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In dem kommutative Algebra, eine Unterregion der Mathematik, ist ein Integritätsdomäne, ebenfalls Integritätsbereich, integraler Bereich oder kurz Domain, ein Kommutativer Ring, mit den Bearbeitungen summieren und multiplizieren, bei dem die neutrales Element 1 für die Multiplikation und 0 für die Addition erfüllen folgende Bedingungen:

• Es gibt keine Nullteiler, Mit anderen Worten ${Anzeigestil für alle x,yin R:xcdot y=0impliziert x=0oder y=0;}$
• ${Anzeigestil 1eq 0.}$

Integritätsdomänen sind Teil der folgenden Kette von onderstaande Teilmengen:

Körper/Felder ⊂ Euklidische Domänen ⊂ Hauptidealbereiche domain ⊂ eindeutige Faktorisierungsdomänen ⊂ Integritätsdomänen ⊂ Kommutative Ringe ⊂ Ringe.

Beispiele und Gegenbeispiel

• In einem Körper hat jedes Element außer 0 eine Inverse für die Multiplikation, also nein Nullteiler sein. Wenn nämlich ${displaystyle acdot b=0}$ und ${displaystyle beq 0,}$ dann ist ${displaystyle a=acdot bcdot b^{-1}=0cdot b^{-1}=0.}$
• Das ganze Zahlen von Gauß bilden eine Integritätsdomäne.
• wenn ${Anzeigestil K}$ ein Körper ist, dann ist der Ring ${displaystyle K[x_{1},ldots ,x_{n}]}$ des Polynome im ${displaystyle n}$Variablen mit Koeffizienten im ${Anzeigestil K}$ ein Bereich der Integrität.
• Jeder Teilungsring mit einem Einheitselement einer Integritätsregion ist wieder eine Integritätsregion.
• Mit modulare Mathematik: Der Ring ${displaystyle mathbb {Z} /6mathbb {Z} }$ des Restklassen modulo 6 ist ein kommutativer Ring mit Einheitselementen, aber die Restklassen von 2 und 3 sind Nullteiler: ${displaystyle {overline {2}} imes {overline {3}}={overline {6}}={overline {0}}.}$

Elementare Eigenschaften

Ein kommutativer Ring mit Einheitselementen ist genau dann eine Integritätsdomäne, wenn er Ideal (0) a Primideal ist.

Ein kommutativer Ring ${Anzeigestil R}$ mit unit-Element ist eine Integritätsdomäne wie für jedes Element ${displaystyle req 0}$ die Multiplikation mit ${displaystyle r}$ ein injektiv Verwandlung ist:

${displaystyle forall rin Rsetminus {0},forall a,bin R:rcdot a=rcdot bimplies a=b}$

Ein Ring ist genau dann eine Integritätsdomäne, wenn es sich um einen Unterring mit Einheitselement eines Körpers handelt. Ein solcher Körper kann explizit konstruiert werden (siehe unten bei Quotientenfeld).

Beispiel

Das obige Gegenbeispiel der Restklassen modulo 6 ist kein Integritätsbereich, da das Ideal der Sechser kein Primideal ist.

Ringcharakteristik

Jeder kommutative Ring mit Einheitselement, dessen charakteristisch${displaystyle n}$ ungleich 0, enthält den Ring der Restklassen modulo ${displaystyle n}$ als Trennring. Daraus folgt, dass die Eigenschaft einer Integritätsregion entweder 0 oder a . ist Primzahl ist.

Quotientenkörper

In einer Integritätsdomäne können wir auf abstrakte Weise Brüche definieren, analog zur Konstruktion des Rationale Zahlen unter Verwendung von Ganzzahlenpaaren. Das Ergebnis ist ein Körper, der die ursprüngliche Integritätsregion als einen Unterring umfasst, der als bezeichnet wird Quotientenfeld oder Bruchteil von ${Displaystil R.}$