WikiDer > Kettenbruch

In dem Mathematik ist ein Kettenbruch ein Ausdruck des Formulars:

${displaystyle a_{0} {cfrac {b_{1}}{a_{1} {cfrac {b_{2}}{a_{2} {cfrac {b_{3}}{a_{3} ,cdots }}} }}}}$,

in welchem ${displaystyle a_{0}}$ eine zufällige gerade Zahl ist und alle anderen Zahlen ${displaystyle a_{i}}$ und ${displaystyle b_{j}}$positivganze sind Zahlen.

EIN Singular oder regulärer Kettenbruch ist ein Ausdruck der Form

${displaystyle a_{0} {cfrac {1}{a_{1} {cfrac {1}{a_{2} {cfrac {1}{a_{3} {cfrac {1}{ddots ,}}}}}} }}}$,

also ein Kettenbruch, in dem alle ${displaystyle b_{j}=1}$ sein.

Reguläre Kettenbrüche, einschließlich der endlichen, die nicht mit einem Nenner 1 enden (d. h. Kettenbrüche in kanonische Form), bilden eine eindeutige Darstellung der reale Nummern.

Beispiele

Das einfachste Beispiel für einen unendlichen Kettenbruch ist das für den goldene Zahl${displaystyle varphi ={frac {1 {sqrt {5}}}{2}}ungefähr 1{,}618}$:

${displaystyle varphi =1 {cfrac {1}{1 {cfrac {1}{1 {cfrac {1}{1 ,cdots }}}}}}}$

Ein weiteres Beispiel ist der Ausdruck für die Arkustangensfunktion:

${displaystyle arctan(z)={cfrac {z}{1 {cfrac {z^{2}}{3 {cfrac {4z^{2}}{5 {cfrac {9z^{2}}{7 {cfrac { 16z^{2}}{9 {cfrac {25z^{2}}{ddots ,}}}}}}}}}}}}}$

Notation

Ein Kettenbruch in kanonischer Form wird vollständig durch die Zahlen bestimmt ${displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},dots }$ Mehrere Notationen wurden entwickelt, um Kettenbrüche leichter als umständlich als reeller Bruch zu schreiben. Oskar Perron führte in seinem Buch "Die Lehre von den Kettenbrüchen" folgende weit verbreitete Notation ein:

${displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},ldots ]}$

In dieser Notation ist die Goldener Schnitt${Displaystil Varphi =[1;1,1,1,Punkte]}$.

Eine andere Notation, von Pringsheim, ist:

${displaystyle a_{0} {frac {1mid }{mid a_{1}}} {frac {1mid }{mid a_{2}}} {frac {1mid }{mid a_{3}}} Punkte }$

Damit verbunden ist:

${displaystyle a_{0} {1 über a_{1} }{1 über a_{2} }{1 über a_{3} }Punkte }$

Zugehörige Notationen für endliche Kettenbrüche haben die folgende Form (mit wörtlich "..." oder ausgeschrieben):

${displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},Punkte,a_{n}]}$

${displaystyle a_{0} {frac {1mid }{mid a_{1}}} {frac {1mid }{mid a_{2}}} {frac {1mid }{mid a_{3}}} Punkte {frac {1mid }{Mitte a_{n}}}}$

${displaystyle a_{0} {1 über a_{1} }{1 über a_{2} }{1 über a_{3} }dots {1 über a_{n-1} }{1 über a_{n}}}$

Theorie

Reale Nummern lassen sich eindeutig als Kettenbrüche in kanonischer Form schreiben, gegeben durch eine endliche oder nicht endliche Folge von ganzen Zahlen ${displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},dots }$, davon alle Begriffe, außer möglicherweise ${displaystyle a_{0}}$, größer oder gleich 1 sein. rational Zahlen haben eine endliche Darstellung: ${displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},Punkte,a_{n}]}$ mit ${displaystyle a_{n}geq 2}$ und irrationale Zahlen eine unendliche: ${displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},Punkte]}$.

Die Einteilung in Zahlen mit unendlicher und endlicher Darstellung ist daher grundsätzlicher als bei einer Notation mit einer ganzen Zahl, einem Komma und Nachkommastellen, bei der die Division der Base hängt davon ab. Bei einem Kettenbruch sind auch die Zahlen in der Darstellung (abgesehen von ihrer eigenen Schreibweise) unabhängig von einer Basis.

