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Das Finite-Elemente-Methode (e.e.m.) ist ein Rechenmethode wodurch partielle Differentialgleichungen und Integralgleichungen angenähert werden kann. Wichtige Anwendungen hierfür finden sich in den Ingenieurwissenschaften, wo diese Methode beispielsweise zur Berechnung der Festigkeitseigenschaften komplexer Strukturen verwendet wird. Die Methode wurde entwickelt, weil analytische Berechnungsmethoden zu wenig Möglichkeiten bieten oder zu komplexe Berechnungen erfordern. Die Methode findet ihre Anwendung in Festigkeitsberechnungen, aber auch bei Elektromagnetismus, Wärmetheorie, Strömungsmechanik und viele andere Disziplinen.

Mathematisch lässt sich zeigen, dass beim Reduzieren der Elemente die mit dem e.e.m. erreicht ist, nähert sich der analytisch richtigen Lösung (Konvergenz). Eine falsche Modellierung kann jedoch zu Fehlern führen, die schwerwiegende Folgen haben können.

Anwendungen

Beispiel für eine Finite-Elemente-Berechnung. Ein thermomechanisches Problem: Ein Metallblock wird hauptsächlich in der Mitte über kleine Kühlkanäle erhitzt und gekühlt.
1 „Erstellen“ (Programmieren) eines Modells,
2 Das Berechnungsprogramm zerlegt das Modell in kleine Elemente.
3 Nach Anlegen von Wärmelast und Kühlung berechnet das Programm die Temperaturverteilung in °C) und
4 mechanische Belastungen in MPa)
5 Die Verzerrung erscheint übertrieben.

Die Methode wird hauptsächlich in der Maschinenbau, findet aber auch Anwendung in der Luftfahrtindustrie, der Raumfahrt, das Versand, das Tiefbau und in der Krafttheorie im Allgemeinen. Die Finite-Elemente-Methode ermöglicht beispielsweise die Optimierung des Gewichts einer Struktur, was einen großen Einfluss auf die Kosten oder die Größe der Struktur haben kann.

Es gibt viele Arten von Berechnungen:

• linear statisch Festigkeitsberechnungen (die am häufigsten verwendete Berechnungsart)
• Nichtlineare Berechnungen, die auch das plastische Verhalten einbeziehen
• Eigenfrequenzbestimmung
• thermische Berechnung
• Knickberechnung
• Schock (zeitabhängige Berechnung)
• elektrostatische und dynamische Berechnungen
• Kombinationen der oben genannten (Multiphysik)

So funktioniert die Methode

Bei der Finite-Elemente-Methode teilt der Bearbeiter eine Konstruktion in eine (endliche) Anzahl von Elementen auf und verknüpft diese Elemente durch Knoten miteinander. An diese Kupplungen werden je nach Elementart verschiedene Anforderungen gestellt (Bedingungen) angegeben. In jedem Fall müssen sich die Knoten der Elemente gleichzeitig bewegen, sonst würde ein Loch in der Struktur entstehen. Die Bestimmung der Knoten und Links entspricht der einen Zeitplan festlegen.

Diese Methode ermöglicht es, das Verhalten einer komplexen Struktur durch a Matrixgleichung.

Im Fall von a linear statische Berechnung ist die Matrixgleichung:

${displaystyle [K]{u}={F}}$

In Ergänzung, ${Anzeigestil [K]}$ die Steifigkeitsmatrix für das Gesamtsystem, ${displaystyle {u}}$ die Verschiebungen der Knoten in die einzelnen Richtungen und ${displaystyle {F}}$ das Steuern (Kräfte / Momente) an den Knoten in alle Richtungen.

Das Ziel ist der Verschiebungsvektor ${displaystyle {u}}$ zu bestimmen, und daraus Spannungen und strecken, woraus dann die Festigkeit der Struktur unter Last ${displaystyle {F}}$ folgt.

Für eine genaue Berechnung müssen die Elemente ausreichend klein gewählt werden. Dadurch werden die Berechnungsmodelle im Allgemeinen groß.

