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Tensor

Der Begriff Tensor hat viele Anwendungen in der Differentialgeometrie und daher auch im Materialwissenschaften (Verformung von Gegenständen) und die Relativitätstheorie. Für eine Behandlung von Tensoren in diesem Zusammenhang siehe Tensor (Relativitätstheorie).

Tensoren sein mathematische Objekte von dem Lineare Algebra und der Differentialgeometrie was als Verallgemeinerung von . angesehen werden kann Vektoren und Matrizen. Sie haben ihren Ursprung in der Physik und wurden erst später in der Mathematik spezifiziert. Tensoren sind die zentralen Objekte im generelle Relativität. Augustin-Louis Cauchy war einer der Mathematiker, die 1822 legte den Grundstein für die Tensorrechnung.

Definitionen

Es gibt verschiedene Definitionen des Begriffs tensor. Obwohl sie auf den ersten Blick sehr unterschiedlich sind, beschreiben sie doch den gleichen geometrischen Begriff, wenn auch in unterschiedlichen Begriffen und Abstraktionsebenen.

Tensoren werden klassifiziert nach Art ${Anzeigestil (m,n)}$ , mit ${displaystyle m}$ und ${displaystyle n}$ natürliche Zahlen. Davon gibt die Zahl an ${displaystyle m}$ über die Zahl der sogenannten Kontravariante Indizes und ${displaystyle n}$ auf der nummer Kovariante Indizes. Insgesamt gibt es solche ${Anzeigestil m n}$ Indizes, die jeweils ${displaystyle p}$ kann Werte annehmen, mit ${displaystyle p}$ die Dimension des Raumes. Ein Tensor vom Typ ${Anzeigestil (m,n)}$ wird gegeben von ${displaystyle p^{mn}}$ Zahlen, nämlich eine Zahl für jede Kombination von Indexwerten.

Abhängig vom Kontext bezieht sich ein Tensor oft auf eine Entität an sich, unabhängig von der Koordinatensystem. Ist ein Tensor gegeben durch ${displaystyle p^{mn}}$ Zahlen, muss daher angegeben werden, für welches Koordinatensystem diese gelten. Für ein anderes Koordinatensystem mit a grundlegende Transformation des gegenwärtigen Vektorraums kann man die Zahlen umrechnen. Die Begriffe kontravariant und kovariant geben an, wie die beteiligten Indizes transformiert werden müssen.

Mit dem Begriff tensor ist oft auch gemeint als Tensorfeld, also ein lageabhängiger Tensor oder Raumzeitposition.

Als mehrdimensionale Reihe

Ein Vektor ${Anzeigestil v}$ lässt sich als eindimensionale Zahlenfolge darstellen ${displaystyle (v^{1},ldots,v^{n})}$ die zusammen mit der zugehörigen geordneten Basis ${displaystyle (e_{1},ldots,e_{n})}$ der Vektor bestimmt:

{displaystyle v=sum _{i=1}^{n}v^{i}e_{i}=v^{i}e_{i}}

,

wobei der letzte Ausdruck nach der Einstein-Summenkonvention dasselbe bedeutet wie die davor stehende Summe.

Analog ist a ${Anzeigestil n imes n}$ -Matrix ${Anzeigestil A}$ eine zweidimensionale Zahlenfolge ${Displaystil A_{k}^{r}}$ , in welchem ${Displaystil A_{k}^{r}}$ das Element von ${Anzeigestil A}$ ist auf ${displaystyle r}$ -die Reihe und in der ${displaystyle k}$ -die Kolumne. Die Matrix ${Anzeigestil A}$ stellt ein Bild dar, das den Basisvektor enthält ${displaystyle e_{k}}$ ordnet den Bildvektor zu

{displaystyle A_{k}^{1}e_{1} ldots A_{k}^{n}e_{n}=A_{k}^{r}e_{r}}

ein Tensor ${Anzeigestil T}$ , als Verallgemeinerung dieser Konzepte, ist eine mehrdimensionale Zahlenfolge. Vor dem ${Anzeigestil m n}$ Dimensions wird zum Element mit Indizes ${displaystyle i_{1},ldots ,i_{m},i_{m 1},ldots ,i_{m n}}$ angezeigt durch:

{displaystyle T_{i_{m 1},ldots ,i_{m n}}^{i_{1},ldots ,i_{m}}}

Man unterscheidet zwischen den sogenannten Kontravariante Indizes, die als obere Indizes aufgeführt sind und Kovariante Indizes, die als Subindizes aufgeführt sind. Ein solcher Tensor gilt als Art ${Anzeigestil (m,n)}$ genannt, mit ${displaystyle m}$ also die Anzahl der kontravarianten Indizes und ${displaystyle n}$ die Zahl der Kovarianten.