Die Idee hinter dem Kettenbruch ist, dass eine reelle Zahl de Summe ist eine ganze Zahl und eine reelle Zahl von 0 oder mehr, aber kleiner als 1. Wenn dieser Teil nicht 0 ist, kann er als 1 dividiert durch eine reelle Zahl größer als 1 geschrieben werden. Dasselbe gilt für diese letzte Zahl. Und so weiter. Dadurch entsteht ein Kettenbruch. Es gilt also

${displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},Punkte]=a_{0} 1/[a_{1};a_{2},a_{3},Punkte] }$

${displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},dots ,a_{n}]=a_{0} 1/[a_{1};a_{2},a_{ 3},Punkte,a_{n}],ngeq 1}$

${displaystyle [a_{0};]=a_{0}}$

Als Beispiel bestimmen wir den Kettenbruch von 0,345. Dazu berechnen wir:

${displaystyle 0{,}345=0 {frac {345}{1000}}}$

${displaystyle {frac {1000}{345}}=2 {frac {310}{345}}}$

${displaystyle {frac {345}{310}}=1 {frac {35}{310}}}$

${displaystyle {frac {310}{35}}=8 {frac {30}{35}}}$

${displaystyle {frac {35}{30}}=1 {frac {5}{30}}}$

${displaystyle {frac {30}{5}}=6}$

Also 0,345 = [0;2,1,8,1,6]

Die Berechnung entspricht der Euklids Algorithmus zur Bestimmung der größter gemeinsamer Teiler. Die Berechnung lässt sich wie folgt zusammenfassen:

1000  0 345  2 310  1  35  8  30  1   5  6   0

Dabei nehmen die Zahlen in der linken Spalte am langsamsten ab (und damit wird der Kettenbruch am längsten), wenn die rechte Spalte immer niedrige Zahlen, insbesondere Einsen, enthält. Dies ist der Fall für Brüche in der Nähe von ${Anzeigestil Varphi }$, und damit zum Beispiel auch at ${Anzeigestil Varphi -1.}$ Die Zahlen in der linken Spalte werden dann immer durch ungefähr geteilt ${Displaystil-Varphi.}$ Jeder Faktor 10 in der Größenordnung des Nenners des Bruches kann dann 5 zusätzliche Stufen erfordern. Zum Beispiel hat der Kettenbruch für die Zahl 0,62 8 Stufen, siehe die numerisch sortierte Liste der Beispiele.

Ein allgemeines Schema für beliebige reelle Zahlen ist analog zu Euklids Algorithmus:

Nummer 1/Fraktion			ganzer Teil	Fraktion
0,345			0	0,345
1/0,345	=	2,898550725	2	0,898550725
1/0,898550725	=	1,112903226	1	0,112903226
1/0,112903226	=	8,857142857	8	0,857142857
1/0,857142857	=	1,166666667	1	0,166666667
1/0,166666667	=	6	6	0

Größenbestellung

Die gewöhnliche Zahlenreihenfolge entspricht der lexikographische Ordnung der Reihen ${Anzeigestil a}$'s, mit einer umgekehrten Reihenfolge der ungeraden Positionen und mit einem Leerzeichen (die Positionen nach einer endlichen Reihe) als unendlich gezählt. So ist es einfach, Kettenbrüche nach der Größe der Ergebnisse zu sortieren, ohne sie zu bestimmen.

Beispiele zwischen 0 und 1 (einschließlich aller Brüche mit Nenner bis 10) in aufsteigender Reihenfolge:

