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Stelling (wiskunde)
Das Satz des Pythagoras hat mindestens 370 bekannt beweisen.

In dem Mathematik ist ein Gestell (ebenfalls Satz, Vorschlag oder These) ein Behauptung, die auf basiert Axiom's und zuvor bewiesene Behauptungen ist bewährt. Eine Aussage machen beweisen die Regeln der werden in der Mathematik verwendet Logik. Die Ableitung eines Theorems wird oft als Beweis für die Wahrheit der resultierenden Ausdruck, aber je nach Bedeutung des Ableitungsregeln kann anders sein deduktive Systeme verschiedene Interpretationen Ausbeute. Theoreme haben zwei Komponenten, die jeweils die Hypothesen und der Schlussfolgerungen werden genannt. Der Beweis eines mathematischen Theorems ist ein logisches Argument, das zeigt, dass die Schlussfolgerungen a notwendigInferenz basieren auf den Hypothesen, in dem Sinne, dass, wenn die Hypothesen wahr sind, die Schlussfolgerungen auch ohne weitere Annahmen wahr sein müssen. Es Konzept eines Theorems ist daher fundamental deduktiv, im Gegensatz zum Begriff von a wissenschaftliche Theorie, Das empirisch ist. Ein bewiesener Satz kann wiederum zum weiteren Beweis verwendet werden. Ein speziell dafür formulierter Satz heißt a Hilfsstellung oder Lemma. Zwei Beispiele für bekannte mathematische Theoreme sind die Satz des Pythagoras und der Fermats letzter Satzmat.

Obwohl Aussagen in einer vollständig symbolischen Form geschrieben werden können, zum Beispiel durch die Verwendung der Prädikatslogik, Aussagen werden auch oft in einer natürlichen Sprache ausgedrückt, wie z Niederländisch oder Englisch. Das gleiche gilt für Beweise, die oft als logisch geordnete und klar formulierte und formulierte informelle Argumente ausgedrückt werden, die zeigen sollen, dass ein formaler symbolischer Beweis konstruiert werden kann. Solche Argumente sind in der Regel leichter zu überprüfen als rein symbolische. Viele Mathematiker bevorzugen einen Beweis dafür, dass nicht nur Gültigkeit eines Satzes, sondern erklärt ihn auch auf die eine oder andere Weise Warum der Beweis ist wahr. In manchen Fällen kann eine Illustration ausreichen, um einen Satz zu beweisen. Da Theoreme das Herzstück der Mathematik sind, sind sie auch von zentraler Bedeutung für die Ästhetik der Mathematik. Aussagen werden oft mit Begriffen wie „trivial“, „schwierig“, „tief“ oder sogar „schön“ beschrieben. Diese subjektiven Urteile variieren nicht nur von Person zu Person, sondern auch im Laufe der Zeit: Wird beispielsweise ein Beweis vereinfacht oder besser verstanden, kann eine Aussage, die einst als schwierig galt, für manche als trivial empfunden werden. Andererseits lässt sich ein tiefer Satz leicht formulieren, aber der Beweis kann überraschende und subtile Verbindungen zwischen verschiedenen Gebieten der Mathematik aufdecken. Das Fermats letzter Satzmat ist ein bekanntes Beispiel für eine solche Aussage.

Formale und informelle Begriffe

Flache Karte mit fünf FarbenFlache Karte mit vier Farben
Das Linke eben Karte mit fünf Farben, so dass sich zwei Bereiche derselben Farbe nie berühren. Diese Karte kann mit nur vier Farben anders (rechts) eingefärbt werden. Das vier farbschema behauptet, dass eine Farbgebung mit nur vier Farben für jede flache Karte möglich ist, aber jeder bekannte Beweis besteht aus einer Suche durch einen Computer, die zu lang ist, um von Menschen manuell überprüft zu werden.

Im logisch Satz werden viele Aussagen in Form eines "indikativen Konditionals" formuliert: wenn A, dann B. Eine solche Aussage behauptet nicht, dass B immer wahr, aber nur das B muss stimmen, wenn auch ein wo ist. In diesem Fall, ein das Hypothese des Satzes (beachten Sie, dass "Hypothese" hier etwas ganz anderes bedeutet als a Verdacht) und wird B das Fazit erwähnt (ein und B kann alternativ auch als Vorläufer bezeichnet werden und der Inferenz). Die Aussage "Wenn nein ein Ein bisschennatürliche Zahl ist dann nein/2 auch eine natürliche Zahl" ist ein typisches Beispiel für die Hypothese, dass "nein ist eine gerade natürliche Zahl" und kommt zu dem Schluss, dass "nein/2 ist auch eine natürliche Zahl".