Beim Übergang zu neuen Basisvektoren ${displaystyle ({hat {e}}_{1},ldots ,{hat {e}}_{n})}$ , angegeben in Bezug auf das alte von

{displaystyle {Hut {e}}_{i}={R^{j}}_{i}e_{j}}

werden die Koordinaten ${displaystyle ({hat {v}}^{1},ldots ,{hat {v}}^{n})}$ des Vektors ${Anzeigestil v}$ in Bezug auf die neue Grundlage bestimmt durch:

{displaystyle {Hut {v}}^{i}=(R^{-1})_{j}^{i}v^{j}}

Die Koordinaten transformieren sich also in die entgegengesetzte Richtung (via ${Displaystil R^{-1}}$ ) zu den durchlaufenden Basisvektoren ${Anzeigestil R}$ verwandeln. Der Vektor heißt daher kontravariant und auch die Indizes der Koordinaten sind kontravariant. Sie sind als obere Indizes aufgeführt. Ein kontravarianter Vektor ist daher ein Tensor vom Typ (1.0).

Für die transformierte Matrix ${displaystyle {Hut {A}}}$ gilt:

{displaystyle {Hut {A}}=R^{-1}AR}

Die Elemente von ${displaystyle {Hut {A}}}$ sind somit gegeben durch:

{displaystyle {{hut {A}}^{r}}_{k}=(R^{-1})_{i}^{r}A_{j}^{i}R_{k}^{j }}

Somit transformieren sich die Zeilenindizes der Matrixelemente über ${Displaystil R^{-1}}$ , also kontravariant, und die Spaltenindizes via ${Anzeigestil R}$ , also kovariate. Daher wird der Zeilenindex als oberer Index und der Spaltenindex als unterer Index geschrieben. Eine Matrix ist also ein Tensor vom Typ (1,1).

Die Elemente des Tensors

{displaystyle T_{i_{m 1},ldots ,i_{m n}}^{i_{1},ldots ,i_{m}}}

vom Typ ${Anzeigestil (m,n)}$ , werden somit wie folgt transformiert:

{displaystyle {hat {T}}_{i_{m 1},ldots,i_{mn}}^{i_{1},ldots,i_{m}}=(R^{-1})_{j_{ 1}}^{i_{1}}cdots (R^{-1})_{j_{m}}^{i_{m}}R_{i_{m 1}}^{j_{m 1}}cdots R_{i_{mn}}^{j_{mn}}T_{j_{m 1},ldots ,j_{mn}}^{j_{1},ldots ,j_{m}}}

.

Als multilineare Karte

Diese Definition betrachtet einen Tensor als a multilineares Bild. Ein Tensor vom Typ ${Anzeigestil (m,n)}$ ist ein Bild:

{displaystyle T:underbrace {V^{*} imes ldots imes V^{*}} _{m{ ext{ Kopien}}} imes underbrace {V imes ldots imes V} _{n{ ext{ Kopien}}} o Mathebb {R} }

die in jedem ihrer Argumente linear ist. In Ergänzung, ${Anzeigestil V}$ ein Vektorraum und ${Displaystil V^{*}}$ die entsprechende dualer Vektorraum.

der tensor ${Anzeigestil T}$ vom Typ ${Anzeigestil (m,n)}$ zeigt eine Kombination von Elementen der Basis ${displaystyle (e_{b})}$ von ${Anzeigestil V}$ und Elemente der zugehörigen kanonischen Doppelbasis ${Anzeigestil (e^{a})}$ von ${Displaystil V^{*}}$ aus an:

{displaystyle T_{b_{1}Punkte b_{n}}^{a_{1}Punkte a_{m}}=T(e^{a_{1}},ldots,e^{a_{m}},e_ {b_{1}},ldots ,e_{b_{n}})}

,

ein ${Anzeigestil m n}$ -dimensionale Zeilenkoordinaten (oft als Komponenten bezeichnet) von ${Anzeigestil T}$ .