[0;]                                   = 0[0;10]                                 = 0,1[0; 9;11]                              = 0,11[0; 9]                                 ${Anzeigestil ca.}$ 0,1111[0; 8, 3]                              = 0,12[0; 8]                                 = 0,125[0; 7, 1, 2, 4]                        = 0,13[0; 7, 7]                              = 0,14[0; 7,15, 1,292, 1, ..]                ${Anzeigestil ca.}$ 0,1416 (π-3)[0; 7] ${Anzeigestil ca.}$ 0,1429[0; 6, 1, 2]                           = 0,15[0; 6, 4]                              = 0,16[0; 6]                                 ${Anzeigestil ca.}$ 0,1667[0; 5, 1, 7, 2]                        = 0,17[0; 5, 1, 1, 4]                        = 0,18[0; 5, 3, 1, 4]                        = 0,19[0; 5]                                 = 0,2[0; 4, 2]                              ${Anzeigestil ca.}$ 0,2222[0; 4]                                 = 0,25[0; 3, 2]                              ${Anzeigestil ca.}$ 0,2857[0; 3, 3]                              = 0,3[0; 3]                                 ${Anzeigestil ca.}$ 0,3333[0; 2, 1, 8,  1, 6]                    = 0,345[0; 2, 1, 2]                           = 0,375[0; 2, 2]                              = 0,4[0; 2, 2, 3, 1, 1, 2]                  = 0,41[0; 2, 3]                              ${Anzeigestil ca.}$ 0,4286[0; 2, 3, 14]                          = 0,43[0; 2, 4]                              ${Anzeigestil ca.}$ 0,4444[0; 2]                                 = 0,5[0; 1, 1, 4]                           ${Anzeigestil ca.}$ 0,5556[0; 1, 1, 3]                           ${Anzeigestil ca.}$ 0,5714[0; 1, 1, 2]                           = 0,6[0; 1, 1, 1,  1, 3, 2, 2]              = 0,61[0; 1, 1, 1,  1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5]  = 0,618[0; 1, 1, 1,  1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,.]${Anzeigestil ca.}$ 0,6180 (φ-1)[0; 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2] = 0,62[0; 1, 1, 1, 2] = 0,625[0; 1, 2] ${Anzeigestil ca.}$ 0,6667[0; 1, 2, 3]                           = 0,7[0; 1, 2, 2]                           ${Anzeigestil ca.}$ 0,7143[0; 1, 2, 1,  1, 4,..]                 ${Anzeigestil ca.}$ 0,7183 (e-2)[0; 1, 3] = 0,75[0; 1, 3, 2] ${Anzeigestil ca.}$ 0,7778[0; 1, 4]                              = 0,8[0; 1, 5]                              ${Anzeigestil ca.}$ 0,8333[0; 1, 6]                              ${Anzeigestil ca.}$ 0,8571[0; 1, 7]                              = 0,875[0; 1, 8]                              ${Anzeigestil ca.}$ 0,8889[0; 1, 9]                              = 0,9[1;]                                   = 1

konvergente

Brechen wir einen endlichen Kettenbruch vor dem Ende ab oder brechen Sie einen unendlichen Kettenbruch ab (Abrunden einer oben genannten reellen Zahl auf eine ganze Zahl), so bildet der resultierende Kettenbruch eine Näherung des gesamten Kettenbruchs. Ein solcher endlicher Teil heißt a konvergent; das ${displaystyle n}$-die Konvergenz ist der (stetige) Bruch:

${displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},ldots ,a_{n}]}$.

Eine Konvergenz ist eine rationale Zahl, weil sie ein endlicher Kettenbruch ist.

Die aufeinanderfolgenden Konvergenten bilden eine Folge von Brüchen, die dem Kettenbruch immer näher kommen. Die Konvergenten (mit Ausnahme der letzten falls vorhanden) mit geradem Rang sind kleiner als der Kettenbruch und diejenigen mit ungeradem Rang sind größer. (Anmerkung: Wenn Kettenbrüche, die mit einem Nenner 1 enden, in kanonischer Form umgeschrieben werden und damit eine Stufe kürzer werden, zeigt das Endergebnis nicht, ob der Rang der Konvergenten gerade oder ungerade ist).

Für die goldene Zahl:

${Displaystil Varphi =[1;1,1,1,Punkte]}$,

sind die ersten Konvergenten:

${Anzeigestil [1]=1}$

${Anzeigestil [1;1]=2}$

${displaystyle [1;1,1]={frac {3}{2}}=1{,}5}$

${displaystyle [1;1,1,1]={frac {5}{3}}ungefähr 1{,}67}$

${displaystyle [1;1,1,1,1]={frac {8}{5}}=1{,}6}$

Die fortlaufenden Zähler und Nenner davon sind die Fibonacci-Zahlen.

