WikiDer > Karotte 5

Irrationale Zahlen: (3)√2√3 √5 φeπ
√5 in verschiedenen Zahlensystemen ausgedrückt
Binär	10,0011 1100 0110 1111…
Dezimal	2,23606 79774 99789 69…
Hexadezimal	2,3C6E F372 FE94 F82C…
wenn Kettenbruch	${displaystyle 2 {cfrac {1}{4 {cfrac {1}{4 {cfrac {1}{4 {cfrac {1}{4 ddots }}}}}}}}}$

Karotte 5 ist der positivreelle Zahl das multipliziert mit sich selbst die Zahl 5 ergibt. Es hat einen Wert von etwa 2,23607 und wird als bezeichnet Hauptwert von Wurzel 5, um Verwechslungen mit der negativen Zahl (ungefähr -2.23607) zu vermeiden, die ebenfalls 5 zum Quadrat ergibt. Wurzel 5 wird als √5 bezeichnet und kommt im Ausdruck für die Goldener Schnitt. Wie √3 die Länge der Körperdiagonale von a Würfel im Raum nach dem Satz des Pythagoras, √5 ist die Länge der Körperdiagonale von a Hyperwürfel im fünfdimensionalen Raum. Nach der Definition von Kräfte mit einer gebrochenen Potenz (Exponent) √5 ist gleich ${displaystyle 5^{frac {1}{2}}}$.

√5 kann nicht als Bruch von ganzen Zahlen geschrieben werden und ist daher a irrationale Zahl.^[1] Die ersten 60 signifikanten Stellen der Dezimalanzeige sind

2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089 ^[2]

Das Runden auf 2,236 ist zu 99,99% genau. Eine gute Näherung von √5 ist 161/72 ≈ 2,23611, mit einer Abweichung zum genauen Wert von weniger als 1/10.000, ca. 4,3 x 10⁻⁵, trotz der kleinen Nenner von nur 72. Im Dezember 2013 war √5 mit mindestens zehn Milliarden Nachkommastellen berechnet worden.^[3]

Beweisen Sie, dass √5 irrational ist (kann nicht als Bruch geschrieben werden)

1. Mit FermatenBeweis durch unendliche Abstammung

Angenommen √5 ist rational, d.h.

${displaystyle {sqrt {5}}={frac {m}{n}}}$

Dann kann √5 auch geschrieben werden als

${displaystyle {sqrt {5}}={frac {5n-2m}{m-2n}}}$,

weil^[4]

${Anzeigestil m(m-2n)-n(5n-2m)=m^{2}-2mn-5n^{2} 2mn=0}$

Zähler und Nenner des zweiten Bruchs sind positiv, weil 2 < √5 < 5/2 und ${displaystyle m/n={sqrt {5}}}$. Und aus √5 < 3 folgt ${Anzeigestil m/n<3}$ und somit ${Anzeigestil m<3n}$, woraus folgt ${Anzeigestil m-2n$.

Der Nenner des zweiten Bruches ist daher kleiner als der Nenner des ersten Bruches (1), was eine unendlich abnehmende Folge natürlicher Zahlen ergeben würde.

2. Auch dieser Beweis ist absurd

Annehmen ${displaystyle {sqrt {5}}={frac {m}{n}}}$, mit ${displaystyle m}$ und ${displaystyle n}$ relativ prim, also kein gemeinsamer Faktor. Quadrieren von Erträgen:

${displaystyle 5n^{2}=m^{2}}$

So ist ${displaystyle m}$ ein Vielfaches von 5: ${Anzeigestil m=5p}$. Aber dann

${Displaystil n^{2}=5p^{2}}$,

so ist es auch ${displaystyle n}$ ein fünffaches ${Anzeigestil n=5q}$. Dies widerspricht dem vermeintlichen.

Fortsetzung Fraktur

√5 kann geschrieben werden als Kettenbruch

${displaystyle [2;4,4,4,4,4,ldots ]=2 {cfrac {1}{4 {cfrac {1}{4 {cfrac {1}{4 {cfrac {1}{4 ddots }} }}}}}}.}$^[5]

Das konvergente und Semikonvergenten dieses Kettenbruchs sind (die schwarzen Terme sind die Semikonvergenten):

${displaystyle {color {red}{frac {2}{1}}},{frac {7}{3}},{color {red}{frac {9}{4}}},{frac {20}{ 9}},{frac {29}{13}},{color {red}{frac {38}{17}}},{frac {123}{55}},{color {red}{frac {161} {72}}},{frac {360}{161}},{frac {521}{233}},{color {red}{frac {682}{305}}},{frac {2207}{987} },{Farbe {rot}{frac {2889}{1292}}},Punkte}$

konvergent sein rot; ihre Zähler sind 2, 9, 38, 161, ...^[6] und ihre Nenner sind 1, 4, 17, 72, ...^[7]

Sie sind alle beste rationale Ansätze von √5, dh die Approximation von √5 ist besser als bei einem Bruch mit kleinerem Nenner.