Elementtypen

Die bei diesen Methoden verwendeten Elemente sind je nach Anzahl der Dimensionen (D):

• (1D) Stabelemente
• (2D) Flächenelemente (dreieckig oder mit vier Eckpunkten)
• (3D) Volumenelemente (Tetraeder oder Würfel)

Jedem Element werden die Steifigkeitseigenschaften anhand der gezeichneten Geometrie, der (nicht gezeichneten) geometrischen Parameter wie Blechdicke, Querschnitt und des verwendeten Materials zugewiesen. Bei einer dynamischen Berechnung ist es auch erforderlich, Masseneigenschaften oder sogar die Dämpfung zuzuordnen, bei erzwungene Vibration. Bei einer thermischen Berechnung müssen natürlich die thermischen Eigenschaften zugeordnet werden.

Generell bieten 2D-Elemente (2D-Modelle) aufgrund der kurzen Rechenzeit große Vorteile. Geometrie, Randbedingungen und Lasten müssen dann aber zweidimensional sein. Das Problem kann sein prismatisch wenn axialsymmetrisch sein.

Weiterhin wird zwischen sogenannten H-Elementen und P-Elementen unterschieden:

• H-Elemente haben eine feste Verschiebungsfunktionseinstellung (zB Polynom 1., 2., 3. Ordnung), die vom Benutzer eingestellt wird. Eine höhere Rechengenauigkeit wird durch die Generierung feinerer Netze, d. h. kleinerer Elemente, erreicht.
• Die P-Methode hat ein variables Polynom und hat komplexere Elementformen. Eine höhere Genauigkeit wird erreicht, indem der Grad des Polynoms erhöht wird.

Die H-Methode wird am häufigsten aus historischen Gründen verwendet. Die P-Methode ist benutzerfreundlicher, aber in der Vergangenheit hatten die Leute noch nicht die Rechenleistung, um diese Methode zum Standard zu machen.

Geschichte

Die Methodik entstand um 1940, noch bevor Computers existierte. Seit der Gründung des PC hat die Finite-Elemente-Methode (auf Englisch: "Finite-Elemente-Methode"(FEM) / oder "Finite-Elemente-Analyse"). war daher NASTRAN (NAsa STRuctural ANalysis).Auch der Link zu einem 3D Computer Aided Design (CAD)-Paket bietet große Vorteile: Die aufwendige Geometriekonstruktion entfällt, wodurch sich schnell der Einfluss von Konstruktionsänderungen auf die Ergebnisse (Spannungen / Resonanzfrequenzen / Temperaturen / Bewegungen / Ablenkung) bestimmt werden. Dies wird als isogeometrische Analyse bezeichnet.

Probleme

Insbesondere eine korrekte Ermittlung der auf das Bauwerk oder das Bauteil wirkenden Belastung ist für die Zuverlässigkeit einer Berechnung entscheidend. Es werden jedoch Näherungen gemacht, zum Beispiel mit Annahmen über das Maximum:

• Windkraft auf einem hohen Gebäude
• Stärke eines Erdbebens
• Belastung einer Brücke durch Personen, Zug oder andere schwere Fahrzeuge
• Kräfte auf einen Flugzeugflügel unter Bedingungen wie Gewitter.

Auch die Nachbereitung (Nachbearbeitung) ist von entscheidender Bedeutung. Dies ist der Prozess, bei dem der Benutzer die Berechnung der Finite-Elemente-Methode auf einige entscheidende Punkte überprüft. Beispielsweise müssen die gefundenen Reaktionskräfte gleich der gesamten aufgebrachten Last sein. Auch manuelle Überprüfungen der berechneten Spannungen an einigen Stellen gehören zur Standardkontrolle. Es ist auch zu prüfen, ob Unvollkommenheiten in der Software/Elementen die Berechnung beeinflusst haben. Die Elementverteilung kann z.B. zu grob sein, um einen guten Hinweis auf Spannungskonzentrationen zu erhalten.

Beispiel

Im folgenden Beispiel wurden die Normalkräfte in einem Tragwerk ermittelt. Die Elemente bestehen aus linearen Teilen in a HandwerkskunstKonstruktion, wie sie bei Kränen verwendet wird.

Software

Für die Berechnungen ist eine spezielle Software erforderlich. Es gibt viele kommerzielle und auch einige Open-Source-Pakete.