WikiDer > Lügen-Algebra

In dem Mathematik ist ein Lügenalgebra ein algebraische Struktur, das hauptsächlich in der Erforschung von geometrische Objekte, wie Lügengruppen und differenzierbare Sorten. Lie-Algebren wurden im Rahmen des Studiums des Konzepts der eingeführt infinitesimale Transformationen. Der Begriff "Lügenalgebra" (benannt nach Sophus Lüge), wurde in den 1930er Jahren von Hermann Weyl.

Definition

Eine Lügenalgebra ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ ist ein (nicht unbedingt assoziativer) Typ Algebra über einen Körper (NL)/Feld (B)${Anzeigestil F}$, Mit als binäre Operation auf der Vektorraum${displaystyle {mathfrak {g}}}$ die sogenannte Lügenhaken:

${displaystyle [ cdot ,,cdot ]: {mathfrak {g}}imes {mathfrak {g}} oder {mathfrak {g}}}$

was die folgenden Axiome erfüllt^[1]:

• Bilinearität:

${displaystyle [ax by,z]=a[x,z] b[y,z],quad [z,ax by]=a[z,x] b[z,y]}$

für alle Skalare ${displaystyle a,bin F}$ und für alle Elemente${displaystyle x,y,satz {mathfrak {g}}.}$

• Antikommutativität, oder verzerrte Symmetrie:

${Anzeigestil [x,x]=0}$

für alle ${displaystyle xin{mathfrak {g}}.}$

Als die charakteristisch von ${Anzeigestil F}$ von 2 verschieden ist, entspricht dies der Anforderung, dass

${Anzeigestil [x,y]=-[y,x]}$

für alle ${displaystyle x,yin {mathfrak {g}}.}$

• Das Jacobi-Identität:

${Anzeigestil [x,[y,z]] [y,[z,x]] [z,[x,y]]=0}$

für alle ${displaystyle x,y,satz {mathfrak {g}}.}$

Assoziative Algebra

Für jedes assoziative Algebra${Anzeigestil A}$ mit Multiplikation ${Anzeigestil *}$, man kann eine Lie-Algebra verwenden ${Anzeigestil L(A)}$ bauen. Wenn der Vektorraum ist ${Anzeigestil L(A)}$ gleicht ${Anzeigestil A}$ und die Lie-Klammer ist definiert als Kommutator im ${Anzeigestil A}$:

${Anzeigestil [a,b]=a*b-b*a.}$

Die Assoziativität der Multiplikation ${Anzeigestil *}$ im ${Anzeigestil A}$ impliziert die Jacobi-Identität des Kommutators in ${Anzeigestil L(A)}$. Insbesondere die assoziative Algebra von ${Anzeigestil n imes n}$Matrizen über einem Körper/Feld ${Anzeigestil F}$ Ursache für die allgemeine lineare Lügenalgebra${displaystyle {mathfrak {gl}}_{n}(F)}$. Die assoziative Algebra ${Anzeigestil A}$ wird der umhüllende Algebra der Lügenalgebra ${Anzeigestil L(A)}$ erwähnt. Es ist bekannt, dass jede Lie-Algebra auf diese Weise in eine Algebra eingebettet werden kann, die aus einer assoziativen Algebra hervorgegangen ist. sehen universelle Hüllalgebra.

Andere Beispiele

Der Sonderfall, bei dem ${Anzeigestil [x,y]}$ ist immer 0, erfüllt trivial Weg zu den Axiomen und heißt heet kommutativ oder abels Lügen Algebra.

Es Vektorprodukt macht aus dem dreidimensionalKoordinatenraum${Displaystil K^{3}}$ über jeden Körper ${Anzeigestil K}$, eine Lügenalgebra.

wenn ${Anzeigestil M}$ ein glattVielfalt ist und ${displaystyle TM}$ ihr Tangentenbündel, dann ist die schneidet von ${displaystyle TM}$ ein reeller Vektorraum. Die Lie-Klammer zweier Vektorfelder macht aus diesem Vektorraum eine Lie-Algebra. Unter Verwendung einer ähnlichen Konstruktion, jedoch beschränkt auf linksinvariante Vektorfelder, erhalten wir die Lie-Algebra von a Lügengruppe.

Darstellungssatz

Jede Lie-Algebra ist isomorph zu einer Subalgebra der linearen Transformationen eines Vektorraums, ausgestattet mit dem Kommutatorhaken ${Anzeigestil [.,.]}$