WikiDer > Algebraische Zahlentheorie

In dem Mathematik ist der algebraische Zahlentheorie ein wichtiger Zweig der Zahlentheorie, Das algebraische Strukturen Studien, die sich auf die algebraische ganze Zahlen. Im Allgemeinen betrachtet man in der algebraischen Zahlentheorie Ringe von algebraischen ganzen Zahlen ${Anzeigestil O}$ in einem algebraisches Zahlenfeld${displaystyle K/mathbb {Q} }$ (d. h. a endlichErweiterung des Rationale Zahlen${displaystyle mathbb {Q} }$), und durch die Eigenschaften von this Ringe und Felder (beispielsweise Faktorisierung, Ideale, Felderweiterungen). In diesem Zusammenhang sind die bekannten Eigenschaften von ganze Zahlen (beispielsweise einzigartige Faktorisierung) nicht mehr unterwegs. Der Wert der verwendeten Theorien - Galois-Theorie, Gruppenkohomologie, Gruppenvertretung und L-Funktionen - ist, dass seine Verwendung es ermöglicht, die Ordnung für diese neue Klasse von ganzen Zahlen teilweise wiederherzustellen.

Grundlegendes Konzept

Eindeutige Faktorisierung und die ideale Klassengruppe

Eine der Eigenschaften von ${displaystyle mathbb {Z} }$ die sich nicht in der bewerben müssen Ring der ganzen Zahlen${Anzeigestil O}$ eines algebraischen Zahlenkörpers ${Anzeigestil K}$, ist die eindeutige Faktorisierung von ganze Zahlen im Primzahlen. Die Primzahlen in ${displaystyle mathbb {Z} }$ werden verallgemeinert zu irreduzible Elemente im Ö, und obwohl die eindeutige Faktorisierung von Elementen von Ö in irreduziblen Elementen in einigen Fällen (wie für die ganze Zahlen von Gauß${displaystyle mathbb {Z} [i]}$) gelten kann, muss dies nicht der Fall sein, wie im Fall von ${displaystyle mathbb {Z} [{sqrt {-5}}]}$, wahr

${displaystyle 6=2cdot 3=(1 {sqrt {-5}})cdot (1-{sqrt {-5}})}$.

Das ideale Klassengruppe von ${Anzeigestil O}$ ist ein Maß dafür, inwieweit die eindeutige Faktorisierung von Elementen nicht gilt; insbesondere ist die ideale Klassengruppe trivialdann und nur dann, wenn${Anzeigestil O}$ ein einzigartige Faktorisierungsdomäne ist.

Siehe auch

• Langlands-Programm
• Iwasawa-Theorie