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Tangential zu (ein, f(ein))

In dem Mathematik ist ein Lineare Näherung eines Generals Funktion ein lineare Funktion (genauer gesagt, a affine Funktion), die in gewissem Sinne der Position möglichst nahe kommt. Lineare Näherungen sind weit verbreitet in der Finite-Differenzen-Methode um Methoden erster Ordnung zum Lösen oder Annähern von Lösungen von Gleichungen zu erhalten.

Ansätze

Beliebige Funktion ${displaystyle f}$ definiert auf dem Intervall ${Anzeigestil [a,,b]}$ kann in diesem Intervall durch die Funktion linear approximiert werden:

${Anzeigestil y(x)=f(a) {frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)ungefähr f(x)}$

Der Graph dieser Näherung ist eine Gerade durch die Punkte ${Anzeigestil (a,,f(a))}$ und ${Anzeigestil (b,,f(b))}$.

EIN differenzierbar Funktion ${displaystyle f}$ definiert auf dem Intervall um den Punkt ${Anzeigestil a}$ kann an dieser Stelle durch die Funktion linear approximiert werden:

${Anzeigestil y(x)=f(a) f'(a)(x-a)ungefähr f(x)}$

Der Graph dieser Näherung ist der Tangente zum Graphen von ${displaystyle f}$ im punkt ${Anzeigestil (a,,f(a))}$

Zweimal gegeben stufenlos differenzierbar Funktion ${displaystyle f}$ von a Real variabel, behauptet die Taylors Theorem im Falle von ${Anzeigestil n=1}$ Welche

${Anzeigestil f(x)=f(a) f'(a)(x-a) R_{2}}$,

in welchem ${displaystyle R_{2}}$ ist der Rest. Die lineare Näherung erhält man durch Weglassen des Restterms:

${Anzeigestil f(x)ungefähr f(a) f'(a)(x-a)}$

Siehe auch

• Taylor-Reihe
• Potenzreihe

Anwendungen

• Eulers Methode
• Finite-Differenzen-Methode
• Newtons Methode

Verweise

• (und) Strang, Gilbert, Calculus, Wellesley College, 1991, ISBN 0-9614088-2-0, Seite 94