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Regel van Cramer

Das Cramers Regel (zu Gabriel Cramer, 1704 - 1752) in dem Lineare Algebra ist ein Formel für die Lösungen eines Systems lineare Gleichungen. Mit der Regel lassen sich die Lösungen eines lösbaren Systems direkt berechnen, ohne die entsprechenden Matrix zuerst umgekehrt wird.

Wenn das auflösbare lineare System von ${displaystyle n}$ Vergleiche mit ${displaystyle n}$ Unbekannte ist gegeben durch:

{displaystyle Ax=b}

,

in dem die ${Anzeigestil n imes n}$ -Matrix ${Anzeigestil A}$ invertierbar dann gibt es genau eine lösung ${displaystyle x=(x_{1},x_{2},ldots,x_{n})}$ , die gegeben ist durch:

{Anzeigestil x=A^{-1}b}

.

Die Lösung kann berechnet werden, ohne explizit die Umkehrung von zu nehmen ${Anzeigestil A}$ bestimmt durch die Cramersche Regel:

{displaystyle x_{i}={frac {det(A_{i})}{det(A)}}}

Darin ist ${Displaystil A_{i}}$ die Matrix erstellt von der ${Anzeigestil i}$ -die Spalte von ${Anzeigestil A}$ durch den Vektor . ersetzt werden ${Anzeigestil b,}$ und ${displaystyle det }$ steht für bestimmend.

Konkreter Einsatz

Die Cramersche Regel kann nur für lösbare Systeme verwendet werden, d. h. Systeme mit genau so vielen Gleichungen wie Unbekannten und mit der bestimmend des Systems ist nicht Null. In diesem Fall gibt es eine eindeutige Lösung. Praktisch ist die Cramersche Regel nur für sehr kleine quadratische Systeme von höchstens drei Gleichungen in drei Unbekannten geeignet. Da das System größer ist, nimmt die Anzahl der erforderlichen Operationen sehr schnell zu. Schließlich müssen für ein 4×4-System nicht weniger als fünf 4×4-Determinanten berechnet werden. Im Allgemeinen ist die Anzahl der Operationen erforderlich, um ${Anzeigestil n imes n}$ -System, das mit der Cramerschen Regel proportional zu gelöst werden soll ${Anzeigestil(n1)!.}$ Andere Methoden, wie z Gauss-Eliminierung oder Gauß-Jordan-Eliminierung sind dann viel schneller und können auch auf nicht quadratische Systeme angewendet werden; die Lösung muss in diesem Fall nicht eindeutig sein. Bei diesen Methoden ist die Anzahl der Operationen proportional zu ${displaystyle n^{3}}$ . Um sehr große Systeme mit Dutzenden oder Hunderten von Gleichungen und Unbekannten zu lösen, werden modifizierte Methoden aus dem numerische Analyse.

Mit der Cramer-Regel kann ein einzelner Index (eine einzelne Komponente) der Lösung bestimmt werden, ohne die anderen Indizes zu bestimmen; im Fall des obigen 4×4-Systems reicht es aus, zwei 4×4-Determinanten zu berechnen. Obwohl dies für große Systeme noch nicht praktikabel ist, erfüllt es die Notwendigkeit, Komponenten der Lösung eines Systems zu bestimmen, wenn die Koeffizientenmatrix einen Parameter enthält, wie z ${Anzeigestil s}$ im Falle von a Laplace-Transformation.