Um bewiesen zu werden, muss eine Aussage als präzise, ​​formale Aussage ausgedrückt werden können. Aber auch Aussagen werden oft in natürlicher Sprache und nicht in rein symbolischer Form ausgedrückt. Der Grund dafür ist, dass die formlose Form es dem vorbereiteten Leser ermöglicht, die vollständige formelle Erklärung aus dieser formlosen Erklärung wiederzugeben. Die formlose Form ist somit ein Kommunikationsmittel. Darüber hinaus gibt es häufig Hypothesen, die in ihrem Kontext verstanden und nicht explizit formuliert werden müssen.

In der Mathematik ist es üblich, eine Reihe von Hypothesen zu wählen, die innerhalb einer gegebenen Theorie als wahr angenommen werden. Die Theorie dieser Hypothesen ist definiert als die Menge aller beweisbaren Aussagen, wobei diese Hypothesen als Annahmen verwendet werden. In diesem Fall werden die Hypothesen, die die fundamentale Grundlage (das Fundament) dieser Theorie bilden, die Axioms (oder Postulate) dieser Theorie. Der Bereich der Mathematik bekannt als Beweistheorie untersucht formale Axiomensysteme und die Beweise, die innerhalb dieser Systeme durchgeführt werden können.

Einige Aussagen sind "trivial" in dem Sinne, dass sie sich auf offensichtliche Weise aus den Definitionen, Axiomen und anderen Aussagen ergeben und keine überraschenden Einsichten enthalten. Manche Sätze hingegen kann man als „tief“ bezeichnen: Ihre Beweise können lang und schwierig sein, Bereiche der Mathematik berühren, die auf den ersten Blick nichts mit der Aussage des Satzes selbst zu tun haben, oder sie können sogar überraschende Zusammenhänge aufdecken . zwischen verschiedenen Bereichen der Mathematik[1]. Ein Satz kann auch einfach formuliert und doch tiefgründig sein. Ein hervorragendes Beispiel dafür ist die Fermats letzter Satz und es gibt viele andere Beispiele für einfache, aber tiefe Theoreme, zum Beispiel in den Zahlentheorie und der Kombinatorik.

Es gibt Theoreme, für die ein Beweis bekannt ist, für die dieser Beweis aber nicht ohne weiteres niedergeschrieben werden kann. Die bekanntesten Beispiele sind die vier farbschema und der Keplers Vermutung. Beide Aussagen sind nur deshalb als wahr bekannt, weil sie auf eine rechnerische Abfrage reduziert wurden, die dann von einem Computerprogramm überprüft wird. Anfangs wollten viele Mathematiker diese Beweisform nicht akzeptieren, aber in den letzten Jahren hat sich diese Beweisform immer mehr durchgesetzt. der Mathematiker Doron Zeilberger geht so weit zu argumentieren, dass diese beiden Theoreme vielleicht die einzigen nichttrivialen Ergebnisse sind, die Mathematiker jemals bewiesen haben."[2]. Viele mathematische Theoreme können auf einfachere Berechnungen reduziert werden, einschließlich polynomischer, trigonometrischer und hypergeometrischer Identitäten.

Beziehung zu Beweisen

Der Begriff eines Theorems ist eng mit dem Konzept von a . verflochten mathematischer Beweis. Eine mathematische Aussage ist nur dann ein Theorem, wenn ein oder mehrere Beweise bekannt sind. Rund um die Gültigkeit von einem Mathematiker Behauptung muss die Existenz von a nachweisen Argumentation demonstriert werden, was unmittelbar aus dem Axioms und andere zuvor bewiesene Theoreme innerhalb des Systems.

Obwohl der Beweis benötigt wird, um einen Satz zu erstellen, ist der Beweis nicht Teil des Satzes. Obwohl mehr als ein Beweis eines Satzes bekannt sein kann, reicht ein einziger Beweis aus, um die Gültigkeit des Satzes endgültig zu beweisen. Das Satz des Pythagoras und das Gesetz der quadratische Gegenseitigkeit sind Anwärter auf den Titel des Theorems mit den meisten unterschiedlichen Beweisen.

