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Es Langlands-Programm ist ein Netz von weitreichenden und einflussreichen Verdächtigungen, dass die Zahlentheorie und der Darstellungstheorie bestimmter Gruppen miteinander verbinden. Das Programm wurde durchgeführt von Robert Langlands seit 1967 gegründet.
Zusammenhang mit der Zahlentheorie
Als Ausgangspunkt für das Programm Gegenseitigkeitsrecht von Emil Artin gesehen werden. In diesem Gesetz verallgemeinert Artin de quadratische Gegenseitigkeit. Das Artin-Gegenseitigkeitsgesetz gilt für a Galois-Erweiterung von algebraische Zahlenfelder, von denen die Galois-Gruppe ein abelsche Gruppe ist, sie zeigt L-Funktionen zu eindimensionalen Darstellungen dieser Galois-Gruppe und stellt fest, dass dies L-Funktionen identisch mit bestimmten sein dirichlet-L-Serie oder allgemeiner Serie (das heißt, bestimmte Analoga der Riemann-Zeta-Funktion) besteht aus hecke charaktere. Die genaue Entsprechung zwischen diesen verschiedenen Arten von L-Funktionen bildet das Reziprozitätsgesetz von Artin.
Für nichtabelsche Galois-Gruppen und deren höherdimensionale Darstellungen kann man L-Funktionen noch auf natürliche Weise definieren: Artin-L-Funktionen.
Preise
Langlands erhielt die Wolfspreis, im Jahr 2006 die Abnehmerpreis und im Jahr 2018 die Abel-Preis in Mathematik in Anerkennung seiner Arbeit an diesen Vermutungen.
Laurent Lafforgue erhielt im Jahr 2002 die Fields-Medaille für seine Arbeit zum Funktionsfeld case. Diese Arbeit baut auf früheren Forschungen von Vladimir Drinfel'd, der 1990 für seine Arbeit auch eine Fields-Medaille erhielt.
Verweise
- (und) James Arthur: Das Funktionsprinzip (The Principle of Functionality), Bulletin des AMS v.40 Nr. 1. Oktober 2002
- (und) Stephen Gelbart: Eine grundlegende Einführung in das Langlands-Programm (Eine grundlegende Einführung in das Langlands-Programm), Bulletin of the AMS v.10 Nr. 2 April 1984.
- (und) Edward Frenkel: Vorlesungen zum Langlands-Programm und zur konformen Feldtheorie, (Vorlesungen zum Langlands-Programm und der konformen Feldtheorie) hep-th/0512172
- (und) J. Bernstein, S. Gelbart, Eine Einführung in das Langlands-Programm (Eine Einführung in das Langlands-Programm), ISBN 3-7643-3211-5