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Ruimtekromme

EIN Raumkurve ist die dreidimensionale Verallgemeinerung von a flache Kurve. Die einfachste Raumkurve ist a Gerade; ein anderes beispiel ist a Wendel (oder Spirale). Eine Raumkurve kann man sich als Flugbahn vorstellen, der ein sich bewegender Punkt im Raum folgt. In diesem Fall wird die Kurve durch ihre drei Koordinaten als Funktion eines Parameters beschrieben t. Eine andere Möglichkeit, eine Raumkurve zu definieren, ist der Schnittpunkt von zwei Oberflächen in drei Dimensionen.

Raumkurve als Funktion eines Parameters

Eine Raumkurve k kann durch drei Funktionen beschrieben werden, die jeweils eine Raumkoordinate darstellen und die auch die Komponenten der Raumkurve. Sie sind selbst eine Funktion eines Parameters t, die in der Praxis als Zeit angesehen werden kann. Es Domain der Raumkurve ist dann der Schnittpunkt der drei getrennten Domänen ihrer Komponenten.

Vergleich

Die Raumkurve l, dessen Gleichung im Text steht, umschließt die z-Achse.

Die Vektorgleichung einer Kurve k ist:

{displaystyle K:{vec {r}}(t)=f(t){vec {e_{1}}} g(t){vec {e_{2}}} h(t){vec {e_{3 }}}}

,

wo die Vektoren ${displaystyle {{vec {e_{i}}}}}$ die Einheitsvektoren der verwendeten Basis sind und f(t), G(t) und ha(t) die Komponenten der Raumkurve. Wenn die unabhängige Variable t durchquert seinen Bereich verschiebt den durch den obigen Ausdruck gegebenen Punkt in drei Dimensionen.Es ist wichtig zu wissen, dass die Vektorgleichung, die zum Durchqueren der Raumkurve verwendet wird, nicht eindeutig ist. Wenn beispielsweise jeder Wert t wird ersetzt durch 2t die gleiche Raumkurve wird erhalten, aber einfach zweimal schneller durchlaufen. Genauso wie t wird ersetzt durch -t, wird dieselbe Raumkurve auch durchlaufen, jedoch in entgegengesetzter Richtung, als Beispiel zeigt die linke Abbildung die Raumkurve:

{displaystyle L:{vec {q}}(t)={frac {cos(4t)}{1 t^{2}}}{vec {e_{1}}} {frac {sin(4t)}{1 t^{2}}}{vec {e_{2}}} 0{,}2t{vec {e_{3}}}}

für den Parameterbereich t = 0 bis 2π. Die Raumkurve beginnt vor t = 0 am Punkt (1,0,0) auf der x-Achse und umschließt dann die vertikale z-Achse.

Tangenten- und Normalebene

Wenn die drei Komponenten differenzierbar werden in einem Punkt für den Parameterwert erreicht t, die Raumkurve selbst ist an dieser Stelle ebenfalls differenzierbar. Die Ableitung einer Raumkurve ist dann:

{displaystyle {vec {r'}}(t)=f'(t){vec {e_{1}}} g'(t){vec {e_{2}}} h'(t){vec {e_ {3}}}}

.

Die Richtung dieses Vektors ist die Richtung der Tangente T, und der Satz ist dieser, in dem sich der Punkt auf der Raumkurve bewegt, wenn der Parameter t steigt. Die Tangente T in einem Punkt erreicht für den Parameterwert ${displaystyle t_{0}}$ , lässt sich also schreiben als:

{displaystyle T:{vec {p}}(s)={vec {r}}(t_{0}) s,{vec {r'}}(t_{0})}

Hier ist so der Parameter der Tangente selbst, wenn sie wie hier in vektorieller Form angegeben wird. Dies entspricht der Schreibweise:

{displaystyle T:{ egin{matrix}x(s)=f(t_{0}) scdot f'(t_{0})/y(s)=g(t_{0}) scdot g'(t_{0 })/z(s)=h(t_{0}) scdot h'(t_{0})end{array}}}

.

Es normale Ebene in einem Punkt der Raumkurve ist die Ebene durch diesen Punkt, der auch senkrecht zur Tangente steht. Die Richtung der Tangente ist daher der Normalenvektor der Normalenebene. Die Normalebene hat daher die Gleichung:

{displaystyle N:f'(t_{0})cdot (xf(t_{0})) g'(t_{0})cdot (yg(t_{0})) h'(t_{0})cdot ( zh(t_{0}))=0}

.