Theoreme in der Logik

In dem Logik, insbesondere im Bereich der Beweistheorie, betrachtet man Sätze als Ansprüche (die sogenannte Formeln oder formschöne Formeln) von a formelle Sprache. Es muss eine Sammlung von geben Abzugsregeln, ebenfalls Transformationsregeln oder Ableitungsregeln erwähnt. Diese Deduktionsregeln sagen genau, wann eine Formel aus einer Menge abgeleitet werden kann Lokal.

Verschiedene Kollektionen von Ableitungsregeln führen zu unterschiedlichen Interpretationen dessen, was es bedeutet, dass ein Ausdruck ein Theorem ist. Einige Inferenzregeln und formale Sprachen sollen mathematisch sein Argumentation erfassen; die häufigsten Beispiele verwenden examples Logik erster Ordnung. Andere deduktive Systeme beschreiben Neuordnungen von Begriffen, wie die Umrechnungsregeln für die λ-Kalkül.

Die Definition von Aussagen als Elemente innerhalb einer formalen Sprache ermöglicht Ergebnisse in der Beweistheorie, die den Aufbau formaler Beweise und den Aufbau der beweisbaren Formeln untersuchen. Das bekannteste Ergebnis ist das Gödels Unvollständigkeitssatz; indem er Sätze der elementaren Zahlentheorie als Ausdrücke in einer formalen Sprache darstellte und diese formale Sprache dann innerhalb der Zahlentheorie darstellte, gelang es Gödel, Beispiele für Aussagen zu konstruieren, für die weder die Aussage selbst noch ihre Negation beweisbar sind.

Beziehung zu wissenschaftlichen Theorien

Theoreme in der Mathematik und Theorien in den Naturwissenschaften unterscheiden sich grundlegend hinsichtlich ihrer Erkenntnistheorie. Eine wissenschaftliche Theorie kann nicht bewiesen werden; ihr hauptmerkmal ist sie Widerlegbarkeit, das heißt, eine wissenschaftliche Theorie macht Vorhersagen über die natürliche Welt, die testbar sind von Experimente. Jeder Unterschied zwischen Vorhersage und Experiment zeigt die Falschheit der wissenschaftlichen Theorie oder schränkt zumindest ihre Genauigkeit oder ihren Gültigkeitsbereich ein. Mathematische Theoreme hingegen sind rein abstrakte formale Behauptungen: Der Beweis eines Theorems kann niemals aus Experimenten oder anderen empirischen Beweisen gewonnen werden, so wie solche Beweise verwendet werden, um wissenschaftliche Theorien zu stützen.

Es Vermutung von Collatz: Eine Möglichkeit, seine Komplexität zu veranschaulichen, besteht darin, die Iteration des natürliche Zahlen zum komplexe Zahlen. Das Ergebnis ist ein fraktal, die (gemäß Universalität) auf der Mandelbrot-Sammlung scheint.

Ungeachtet des oben Gesagten gibt es tatsächlich ein gewisses Maß an Empirie und Datensammlung, die mit der Entdeckung mathematischer Theoreme verbunden sind. Durch die Entdeckung eines Musters, oft heute mit leistungsstarken Computern, bekommen Mathematiker ein Gefühl dafür, was sie beweisen können. In einigen Fällen entwickeln sie so einen Plan, wie man zu einem Beweis kommt. Es Vermutung von Collatz wurde beispielsweise für Startwerte bis ca. 2,88 × 10 . verifiziert 18 und der Riemann-Hypothese wurde auf die ersten 10 Billionen Nullen der Zeta-Funktion. Keine dieser beiden Behauptungen gilt jedoch als bewiesen.

Solche empirisch gewonnenen Beweise gelten daher nicht als mathematischer Beweis. Es Vermutung von Mertens ist zum Beispiel eine Aussage über natürliche Zahlen, die heute für falsch gehalten wird, obwohl kein explizites Gegenbeispiel bekannt ist (d. h. eine natürliche Zahl nein, für die die Mertens-Funktion ich(nein) ist gleich oder größer als die Quadratwurzel von nein): alle Zahlen kleiner als 1014 haben die Mertens-Eigenschaft, und von der kleinsten Zahl, die diese Mertens-Eigenschaft nicht hat, wissen wir nur, dass sie kleiner ist als die exponentiell Anzahl von 1,59 × 1040, was ungefähr 10 hoch 4,3 × 10 ist39. Da die Anzahl der Teilchen im Universum im Allgemeinen auf weniger als 10 hoch 100 geschätzt wird (a googol), besteht derzeit keine Hoffnung, ein explizites Gegenbeispiel zur Mertens-Vermutung von . zu finden erschöpfende Suche Computer verwenden.