Ein Konvergent ist ein Bruch, und es ist für ${Anzeigestil n=0,1,2,ldots}$ das ${displaystyle n}$-die Konvergenz der Form:

${displaystyle {frac {p_{n}}{q_{n}}}}$

die mit den wiederkehrenden Relationen berechnet werden können:

${displaystyle p_{n}=a_{n}cdot p_{n-1} p_{n-2}}$

${displaystyle q_{n}=a_{n}cdot q_{n-1} q_{n-2}}$

Nachfolgend die Startwerte:

${displaystyle p_{-2}=0, p_{-1}=1, q_{-2}=1, q_{-1}=0}$.

Beste Näherungen erster und zweiter Art

Aus einem (nicht zu vereinfachenden) Bruch (mit positivem Nenner) als Näherung einer reellen Zahl wird dabei a beste Näherung erster Art aufgerufen, wenn der Absolutwert der Abweichung kleiner ist als jeder andere Bruch mit kleinerem oder gleichem (positivem) Nenner, und a beste Näherung der zweiten Art wenn auch der absolute Wert der Abweichung multipliziert mit dem Nenner kleiner ist als jeder andere Bruch mit kleinerem oder gleichem (positivem) Nenner. Letzteres ist eine stärkere Eigenschaft.

Die Konvergenten einer reellen Zahl, die keine ganzen Zahlen sind, sind die besten Approximationen der zweiten Art, die keine ganzen Zahlen sind.^[1]

Außerhalb der Konvergenten kann es durchaus weitere beste Näherungen erster Art geben. Dies gilt auf jeden Fall, wenn der letzte Nenner des Kettenbruchs einer Konvergenten auf einen Wert reduziert wird, der mehr als die Hälfte des Originals beträgt (dies ergibt beispielsweise 2/3 = [0;1,2] als Näherung für 3/4 = [0;1,3]) und manchmal, wenn es halbiert wird (z. B. 1/2 = [0;2] = [0;1,1] als Näherung für 7/10 = [0;1,2,3]).

Ein Beispiel finden Sie unter Näherungen der Quadratwurzel 2.

Endliche Kettenbrüche

Die schriftliche Notation der kanonischen Form für einen endlichen Kettenbruch hat die Form:

${displaystyle a_{0} {cfrac {1}{a_{1} {cfrac {1}{a_{2} _{ddots {cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}$,

in welchem ${displaystyle a_{n}eq 1}$.

Ein endlicher Kettenbruch ist natürlich a Rationale Zahl, aber umgekehrt kann jede rationale Zahl auch als endlicher Kettenbruch geschrieben werden. Dies kann wie folgt gesehen werden (der Einfachheit halber wählen wir ${displaystyle a_{0}=0}$) und schau dir den Bruch an ${Anzeigestil a/b}$ mit ${Anzeigestil a$ Durch Teilen finden wir:

${displaystyle b=qa r}$

mit ${Anzeigestil r$. Also:

${displaystyle {frac {a}{b}}={frac {1}{frac {b}{a}}}={frac {1}{q {frac {r}{a}}}}}$

Da kommt die Pause ins Spiel ${displaystyle r/a}$ for, wofür wir das gleiche Verfahren wie for . verwenden können ${Anzeigestil a/b.}$ Das ganze Verfahren ist endlich, weil die folgenden Nenner immer kleiner sind als der vorherige. Als Beispiel:

${displaystyle {frac {3}{8}}={frac {1}{ frac {8}{3}}}={cfrac {1}{2 {frac {2}{3}}}}={cfrac { 1}{2 {cfrac {1}{ frac {3}{2}}}}}={cfrac {1}{2 {cfrac {1}{1 {frac {1}{2}}}}}}} }$

Wir können also schreiben: ${displaystyle {frac {3}{8}}=[0;2,1,2]}$

Es gilt:

${displaystyle [a_{0};a_{1}]=a_{0} {frac {1}{a_{1}}}}$

${displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2}]=a_{0} {frac {a_{2}}{a_{1}a_{2} 1}}}$

${displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3}]=a_{0} {frac {a_{2}a_{3} 1}{a_{1}a_{2} a_{3} a_{1} a_{3}}}}$

Unendliche Kettenbrüche

Gegeben sei ein unendlicher Kettenbruch a is irrationale Zahl. Umgekehrt kann jede irrationale Zahl auch als unendlicher Kettenbruch geschrieben werden. Die unendlichen Kettenbrüche lassen sich noch in Periodisch und aperiodisch fortgesetzte Brüche.