In Form eines Tensorprodukts

sehen Tensorprodukt für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Tensoren werden als Elemente des Tensorprodukts von zwei oder mehr eingegeben Vektorräume. Dieses Tensorprodukt wird durch das Tensorprodukt der Basisvektoren jedes dieser Räume erzeugt. wenn ${Anzeigestil (V_{a})}$ die Vektorräume über denselben Körper (Ned) / Feld (Be) ${Anzeigestil K}$ sein und ${displaystyle E_{a}={e_{ai}|a=1,2,ldots}}$ Basen dieser Räume sind, wird es Tensorprodukt der Räume ${Anzeigestil (V_{a})}$ notiert als

{displaystyle V_{1}otimes V_{2}otimes ldots }

Dieses Tensorprodukt hat eine Basis bestehend aus den Tensorprodukten der Vektoren aus den Basen ${Anzeigestil (E_{a})}$ :

{displaystyle e_{1i_{1}}otimes e_{2i_{2}}otimes ldots }

Diese Tensorprodukte bilden eine neue Klasse von Elementen, die formal eine Kombination der Basisvektoren sind.

Insbesondere hat es ${displaystyle n}$ -faches Tensorprodukt von ${Anzeigestil V}$ mit sich selbst

{displaystyle otimes _{i=1}^{n}V=Votimes ldots otimes V{hbox{ (n mal)}}}

die natürliche basis

{displaystyle {e_{a_{1}}otimes ldots otimes e_{a_{n}}|a_{i}=1,2,ldots }}

EIN ${displaystyle n}$ -der Ordnungstensor ${Anzeigestil T}$ aus diesem Tensorprodukt im Vergleich zur natürlichen Base die Komponenten

{displaystyle T^{a_{1}ldots a_{n}}e_{a_{1}}otimes ldots otimes e_{a_{n}}}

Wenn der Vektorraum ${Anzeigestil V}$ Abmessungen ${displaystyle p}$ hat, dann gibt es ${displaystyle p^{n}}$ solche Komponenten, in a . anzuordnen ${displaystyle n}$ -dimensional Hyperwürfel von Zahlen.

Ebenso sind die Elemente der Tensorprodukte der dualer Vektorraum ${Displaystil V^{*}}$ Tensoren genannt. Zur Unterscheidung sind die Basisvektoren von are ${Displaystil V^{*}}$ normalerweise mit überIndizes notiert (wie oben), so dass die Komponenten eines "dualen" Tensors untenHolen Sie sich zum Beispiel Indizes

{displaystyle T=T_{ab}e^{a}otimes e^{b}}

Ein Tensor der Ordnung ${Anzeigestil (m,n)}$ ist dann ein Element des Tensorprodukts:

{displaystyle underbrace {Votimes ldots otimes V} _{m{ ext{ copy}}}otimes underbrace {V^{*}otimes ldots otimes V^{*}} _{n{ ext{ copy}}}}

Identifizierung von Vektorraum und dualem Vektorraum

Ein Vektorraum mit einem nicht entarteten bilineare Form ${displaystyle g_{ij}v^{i}w^{j}}$ wird kanonisch mit einem eigenen dualen Vektorraum identifiziert. Sie ${Anzeigestil v}$ jeder Vektor von ${Anzeigestil V}$ . Dann das Bild

{displaystyle v^{*}:V o mathbb {R} :wmapsto g_{ij}v^{i}w^{j}}

linear, also ein Element des dualen Raums ${Displaystil V^{*}}$ . Das Bild

{displaystyle *:V o V^{*}:vmapsto v^{*}}

ist ein Isomorphismus von Vektorräumen.

Oben haben wir die Basisvektoren gewählt ${displaystyle mathbf {e} ^{j}}$ des Doppelraum so dass ${displaystyle mathbf {e} ^{j}mathbf {e} _{i}=delta _{ij}}$ , so dass ${displaystyle wv=w_{i}v^{i}}$ , aber stattdessen können wir auch hier ${displaystyle mathbf {e} ^{j}mathbf {e} _{i}=g_{ij}}$ wähle so dass ${displaystyle wv=g_{ij}v^{i}w^{i}}$ .

Die inverse Isomorphie von Vektorräumen erhält man durch die Inverse der Matrix ${Anzeigestil (g_{ab})_{b}^{a}}$ um es zu berechnen, wird es mit oberen Indizes notiert:

{displaystyle g=g^{ij}e_{i}otimes e_{j}}

Die Tatsache, dass die Matrizen ${Anzeigestil (g_{ab})_{b}^{a}}$ und ${displaystyle (g^{ij})_{j}^{i}}$ invers sind, wird in der Formel ausgedrückt

{displaystyle g_{ij}g^{jk}=Delta_{i}^{k}}

Symmetrie

In einigen Fällen ist ein Tensor symmetrisch oder antisymmetrisch. Für ein symmetrischer Tensor gilt: ${displaystyle T_{ab}=T_{ba}}$ . Für ein antisymmetrischer Tensor gilt ${displaystyle T_{ab}=-T_{ba}}$ . Im Allgemeinen ist ein Tensor weder symmetrisch noch antisymmetrisch.

jeder Tensor ${Anzeigestil T}$ hat einen symmetrischen Teil ${Anzeigestil S}$ und ein antisymmetrischer Teil ${Anzeigestil A}$ , wird bestimmt durch

${displaystyle S_{ab}={ frac {1}{2}}(T_{ab} T_{ba})}$
${displaystyle A_{ab}={ frac {1}{2}}(T_{ab}-T_{ba})}$

Der symmetrische und der antisymmetrische Teil eines Tensors enthalten zusammen so viele Informationen wie der ursprüngliche Tensor.

