WikiDer > Tangente

Raaklijn

Jede schwarze Linie durch P ist eine Annäherung an die blaue Tangenslinie in P.

Das Tangente oder Tangente zu einer Kurve in einem Punkt dieser Kurve ist in der Geometrie der gerade Linie durch diesen Punkt, der an diesem Punkt die gleiche Richtung wie die Kurve hat. Der Punkt, an dem die Tangente die Kurve berührt, heißt Anlaufstelle (manchmal auch Tangentialpunkt). Die Tangente ist die Annäherung der Kurve am Tangentenpunkt durch eine Gerade. Die Tangente kann die Kurve an einem anderen Punkt als dem Tangentenpunkt schneiden.

Die Tangente L an einem Punkt P der Kurve kann als Endlage der Linie durch P und einem anderen Punkt Q der Kurve, wenn sich der Punkt Q dem Tangentenpunkt P nähert. Dies zeigt auch, dass nicht jeder Punkt einer beliebigen Kurve eine Tangente hat. Die Kurve erfüllt bestimmte Anforderungen von Unterscheidbarkeit einhalten muss.

Sonderfall in zwei Dimensionen

Ganz allgemein ist eine ebene Kurve gegeben durch die Koordinatenfunktionen ${Anzeigestil x(t)}$ und ${Anzeigestil y(t)}$ , wobei der Parameter ${displaystyle t}$ durchläuft einen bestimmten Satz von Werten, normalerweise ein Intervall. Die Tangente an diese Kurve an einem Punkt ${Anzeigestil (x_{0},y_{0})=(x(t_{0}),y(t_{0}))}$ der Kurve geht durch diesen Punkt und hat die gleiche Steigung wie die Kurve. Die Tangentengleichung wird am einfachsten dargestellt durch:

{displaystyle y_{R}(x)-y_{0}=b(x-x_{0})}

An der betreffenden Stelle beträgt die Steigung:

{displaystyle b=left.{frac {mathrm {d} y}{mathrm {d} x}}ight|_{t=t_{0}}={frac {y'(t_{0})}{x' (t_{0})}}}

sofern die Derivate existieren.

Ist die Kurve der Graph der Funktion ${Anzeigestil y(x)}$ , dann wird die Tangente am Punkt ${Anzeigestil (x_{0},y_{0})}$ gegeben von:

{displaystyle y_{R}(x)-y_{0}=b(x-x_{0})=y'(x_{0})(x-x_{0})}

Beispiel 1

EIN Ellipse ist für ${displaystyle tin[0.2pi )}$ gegeben durch die Koordinatenfunktionen

{Anzeigestil x(t)=3sin(t),Quad y(t)=2cos(t)}

Die Tangentengleichung an einem Punkt ${Anzeigestil (x(t_{0}),y(t_{0}))}$ also auf der Ellipse ist:

{displaystyle y_{R}(x)=y(t_{0}) b(xx(t_{0}))=2cos(t_{0}) bleft(x-3,sin(t_{0})ight) }

Darin steht:

{displaystyle b={frac {y'(t_{0})}{x'(t_{0})}}=-{ frac {2}{3}} an(t_{0})}

Beispiel 2

Die Tangente an die Parabel ${Anzeigestil y=x^{2}}$ im punkt ${Anzeigestil (x_{0},y_{0})}$ wird gegeben von:

{displaystyle y-y_{0}=2x_{0}(x-x_{0})}

Zum Beispiel ist die Tangente am Punkt ${Anzeigestil (1,1)}$ die Linie:

{Anzeigestil y=2x-1}

Bild

Tangente (rot) an eine Kurve.
Tangential an einen Kreis.

Allgemeiner Fall in drei Dimensionen

EIN Kurve in drei Dimensionen ist Raumkurve genannt, ganz allgemein dargestellt durch die parametrische Darstellung mit den drei Koordinatenfunktionen ${Anzeigestil x(t),y(t)}$ und ${Anzeigestil z(t)}$ .

Wenn die Raumkurve differenzierbar ist im punkt ${Anzeigestil (x_{0},y_{0},z_{0})=(x(t_{0}),y(t_{0}),z(t_{0}))}$ , kann die Tangente an diesem Punkt durch die Ableitung der Raumkurve an diesem Punkt bestimmt werden: