenlehre, eine Unterregion der Mathematik, ist der Kardinalität von a Sammlung die Verallgemeinerung der "Zahl" Elemente in einer Sammlung", das gilt auch für unendliche Sammlungen. Eine Menge ist endlich, abzählbar unendlich oder abzählbar. Die Kardinalität einer endlichen Menge ist einfach die Anzahl der Elemente. Alle abzählbar unendlichen Mengen haben die gleiche Kardinalität. Unzählige Sets unterschiedlicher Kardinalität existieren.

Die Kardinalität einer Sammlung ${Anzeigestil A}$ wird bezeichnet mit ${Anzeigestil |A|}$, mit einem vertikalen Streifen auf jeder Seite; dies ist die gleiche Schreibweise wie für Absolutwert. Die Bedeutung hängt vom Kontext ab. Manchmal ist die Notation ${Anzeigestil #A}$ benutzt.

Es gibt zwei Möglichkeiten, sich dem Konzept der Kardinalität zu nähern – ein Ansatz vergleicht Mengen direkt mit Bijektionen und Injektionen, im anderen nutzt man Kardinalzahlen.

Zwei Sets haben die gleiche Kardinalität, wenn sie eins zu eins zugeordnet werden können abgebildetd.h. wir addieren zu jedem Element einer Menge eins und nicht mehr als ein Element der anderen Menge und umgekehrt (siehe auch bijektive Funktionen). Diese Sammlungen werden dann Gleichmut oder gleichpotent erwähnt.

Kollektionen vergleichen

Folgende drei Fälle lassen sich unterscheiden:

• ${Anzeigestil |A|=|B|}$

Zwei Kollektionen ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ haben die gleiche Kardinalität wie a bijektion besteht aus ${Anzeigestil A}$ zu ${Anzeigestil B}$.

Die Sammlung ${displaystyle E={2,4,6,ldots}}$ von Ein bisschennatürliche Zahlen hat die gleiche Kardinalität wie die Menge ${displaystyle mathbb {N} }$ der natürlichen Zahlen selbst, da die Funktion ${Anzeigestil f(n)=2n 2}$ ist eine Bijektion von ${displaystyle mathbb {N} }$ zu ${Anzeigestil E}$.

• ${Anzeigestil |A|>|B|}$

${Anzeigestil A}$ hat eine Kardinalität, die strikt größer ist als die Kardinalität von ${Anzeigestil B}$ wenn es einen gibt Injektion von ${Anzeigestil B}$ zu ${Anzeigestil A}$ existiert, aber keine Bijektion.

Die Sammlung ${displaystyle mathbb {R} }$ von allen reale Nummern hat zum Beispiel eine Kardinalität, die strikt größer ist als die Kardinalität der Menge ${displaystyle mathbb {N} }$ aller natürlichen Zahlen, denn die Inklusionsabbildung ${displaystyle i:mathbb {N} oder mathbb {R}}$ ist injektiv, und es kann gezeigt werden, dass es keine bijektive Funktion von gibt ${displaystyle mathbb {N} }$ zu ${displaystyle mathbb {R} }$ existiert.

• ${displaystyle |A|geq |B|}$

${Anzeigestil A}$ hat eine Kardinalität größer oder gleich der Kardinalität von ${Anzeigestil B}$ wenn es einen gibt Injektion von ${Anzeigestil B}$ zu ${Anzeigestil A}$ existiert.

Kardinalzahlen

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Die Beziehung, dass zwei Mengen die gleiche Kardinalität haben, wird zu Gleichmut erwähnt; Gleichheit ist a Äquivalenzrelation auf der Klasse aller Kollektionen. Das Äquivalenzklasse einer Sammlung ${Anzeigestil A}$ besteht unter dieser Relation aus all den Mengen, die die gleiche Kardinalität wie ${Anzeigestil A}$ haben. Es gibt zwei Möglichkeiten, die "Kardinalität einer Menge" zu definieren:

1. Die Kardinalität einer Sammlung ${Anzeigestil A}$ ist als seine Äquivalenzklasse unter Äquivalenz definiert.
2. Für jede Äquivalenzklasse wird eine repräsentative Menge bestimmt.

Die Kardinalitäten der unendlichen Mengen werden bezeichnet mit

${displaystyle aleph _{0}$ .

Für jedes Ordinal-${displaystyle alpha }$, ist ${displaystyle aleph_{alpha 1}}$ die kleinste Kardinalzahl größer als ${displaystyle aleph _{alpha }}$.

endliche Menge

Die Kardinalität von a endliche Menge ist die Anzahl der Elemente in der Menge. Ist umgekehrt die Kardinalität einer Menge a natürliche Zahl ist, dass diese Menge endlich ist. Zwei endliche Mengen haben die gleiche Kardinalität, wenn sie die gleiche Anzahl von Elementen haben.

Eine Menge mit genau einem Element wird zu a Singleton oder Einpunktmenge genannt.

Unendliche Sammlung

EIN unendliche Sammlung hat immer eine höhere Kardinalität als eine endliche (das heißt, wir können jedes Element der endliche Menge auf einem Element der unendlichen Menge, aber nicht umgekehrt). Die niedrigste unendliche Kardinalität ist die der natürliche Zahlen; diese Kardinalität wird ${displaystyle scriptstyle {aleph _{0}}}$ (Aleph-Null). Sammlungen mit dieser Kardinalität heißen abzählbar unendlich. Es Kantordiagonalbeweis zeigt, dass es auch höhere Kardinalitäten gibt; diese werden auch mit a . geliefert Aleph-Zahl angegeben: ${displaystyle aleph _{0},,aleph _{1},,aleph _{2},,ldots ,,aleph _{omega },,ldots }$.

Kardinalität des Kontinuums

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Eines der wichtigsten Ergebnisse von Cantor war, dass die Kardinalität des Kontinuums (c oder ${displaystyle {mathfrak {c}}}$) ist größer als die Kardinalität des natürliche Zahlen (${displaystyle aleph_{0}}$); das heißt, es gibt mehr reale Nummern${displaystyle mathbb {R} }$ als natürliche Zahlen ${displaystyle mathbb {N} }$ existieren. Cantor zeigte (siehe Kantordiagonalbeweis) Welche

${displaystyle {mathfrak {c}}=2^{aleph _{0}}>aleph _{0}}$

Das Kontinuumshypothese sagt, dass es keine gibt Kardinalzahl existiert zwischen der Kardinalität der reale Nummern und die Kardinalität der natürlichen Zahlen, d.h.

${displaystyle {mathfrak {c}}=aleph _{1}=eth _{1}}$

(sehen Bisszahl).

Die Kontinuumshypothese kann innerhalb des allgemein akzeptierten akzeptiert werden Zermelo-Fraenkel Mengenlehre, zumindest wenn diese axiomatische Mengenlehre konsistent, weder bewiesen noch widerlegt.

Informatik

In dem Informatik speichert normalerweise die Kardinalität Beziehungen zwischen Tabellen oder Verbände zwischen Klassen/Objekte. Dann ist dies die Häufigkeit, mit der eine Beziehung/Assoziation auftreten kann/darf. Dies kann beispielsweise sein: 0 oder mehr, 1 oder mehr, 1, 2, 100, 1 bis 20.

Siehe auch

• Nummer
• endlicher Körper