Basis von Frenet-Serret

Man kann ein Orthonormal verwenden Base mit Ursprung im Bewegungspunkt der Raumkurve definieren. Dies ist das Basis von Frenet-Serret. Dieser besteht aus den drei Einheitsvektoren:

Das Einheitsvektor laut der Tangente.

{displaystyle {vec {T}}(t)={vec {r'}}(t)/||{vec {r'}}(t)||}

.

Dieser Vektor hat die Länge 1, ist entlang der Tangente orientiert, im gleichen Sinne wie der Derivat der Raumkurve. Dies ist der Satz, in dem der durch . bestimmte Punkt t die Kurve wird mit steigendem Parameter t fortgesetzt. Auch dieser Vektor steht senkrecht zur Normalebene.

Das Einheitsvektor laut der Hauptnormal.

{displaystyle {vec {N}}(t)={vec {T'}}(t)/||{vec {T'}}(t)||}

Diese liegt in der durch die erste und zweite Ableitung der Raumkurve definierten Ebene. Es ist in dem Sinne gerichtet, in dem die Kurve gebogen ist, dh auf die Innenseite der Biegung, die die Kurve macht. Dieser Vektor ist auch für eine ebene Kurve definiert und ändert dort seinen Sinn in a Wendepunkt der Kurve.

Der Einheitsvektor nach binnormal

{displaystyle {vec {B}}(t)={vec {T}}(t) imes {vec {N}}(t)}

.

Dies ist ein Vektor, der, vorausgesetzt, er hat die Vektorprodukt ist von T(t) und Nein(t), steht ebenfalls senkrecht zu diesen beiden Vektoren. Die durch den Vektor line bestimmte Linie B(t) ist der binnormal. Für eine flache Kurve ist B(t) immer in die gleiche Richtung orientiert, aber der Satz kann je nach Verlauf der Raumkurve umgekehrt werden: jedes Mal eins Wendepunkt übergeben, der Einheitsvektor gemäß der Hauptnormalen Nein(t) Sätze ändern und folglich auch B(t) tun dies, weil es durch die Vektorprodukt von T(t) und Nein(t).

Jeder dieser drei Vektoren steht senkrecht auf den anderen beiden und hat die Länge 1. Für je zwei Vektoren wird auch eine Ebene bestimmt:

${displaystyle {vec {T}}(t)}$ und ${displaystyle {vec {N}}(t)}$ bestimme es schmiegende Ebene. Es ist senkrecht zum binnormal.
${displaystyle {vec {T}}(t)}$ und ${displaystyle {vec {B}}(t)}$ bestimme es Richtebene. Es ist senkrecht zum Hauptnormal.
${displaystyle {vec {N}}(t)}$ und ${displaystyle {vec {B}}(t)}$ bestimme es normale Ebene. Es ist senkrecht zum Tangente.

Die Vektoren ${displaystyle {vec {T}}(t)}$ , ${displaystyle {vec {N}}(t)}$ und ${displaystyle {vec {B}}(t)}$ heißt Frenets Trieder.

Krümmung und Torsion

(Die Krümmung wird ausführlicher behandelt in Dieser Artikel.)

(Die Torsion wird vertieft in Dieser Artikel.)

Die Krümmung einer Raumkurve ist ein Maß für die Abweichung von einer Geraden. Die Krümmung ist so definiert, dass sie unabhängig von der konkret verwendeten Parametrisierung zum Durchlaufen der Raumkurve ist. Die Krümmung ist null (für eine Linie) oder positiv und wird in ausgedrückt Bogenmaß/Längeneinheit. Bei einem Kreis ist die Krümmung gleich eins geteilt durch den Radius.
Die Torsion einer Raumkurve ist ein Maß für die Abweichung von einer ebenen Kurve. Liegt eine Raumkurve in einer Ebene, ist ihre Torsion null. Wie die Krümmung ist die Torsion unabhängig von der Parametrisierung, die konkret zum Durchlaufen der Raumkurve verwendet wird. Die Torsion ist also null (für eine in einer Ebene liegende Kurve) oder kann positiv oder negativ sein und wird ausgedrückt in Bogenmaß/Längeneinheit.

Beispiel: die Helix oder Helix

Tangenten- und Normalebene an einem Punkt der Helix. Die konkreten Vergleiche sind im Text im Beispiel angegeben.