Babylonische Methode

Wenn √5 mit berechnet wird Babylonische Methode (Wiederholung), beginnen mit r₀ = 2 und mit r_{n 1} = 1/2 (r_nein 5/r_nein) für n = 0, 1, 2, 3, .., dann ist neindie Vorgehensweise r_nein gleich dem ${Displaystil 2^{n}}$-die Konvergenz einer konvergierenden Folge:

${displaystyle {frac {2}{1}}=2{,}0;vierer {frac {9}{4}}=2{,}25;vierer {frac {161}{72}}=2{,} 23611ldots ;vierer {frac {51841}{23184}}=2{,}2360679779ldots}$

Verschachtelte Quadrate

Diese verschachtelten Quadrate konvergieren zu ${displaystyle {sqrt {5}}}$:

${displaystyle { egin{aligned}{sqrt {5}}&=3-10left({frac {1}{5}} left({frac {1}{5}} left({frac {1}{5}} left({frac {1}{5}} ldots ight)^{2}ight)^{2}ight)^{2}ight)^{2}/&={frac {9}{4}}-4left ({frac {1}{16}}-left({frac {1}{16}}-left({frac {1}{16}}-left({frac {1}{16}}-ldots ight) ^{2}ight)^{2}ight)^{2}ight)^{2}/&={frac {9}{4}}-5left({frac {1}{20}} left({frac {1}{20}} left({frac {1}{20}} left({frac {1}{20}} ldots ight)^{2}ight)^{2}ight)^{2}ight) ^{2}Ende{ausgerichtet}}}$

Beziehung zum Goldenen Schnitt und der Fibonacci-Folge

Die Diagonale mit der Länge √5/2 eines Halbquadrats ist die Grundlage für die geometrische Konstruktion von a goldenes Rechteck.

Das Goldener Schnitt ist es arithmetisches Mittel ab 1 und ${displaystyle {sqrt {5}}}$.^[8] Es algebraisch Beziehung zwischen √5, dem Goldenen Schnitt und seinem Konjugierten (= –1/φ = 1) ist:

${displaystyle { egin{aligned}{sqrt {5}}&=varphi -Phi =2varphi -1=1-2Phi /[5pt]varphi &={frac {1 {sqrt {5}}}{2}}/[ 5pt]Phi &={frac {1-{sqrt {5}}}{2}}.end{aligned}}}$

(Siehe unten für die geometrische Bedeutung in einem Rechteck mit Seite ${displaystyle {sqrt {5}}}$.)

${displaystyle {sqrt {5}}}$ kommt natürlich im expliziten Ausdruck für die Zahlen im . vor Fibonaccia-Reihe:

${displaystyle F(n)={frac {varphi^{n}-(1-varphi)^{n}}{sqrt {5}}}.}$

Es Quotient von ${displaystyle {sqrt {5}}}$ und φ (oder das Produkt von ${displaystyle {sqrt {5}}}$ und Φ) und sind reziprok (1/Φ), ergibt ein interessantes Kettenbruch und bezieht sich auf das Verhältnis zwischen Zahlen im Fibonaccia-Reihe und in der Reihe von Lucas:^[9]

${displaystyle { egin{aligned}{frac {sqrt {5}}{varphi }}=Phi cdot {sqrt {5}}={frac {5-{sqrt {5}}}{2}}&=1,3819660112501051518dots /{frac {varphi }{sqrt {5}}}={frac {1}{Phi cdot {sqrt {5}}}}={frac {5 {sqrt {5}}}{10}}&=0, 72360679774997896964ldots /&=[0;1,2,1,1,1,1,1,1,ldots].end{ausgerichtet}}}$

Das Serie von konvergente zu diesen Werten hat die Reihe der Fibonacci-Folge und der Luke-Folge as Zähler und Nenner und umgekehrt:

${displaystyle { egin{aligned}&{1,{frac {3}{2}},{frac {4}{3}},{frac {7}{5}},{frac {11}{8}} ,{frac {18}{13}},{frac {29}{21}},{frac {47}{34}},{frac {76}{55}},{frac {123}{89}} },ldots ldots [1;2,1,1,1,1,1,1,1,ldots ]/[8pt]&{1,{frac {2}{3}},{frac {3}{4 }},{frac {5}{7}},{frac {8}{11}},{frac {13}{18}},{frac {21}{29}},{frac {34}{47 }},{frac {55}{76}},{frac {89}{123}}},Punkte Punkte [0;1,2,1,1,1,1,1,1,Punkte].end{ ausgerichtet}}}$

Geometrie

Zersetzung von a Conway-Dreieck in kleineren Dreiecken (Homothese).