Die meisten irrationalen Zahlen haben keine periodische oder anderweitig regelmäßige Entwicklung von Kettenbrüchen. Alexander Khinchin bewiesen jedoch, dass für fast alle reellen Zahlen (alle reellen Zahlen außer einer Menge mit messen null) es geometrisches Mittel des ersten ${displaystyle n}$${Anzeigestil a}$'s aus dem Kettenbruch für ${displaystyle n}$ bis unendlich hat eine bestimmte Grenze, die jetzt als bekannt ist Konstante von Khinchin, ${Displaystil Kungefähr 2{,}6854520010ldots}$ Und Paul Levy zeigte, dass die ${displaystyle n}$-die Wurzeln der Macht aus den Nennern der the ${displaystyle n}$-die Konvergenten fast aller reellen Zahlen konvergieren gegen den gleichen Grenzwert, der also auch der Lévy . ist konstant wird genannt.

Periodische unendliche fortlaufende Brüche

Ein periodischer unendlicher Kettenbruch stellt eine irrationale algebraische Zahl dar, die eine Lösung von a quadratische Gleichung mit ganze Koeffizienten. Umgekehrt kann jede solche Lösung als periodischer unendlicher Kettenbruch dargestellt werden.

Muster in aperiodischen unendlichen Kettenbrüchen

Es ist faszinierend, dass einige aperiodische unendliche Kettenbrüche regelmäßige Muster aufweisen.

So ist die Fraktionsfortschrittsentwicklung für ${displaystyle e}$

${Anzeigestil e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,Punkte]}$

Und für jede natürliche Zahl ${Anzeigestil n>1}$ ist:

${displaystyle exp({ frac {1}{n}})=[1;n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,dots]}$

Die Entwicklung für die goldene Zahl${Anzeigestil Varphi }$ ist wie folgt:

${Anzeigestil Varphi =[1;1,1,1,1,Punkte]}$

Für die Tangente gilt:

${Anzeigestil an(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15,Punkte]}$

Und für jede natürliche Zahl ${Anzeigestil n>1}$:

${displaystyle an({ frac {1}{n}})=[0;n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,dots ]}$.

Und auch:

${displaystyle anh({ frac {1}{n}})=[0;n,3n,5n,7n,9n,11n,13n,17n,19n,Punkte]}$

Gesonderte Erwähnung verdient auch den Kettenbruch:

${Displaystil S=[1;2,3,4,5,6,7,Punkte]}$,

die Vertretung von

${displaystyle S={frac {I_{0}(2)}{I_{1}(2)}}}$,

in welchem ${displaystyle I_{n}}$ die modifizierte Bessel-Funktion ist von erster Art.

Die Zahl pi

Der Beginn des Kettenbruches für ${Anzeigestil pi}$ ist [3]; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...]. Die aufeinanderfolgenden Ansätze sind: 3, 22/7, 333/106, 355/113. Letztere, [3; 7, 15, 1] ​​= 355/113 = 3,14159292035..., hat die ersten sechs Nachkommastellen richtig.

Diese regelmäßige Fortsetzung der Fraktionsentwicklung für ${Anzeigestil pi}$ zeigt kein regelmäßiges Muster. Die beiden folgenden Entwicklungen mit allgemeinen Kettenbrüchen sind dagegen äußerst regelmäßig:

${displaystyle pi ={cfrac {4}{1 {cfrac {1}{3 {cfrac {4}{5 {cfrac {9}{7 {cfrac {16}{9 {cfrac {25}{11 {cfrac {36 }{13 {cfrac {49}{ddots}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

und:

${displaystyle pi =3 {cfrac {1}{6 {cfrac {9}{6 {cfrac {25}{6 {cfrac {49}{6 {cfrac {81}{6 {cfrac {121}{ddots}}} }}}}}}}}}}$

Siehe auch

• Farey-Reihe