Beachten Sie, dass das Wort "Theorie" auch in der Mathematik existiert, um eine Reihe mathematischer Axiome, Definitionen und Theoreme anzuzeigen, wie in der Gruppentheorie. Es gibt auch "Theoreme" in der Naturwissenschaft, insbesondere in der Physik und den Ingenieurwissenschaften, aber diese enthalten oft Aussagen und Beweise, in denen physikalische Annahmen und Intuition eine wichtige Rolle spielen; die physikalischen Axiome, auf denen diese "Theoreme" beruhen, sind selbst falsifizierbar.

Terminologie

Theoreme werden oft mit mehreren anderen Begriffen bezeichnet: Das eigentliche Etikett "Theorem" ist für die Hauptergebnisse reserviert, während kleinere oder anders ausgezeichnete Ergebnisse mit anderen Worten mit jeweils unterschiedlicher Bedeutung benannt werden.

  • EIN Vorschlag ist eine Anweisung, die keiner bestimmten Anweisung zugeordnet ist. Dieser Begriff konnotiert manchmal eine Operation mit einem einfachen Beweis oder ist eine elementare Konsequenz einer zu formulierenden Definition. Ein Satz ist klar genug, um keinen Beweis zu erfordern. Das Wort Vorschlag wird manchmal für den Behauptungsteil von a . verwendet Gestell.
  • EIN Lemma ist ein "Prätheorem", eine Aussage, die Teil des Beweises eines größeren Satzes ist. Die Unterscheidung zwischen Theoremen und Lemmata ist eher willkürlich, denn ein wichtiges Ergebnis der Eins Mathematiker vielleicht ein kleiner Anspruch für einen anderen Mathematiker. Es Gauß' Lemma und der Das Lemma von Zorn sind beispielsweise für manche Autoren interessant genug, um diese Einträge eigenständig und nicht als Baustein im Beweis einer anderen, umfassenderen Aussage darzustellen.
  • EIN korollarium ist ein Satz, der mit wenig oder keinem Beweis aus einem anderen Satz oder einer Definition folgt. Das heißt, Vorschlag B eine Folgerung eines Satzes ein ist wie B lässt sich leicht ableiten aus ein.
  • EIN Anspruch ist ein notwendiges oder eigenständig interessantes Ergebnis, das Teil des Beweises einer anderen Aussage sein kann. Trotz des Namens müssen Ansprüche nachgewiesen werden.

Es gibt andere weniger verwendete Begriffe, die traditionell mit zuvor nachgewiesenen Behauptungen in Verbindung gebracht werden. Infolgedessen werden bestimmte Aussagen mit ihren historischen oder gebräuchlichen Namen bezeichnet.

Beispiele sind:

Einige bekannte Theoreme haben noch eigenwilligere Namen. Es Divisionsalgorithmus ist ein Satz, der das Ergebnis einer Division zwischen ist natürliche Zahlen und mehr allgemein Ringe drückt aus, während die Banach-Tarski-Paradoxon eine Aussage von der Maßtheorie ist das paradox in dem Sinne, dass es den üblichen Intuitionen über Volumen im dreidimensionalen Raum völlig widerspricht.

Eine unbewiesene Aussage, von der angenommen wird, dass sie wahr ist, heißt a Verdacht (oder manchmal a Hypothese erwähnt, aber hier mit einer anderen Bedeutung als der oben besprochenen). Um als Vermutung zu gelten, muss eine Behauptung in der Regel öffentlich gemacht werden, woraufhin der Name des Befürworters an die Vermutung angehängt werden kann, wie bei der Goldbachs Vermutung. Andere berühmte Vermutungen sind Vermutung von Collatz und der Riemann-Hypothese.

Siehe auch

Fußnoten

  1. ↑(und) Tiefe Position auf MathWorld.
  2. ↑(und) Meinung 51
  3. ↑Das Wort Recht kann sich auch auf a beziehen Axiom, ein Ableitungsregel, oder im Wahrscheinlichkeit, ein Wahrscheinlichkeitsverteilung .