Das Wendel um die z-Achse hat die Gleichung:

{displaystyle {vec {r}}(t)=a,cos(t),{vec {e_{1}}} a,sin(t){vec {e_{2}}} bt,{vec {e_{ 3}}}}

,

Mit als Derivat:

{displaystyle {vec {r'}}(t)=-a,sin(t),{vec {e_{1}}} a,cos(t),{vec {e_{2}}} b,{vec {e_{3}}}}

,

so findet man an der von einem Parameterwert erreichten Stelle ${displaystyle t_{0}}$ :

Tangente: ${displaystyle R(s):{ egin{cases}x(s)=a,cos(t_{0})-Achse,sin(t_{0})/y(s)=a,sin(t_{0} ) as,cos(t_{0})/z(s)=bt_{0} s,bieg{cases}}}$
Normalebene: ${displaystyle alpha :-a,sin(t_{0}),x a,cos(t_{0}),y b(z-bt_{0})=0}$
Einheitsvektor entlang der Tangente: ${displaystyle {vec {T}}(t_{0})={frac {-a,sin(t_{0})}{sqrt {a^{2} b^{2}}}},{vec {e_ {1}}} {frac {a,cos(t_{0})}{sqrt {a^{2} b^{2}}}},{vec {e_{2}}} {frac {b}{ sqrt {a^{2} b^{2}}}},{vec {e_{3}}}}$
Einheitsvektor nach der Hauptnormalen: ${displaystyle {vec {N}}(t_{0})=-cos(t_{0}),{vec {e_{1}}}-sin(t_{0}),{vec {e_{2}} } 0,{vec {e_{3}}}}$

Diese ist für die verwendete Helix immer horizontal und zeigt vom Punkt auf der Raumkurvenklinke zur z-Achse.

Einheitsvektor nach der Binnormalen: ${displaystyle {vec {B}}(t_{0})={frac {b,sin(t_{0})}{sqrt {a^{2} b^{2}}}},{vec {e_{ 1}}} {frac {-b,cos(t_{0})}{sqrt {a^{2} b^{2}}}},{vec {e_{2}}} {frac {a}{ sqrt {a^{2} b^{2}}}},{vec {e_{3}}}}$
Krümmung: ${displaystyle kappa ={frac {a}{a^{2} b^{2}}}}$
Drehung: ${displaystyle au={frac {b}{a^{2} b^{2}}}}$

Für die Helix werden sowohl die Krümmung als auch die Torsion als konstant gefunden. Für eine beliebige Raumkurve werden sie im Allgemeinen beide vom Parameter t sein.

Als Schnittpunkt zweier Flächen

Eine Raumkurve kann auch als Schnittpunkt zweier Flächen angegeben werden, die jeweils durch a . beschrieben werden implizite Funktion von zwei (unabhängigen) Variablen.

Vergleich

Die Gleichung der Raumkurve hat also die Form

{displaystyle K:{ egin{cases}F(x,y,z)=0/G(x,y,z)=0end{cases}}}

Tangenten- und Normalebene

Die Tangente an eine Raumkurve, die als Schnittpunkt zweier Flächen definiert ist, verläuft senkrecht zu jedem der beiden Normalenvektoren der Tangentialebenen an diese beiden Flächen. Die Richtung der Tangente ist somit parallel zum Vektorprodukt der beiden Normalenvektoren.

Ein Punkt am Schnittpunkt der beiden Flächen definiert a auf jeder dieser Flächen Schnittstelle. Die Tangentiallinie ist dann selbst der Schnittpunkt dieser beiden Tangentialebenen. Die Richtung der Tangente ist also senkrecht zu beiden Normalenvektoren, und ist somit selbst parallel zu Vektorprodukt der beiden Normalenvektoren. Das normaler Vektor zu einer Schnittstelle hat als Komponenten die drei partielle Ableitungen der Oberfläche an dieser Stelle. Die Richtung der Tangente ist daher:

{displaystyle {vec {S}}=(F'_{x},F'_{y},F'_{z}) imes (G'_{x},G'_{y},G'_ {z})}

Dieser Vektor ist auch der normaler Vektor der Normalebene an einem Punkt auf der Raumkurve.

Beispiel

Tangente und Normalebene in einem Punkt einer Raumkurve, der als Schnittpunkt zweier Flächen bestimmt wird. Die konkreten Vergleiche sind im Text im Beispiel angegeben.

Die als Schnittpunkt zwischen den Flächen ermittelte Raumkurve