Diese Regeln können für Tensoren beliebiger Ordnung erweitert werden (siehe externe Links).

Beispiel: Typ (0,0)

Ein (0,0)-Tensor wird durch eine Zahl mit der Einheit angegeben. Die Zahl mit Einheit ist unabhängig vom Koordinatensystem. Es ist ein Skalar im strengsten Sinne auch strenger als a lorentzskalar.

Nach dem System der Betrachtung eines Tensors als a lineares Bild der Tensor ist eine lineare Abbildung der Menge 0-Tupel zur Menge der reellen Zahlen. Die Menge von 0 Tupeln hat ein Element; wenn ein Tupel als Karte des auf set gesetzten Indexes gesehen wird ${Anzeigestil V}$ , ist dieses Element de leere Funktion. Ein (0,0)-Tensor bildet die Menge mit diesem einen Element auf die Menge der reellen Zahlen ab und ist somit durch eine reelle Zahl gegeben. Die Karte ist "linear in jedem ihrer Nullargumente", nicht zu verwechseln mit einer Karte, die in diesem Bereich als Vektorraum linear ist, denn dann wäre ihr Wert Null.

Beispiel: Typ (1.0)

Ein Tensor vom Typ (1.0) ist ein gewöhnlicher Vektor über die Körper (Ned) / Feld (Be) ${Anzeigestil K}$ . Er hat einen kontravarianten Index (in Tensornotation als oberer Index notiert), der ist ${displaystyle p}$ kann Werte annehmen, mit ${displaystyle p}$ die Dimension des Raumes. Ein solcher Tensor für eine gegebene Basis ist also gegeben durch ${displaystyle p}$ Zahlen, Kennzahlen oder Koordinaten erwähnt. Der Vektor wird normalerweise verstanden als Spaltenvektor mit diesen Zahlen. Für ein Koordinatensystem mit einem anderen Base Kann man die Zahlen mit der quadratischen Matrix umrechnen? ${Anzeigestil R}$ verbunden mit der grundlegenden Transformation:

{displaystyle {Hut {v}}^{i}=(R^{-1})_{j}^{i}v^{j}}

(kontravariante konvertieren)

Nach dem System der Betrachtung eines Tensors als a lineares Bild ist der Tensor eine lineare Abbildung

{Displaystil T:V^{*} oder K}

In Ergänzung, ${Displaystil V^{*}}$ das dualer Vektorraum zu a . gehörend Vektorraum ${Anzeigestil V}$ , die von allen lineare Funktionale auf ${Anzeigestil V}$ existiert, das heißt die lineare Bilder zu ${Anzeigestil K}$ .

Als Grundlage von ${Displaystil V^{*}}$ gewählt ist, ist der Tensor gegeben durch ${displaystyle p}$ Zahlen, erhalten durch Anwendung des Tensors auf die relevanten Basisvektoren:

{Anzeigestil T(e^{i})=T^{i}}

Beispiel: Typ (0.1)

Ein Tensor vom Typ (0.1) ist a linear funktional

{Displaystil T:V oder K}

Als Grundlage von ${Anzeigestil V}$ gewählt ist, ist der Tensor gegeben durch ${displaystyle p}$ Zahlen, erhalten durch Anwendung des Tensors auf die Basisvektoren:

{Anzeigestil T(e_{i})=T_{i}}

Es gibt also einen Kovariatenindex (als niedrigerer Index bezeichnet), der ${displaystyle p}$ kann Werte annehmen, mit ${displaystyle p}$ die Dimension des Raumes.

