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In dem abstrakte Algebra, eine Unterregion der Mathematik, ist das Konzept Primideal eine Verallgemeinerung von beiden a Primzahl wie ein irreduzibles Polynom. Primideale sind "unteilbar" in dem Sinne, dass sie nicht als Produkt zweier anderer geschrieben werden können Ideale.

Sofern nicht ausdrücklich anders angegeben, behandelt dieser Artikel Primideale in a Kommutativer Ring${Anzeigestil R}$ mit Einheitselement1 anders als Null.

Formale Definition

Ein Ideal ${Anzeigestil I}$ in einem Ring${Anzeigestil R}$ heiß Primideal oder kurz Ahle wenn es nicht gleich dem Ring ist ${Anzeigestil R}$ selbst, und wie für jedes Produkt von zwei Elemente das in ${Anzeigestil I}$ mindestens einer der beiden Faktoren ist auch in ${Anzeigestil I}$ Lügen:

${displaystyle forall x,yin R:x.yin Iimplies xin Ivee yin I}$

Beispiele und Gegenbeispiele

In den ganzen Zahlen ist die Sammlung${displaystyle n}$-faltet ein Primideal, wenn ${displaystyle n}$ ist eine Primzahl. Die Quadrupel bilden ein Ideal, aber kein Primideal: ${displaystyle 2mal 2=4.}$

Im Ring des Realen Polynome in einem Variable, bilden die Polynome mit einem festen Datum reelle Zahl${Anzeigestil a}$ wenn Null Punkte ein Primideal haben.

Sie ${Anzeigestil K}$ ein Kommutativ Körper/Feld, und ${Anzeigestil R=K[x]}$ der Ring von Polynomen in einer Variablen mit Koeffizienten im ${Anzeigestil K.}$ Das von einem Polynom erzeugte Ideal ${Anzeigestil f(x)}$ ist ein Primideal dann und nur dann, wenn dieses Polynom irreduzibel d.h. ist nicht das Produkt zweier Polynome mit niedrigerem Grad.

Die reellen Polynome mit a mehrere stammen aus ${Displaystil x^{2}-1}$ bilden ein Ideal, aber kein Primideal. Das Polynom ${Displaystil x^{2}-1}$ ist das Produkt von ${Anzeigestil x-1}$ und ${Anzeigestil x 1,}$ aber keiner der Faktoren gehört zum Ideal.

Elementare Eigenschaften

Ein Ideal ${Anzeigestil I}$ von ${Anzeigestil R}$ ist genau dann prim, wenn die Faktor Ring${displaystyle R/I}$ ein Integritätsdomäne ist.

Der Ring ${Anzeigestil R}$ ist selbst genau dann ein Bereich der Integrität, wenn es Singleton {0} ist ein Primideal.

Es invers Bild eines Primideals unter a Homomorphismus (von Kommutative Ringe mit Einheitselement) ist ein Primideal.

Verwandte Begriffe

Maximal ideal

EIN maximal ideal ist ein Ideal das ist in keinem anderen Ideal enthalten, mit Ausnahme der Ring${Anzeigestil R}$ selbst. Jedes maximale Ideal ist prim, aber nicht umgekehrt.

Radikales Ideal

EIN radikales Ideal ist ein Ideal gleich seinem eigenen Radikale, oder doch ein Ideal mit eigenen Wurzeln:

${displaystyle forall xin I,forall nin mathbb {N} :x^{n}in impliziert xin I}$

Primideale sind radikal, wie a Beweis mit vollständiger Induktion zu nein.

Primärideal

EIN primäres Ideal ist ein Ideal ich das ist nicht gleich dem Ring R selbst, und wo für jedes Produkt von zwei Elementen, das in ich eine Potenz von mindestens einem der beiden Faktoren ist auch in ich Lügen:

${displaystyle forall x,yin R:x.yin Bedeutet existiert nin mathbb {N} ,x^{n}in Ivee y^{n}in I}$

Primärideale sind primär: Wählen Sie einfach nein=1. Das Gegenteil ist im Allgemeinen nicht der Fall, aber wenn ich primär ist, dann ist sein Radikal ein Primideal.

Multiplikative Teilmenge

EIN multiplikative Teilmenge S eines Rings R ist ein Teilmenge von R welches das Einheitselement enthält und für die Multiplikation abgeschlossen ist:

${displaystyle 1in Swedge für alle x,yin S,x.yin S}$

Ein Primideal ist einfach ein Ideal, dessen ergänzen ist eine multiplikative Menge. Tatsächlich gilt folgendes:

Gestell

wenn so eine multiplikative Menge ist und ich ein Ideal, das zusammenhangslos ist mit so, dann gibt es ein Primideal, das ich umfasst und die immer noch unzusammenhängend ist mit so.

