WikiDer > Transzendente Zahl

EIN reelle Zahl, oder allgemeiner a komplexe Zahl, ${displaystyle t}$ wird genannt transzendent wenn ${displaystyle t}$ nicht das Null Punkte gehört zu a Polynom von endlich Grad${displaystyle ngeq 1}$ mit ganze Zahl oder allgemeiner rational Koeffizienten${displaystyle a_{k}}$. Für alle solche Polynome gilt also:

${displaystyle a_{n}t^{n} ldots a_{2}t^{2} a_{1}t a_{0}eq 0}$

Eine Zahl, die die Nullstelle eines Polynoms ist, heißt a algebraische Zahl. Eine transzendente Zahl ist eine Zahl, die nicht algebraisch ist.

Jede transzendente Zahl ist irrational, weil eine rationale Zahl eine Lösung einer linearen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten ist, also algebraisch.

Eine transzendente Zahl kann auf der Zahlenreihe oder im komplexe Ebene nicht von a Konstruktion mit Zirkel und Lineal Sind angegeben.

Es gibt unzählbar viele transzendente Zahlen und aber zählbar viele algebraische Zahlen. Dies gilt auch für ein Intervall. Daraus folgt, dass a stochastische Variable mit kontinuierliche GleichverteilungFast sicher ist transzendent.

Eine transzendente Zahl ist, wie bereits erwähnt, eine irrationale Zahl, aber nicht jede irrationale Zahl ist transzendent. Beispielsweise ${displaystyle {sqrt {2}}}$ ist irrational und algebraisch.

Geschichte

• 1844 bewies Joseph Liouville dass es transzendente Zahlen gibt.
• 1873 bewies Charles Hermite Welche e ist transzendent.
• 1882 bewies Ferdinand von Lindemann Welche π ist transzendent.
• 1929 bewies Alexander Gelfond mit seinem Satz von Gelfond-Schneider, dass die Konstante von Gelfond${displaystyle e^{pi }}$ ist transzendent.

Beispiele

Zahlen, von denen bekannt ist, dass sie transzendent sind:

• ${displaystyle e^{a}}$ wenn ${Anzeigestil a}$ algebraisch und ungleich Null ist, durch die Lindemann-Weierstrass-Theorem und besonders, ${displaystyle e}$ selbst,
• ${Anzeigestil pi}$, nach dem Satz von Lindemann-Weierstrass,
• ${displaystyle e^{pi }}$, das Konstante von Gelfond, ebenso gut wie ${displaystyle e^{-pi /2}}$, nach dem Satz von Gelfond-Schneider,
• ${Anzeigestil a^{b}}$ in welchem ${Anzeigestil a}$ algebraisch, aber nicht gleich 0 oder 1, und ${displaystyle b}$ ist nach dem Satz von Gelfond-Schneider irrational algebraisch; bestimmtes:
  • ${Displaystil 2^{sqrt {2}}}$, die Gelfond-Schneider-Konstante, auch die Hilbert-Zahl.

Offene Punkte

Es ist noch nicht bekannt, ob einige reelle Zahlen transzendent oder algebraisch sind, wie z Euler-Mascheronia-Konstante.