Beispiel: Typ (0.2)

Ein Tensor vom Typ (0,2) ist a bilineares Bild

{displaystyle T:V imes V o K}

In Ergänzung, ${Anzeigestil V}$ ein Vektorraum.

der tensor ${Anzeigestil T}$ zeigt eine Kombination aus zwei Elementen der Basis ${displaystyle (e_{b})}$ von ${Anzeigestil V}$ aus an ${Anzeigestil T_{ij}=T(e_{i},e_{j})}$

{displaystyle {hat {T}}_{ij}=R_{i}^{k}R_{j}^{l}T_{kl}}

Das Tensorprodukt ${displaystyle Votimes V}$ hat eine Basis bestehend aus dem ${displaystyle p^{2}}$ Tensorprodukte ${displaystyle e_{i}otimes e_{j}}$

Ein wichtiges Beispiel für einen solchen Tensor ist der metrischer Tensor ${displaystyle g}$ .

Tensoranalyse

Zu einem Tensor eines bestimmten Typs kann jedem anderen Typ ein Tensor des anderen Typs zugeordnet werden, der fest daraus abgeleitet wird. Diese unterschiedlichen Tensoren können in der Notation als Komponente abhängig von Indizes mit dem gleichen Buchstaben geschrieben werden, da die Positionen der Indizes den Unterschied anzeigen. Da ein Tensor jedoch eine von Koordinaten/Basisvektoren unabhängige Entität ist, ist es oft sinnvoll, ihn als Bild (wie oben beschrieben) vorzustellen. Die Unterscheidung muss dann anders angegeben werden, beispielsweise mit anderen Buchstaben. Bei der Umwandlung eines Tensors in einen anderen gibt es einen festen Tensor, den metrischer Tensor ${displaystyle g_{ij}}$ , und seine Umkehrung ${displaystyle g^{ij}}$ , zentral:

Indizes verringern: Ein hochgestellter Index kann zu einem tiefgestellten Index werden:

{displaystyle A_{i}=g_{ij}A^{j}}

{displaystyle T_{ac}=g_{ab}T_{c}^{b}}

Indizes erhöhen: Ein tiefgestellter Index kann zu einem hochgestellten Index werden:

{Displaystil A^{i}=g^{ij}A_{j}}

{displaystyle T_{c}^{a}=g^{ab}T_{bc}}

Die Kontraktion oder Reduktion eines Tensors kann durch die Gleichsetzung von zwei Indizes erfolgen:

{Displaystil T^{a}=T_{c}^{ac}}

Verringern Sie zwei Indizes:

{displaystyle T_{alpha eta}=g_{alpha gamma }g_{eta delta }T^{gamma delta}}

Erhöhen zweier Indizes:

{displaystyle T^{alpha eta}=g^{alpha gamma }g^{eta delta }T_{gamma delta}}

Beachten Sie, dass ${displaystyle T^{alpha eta }}$ im Allgemeinen ist nicht die Umkehrung von ${Displaystil T_{Gamma-Delta }}$ , gilt dies nur für den metrischen Tensor. Wenn wir zum Beispiel ${displaystyle T^{alpha eta }}$ multiplizieren mit zwei wird dann ${Displaystil T_{Gamma-Delta }}$ auch mit zwei multipliziert, nicht durch zwei geteilt.

von ${displaystyle T_{c}^{a}=g^{ab}T_{bc}}$ folgt ${Displaystil g_{c}^{a}=g^{ab}g_{bc}=Delta _{c}^{a}}$ .

Ab ${displaystyle T_{j}}$ können wir also konstruieren ${Displaystil T^{i}=g^{ij}T_{k}}$ (und umgekehrt) und dann ${Anzeigestil T=T^{i}T_{i}}$

Ab ${displaystyle T_{ij}}$ können wir bauen ${displaystyle T_{j}^{i}=g^{i}T_{kj}}$ (und umgekehrt) und dann ${Displaystil T=T_{i}^{i}}$ , beispielsweise ${displaystyle g_{j}^{i}=g^{i}g_{kj}=Delta_{j}^{i}}$ , und dann ${Displaystil g=g_{i}^{i}=Delta _{i}^{i}=4}$ .

P-Tensor

Ein Beispiel für einen häufig verwendeten Tensor in der topologischen Stringtheorie ist der P-Tensor. Es hat folgende besondere Eigenschaft:

{displaystyle {sqrt {P_{k}^{i}}}>P_{k}^{i}}

Der Tensor ist ein symmetrischer Tensor zweiter Ordnung, bei dem die Komponenten zwischen Null und Eins liegen. Der P-Tensor taucht in der Beschreibung der "Parameterlandschaft" des Vans auf Standardmodell.

Notation

Die Schreibweise der Tensoren variiert. Misner, Charles W., Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald: GravitationFreeman, San Francisco, 1970 und spätere Ausgaben listet die verschiedenen Notationen auf.

Siehe auch

Externer Link

Mathworld: Tensor

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