Lokalisierung

Das Lokalisierung R_so des Rings R in der multiplikativen Menge so, ebenfalls Bruchring heißt, ist die Menge Brüche des Formulars

${displaystyle {frac {r}{s}}, rin R, sin S}$

Zwei Brüche sind äquivalent, wenn sie "vereinfacht" werden können:

${displaystyle {frac {r}{s}}={frac {r'}{s'}}Linksrechtspfeil existiert in S,t(r.s'-r'.s)=0}$

Die Addition und Multiplikation von Brüchen folgt den Rechenregeln

${displaystyle {frac {r}{s}} {frac {r'}{s'}}={frac {r.s' r'.s}{s.s'}}}$

${displaystyle {frac {r}{s}}.{frac {r'}{s'}}={frac {r.r'}{s.s'}}}$

Die Lokalisierung eines Rings R in einem Primideal p ist die Lokalisierung in der multiplikativen Menge Rs. Sie wird ein wenig verwirrend R_p notiert.

Spektrum

Es Spektrum eines Rings ist die Menge aller Primideale, notiert ${displaystyle {hbox{Spec}}(R).}$

Zariskitopologie

Das Spektrum von R ist ausgestattet mit a Topologie von wenn geschlossene Sammlungen nehmen: den Raum R selbst und jede Menge von Primidealen, die ein gegebenes Ideal haben ich einschließen. Das nennt man Zariski-Topologie von ${displaystyle {hbox{Spec}}(R).}$

Spektrum Garbe^[1]

EIN Garbe verbindet sich mit jedem offene Sammlung eines topologischen Raums hat eine algebraische Struktur, und mit jeder Inklusion ${Displaystil Usubset V}$ zwischen offenen Mengen ein Homomorphismus.

Im Spektrum von R man konstruiert ein Bündel Ringe wie folgt. Mit einer zufälligen offenen Sammlung SIE assoziieren wir den Ring ${displaystyle {mathcal {O}}(U)}$ aller Funktionen f von SIE zur disjunkten Vereinigung von Lokalisationen

${displaystyle f:U o coprod _{pin U}R_{p}:pmapsto f(p)in R_{p}}$

dass jedes Primideal p einem Element seiner eigenen Lokalisierung zuordnen R_p, und diejenigen in der Nähe eines beliebigen Punktes von SIE kann als Quotient aus zwei Elementen von geschrieben werden R:

${displaystyle forall pin U,exists Vin {mathcal {V}}(p),exists r,sin A,forall qin V:sotin qimplies f(q)={frac {r}{s}}}$

Hier kann das Gleichheitszeichen als Identität zwischen zwei Elementen von verstanden werden R_q.

Der Ringhomomorphismus zwischen ${displaystyle {mathcal {O}}(U)}$ und ${displaystyle {mathcal {O}}(V)}$ ist die Einschränkung der Funktionen f zu einer Teilmenge ihrer Domain.

Zugehöriges Primideal eines Moduls^[2]

Sie ich ein Modul über den Ring R. EIN zugehöriges Primideal von M ist ein Primideal von R die aus den Elementen besteht, die ein gegebenes festes Element bilden ich von Vernichten (das heißt, die Skalarmultiplikation ergibt den Nullvektor):

${displaystyle p(m)={rin R|r.m=0}}$

Der Vernichter eines gegebenen Elements ich ist immer ein Ideal, aber nicht immer ein Primideal. Innerhalb der Sammlung solcher Ideale (mit Ausnahme des trivialen Ideals für ich=0) sind die maximale Elemente alle Primideale.

Primideale in nichtkommutativen Ringen

Ein (zweiseitiges) Ideal p eines nichtkommutativen Rings R heißt Primideal, wenn es die folgenden zwei Eigenschaften hat:

1. wenn ein und b zwei Elemente von R sei so, dass für alle Elemente r von R das Produkt a.r.b im p Lügen, dann auch Lügen ein oder b im p;
2. p ist nicht die ganze ringhele R.

Für kommutative Ringe ist diese Definition äquivalent zur ersten. Für nichtkommutative Ringe ist sie weniger streng. Ein Ideal eines nichtkommutativen Rings, der die ursprünglichen, strengeren Bedingungen erfüllt, heißt komplettes Primideal.

Beispiel

Im Ring des Quadrats neinXnein-Matrizen über einen Körper k das triviale Ideal (das nur aus der Nullmatrix besteht) ist ein Primideal, aber kein vollständiges Primideal.

Verweise