Wurzelkonstruktion mit einem Kompass nach Jay Hambidge (Dynamische Symmetrie: die griechische Vase, 1920).

geometrisch ist √5 die Länge des Diagonale von a Rechteck mit Seiten auf Länge 1 und 2 wegen der Satz des Pythagoras. Ein solches Rechteck kann erstellt werden durch Quadrat Hälften oder indem man zwei gleiche Quadrate nebeneinander legt. Mit der Beziehung zwischen √5 und dem goldene Zahlφ = (1 √5) / 2 = 1,618 ...das ist der Ausgangspunkt für die geometrische Konstruktion von a goldenes Rechteck aus einem Quadrat und zum Bau von a regelmäßiges Fünfeck (weil das Verhältnis einer Seite zur Diagonale eines Fünfecks gleich ist φ). √5 ist auch die Länge der Diagonalen eines Würfels mit Seitenlänge 1.

Ein Rechteck mit den Seitenverhältnissen 1:√5 können wir a Quadratwurzel 5 Rechteck zu erwähnen. Es passt in eine Reihe von Rechtecken mit Wurzeln, a Teilmenge der dynamischen Rechtecke des Künstlers Jay Hambidge, basierend auf √1 (= 1), √2, √3, √4 (= 2), √5… und erstellt, indem nacheinander die Diagonale des vorherigen Rechtecks ​​verwendet wird, beginnend mit einem Quadrat.^[10] Ein Rechteck mit Quadratwurzel 5 ist etwas Besonderes, da es in ein Quadrat und zwei goldene Rechtecke (mit den Abmessungen Φ × 1) in welchem Φ = 1/φ = φ - 1 = 0,618... oder in unterschiedlich großen goldenen Rechtecken (mit Maßen Φ × 1 und 1 × φ).^[11]

Ein solches Rechteck mit den Seitenverhältnissen 1:√5 kann man auch als Vereinigung zweier gleicher goldener Rechtecke (mit den Maßen 1 × φ) dessen Querschnitt ein Quadrat ist. Dies kann als geometrische Erklärung der algebraischen Beziehung zwischen √5, φ und Φ. Das Rechteck mit der Wurzel fünf kann aus einem 1:2-Rechteck oder direkt aus einem Quadrat aufgebaut werden, genau wie beim Goldenen Rechteck (siehe Abbildung), aber dann durch Verlängerung der Bogenlänge √5/2 nach beiden Seiten.

Trigonometrie

Mögen √2 und √3 √5 kommt oft vor in trigonometrisch Ausdrücke, zum Beispiel in der Sinus- und Kosinuswerte für alle Winkel in Grad, die durch 3, aber nicht durch 15 teilbar sind.^[12] Die einfachsten sind

${displaystyle { egin{aligned}sin {frac {pi }{10}}=sin 18^{circ }&={ frac {1}{4}}({sqrt {5}}-1)={frac {1 }{{sqrt {5}} 1}},/[5pt]sin {frac {pi }{5}}=sin 36^{circ }&={ frac {1}{4}}{sqrt {2(5 -{sqrt {5}})}},/[5pt]sin {frac {3pi }{10}}=sin 54^{circ }&={frac {1}{4}}({sqrt {5}} 1)={frac {1}{{sqrt {5}}-1}},/[5pt]sin {frac {2pi }{5}}=sin 72^{circ }&={ frac {1}{4 }}{Quadrat {2(5 {Quadrat {5}})}},.end{ausgerichtet}}}$

Vor der Ära des Taschenrechners war diese Art der Berechnung nützlich, um trigonometrische Tabellen zu erstellen. Aber sie sind immer noch nützlich, um trigonometrische Probleme genau zu lösen. Da √5 mit Rechtecken in Halbquadraten zu tun hat (Seiten der Länge 1 und 2, also mit Pythagoras Hypotenuse √5) und regelmäßige Fünfecke, 5 taucht in Formeln für daraus abgeleitete geometrische Figuren auf, z. B. für das Volumen von a Dodekaeder (normales Dodekaeder).

Diophantine Ansätze

Das Satz von Hurwitz in dem Zahlentheorie Über Diophantine Ansätze behauptet, dass jeder irrationale ZahlX mit unendlich vielen Rationale Zahlen${Anzeigestil m/n}$ kann angenähert werden (unter Verwendung des Bruchs, der nicht weiter vereinfacht werden kann), so dass

${displaystyle left|x-{frac {m}{n}}ight|<{frac {1}{{sqrt {5}},n^{2}}}}$

und dass √5 die engste Schätzung gibt, in dem Sinne, dass für jede größere Konstante als √5 ein Paar irrationaler Zahlen existiert X sind, für die es nur endlich viele Näherungen gibt ^[13]

Mit dem Satz von Hurwitz verwandt ist ein weiterer Satz ^[14] das für drei aufeinanderfolgende konvergente von a Kettenbruch${displaystyle p_{i}/q_{i}}$, ${displaystyle p_{i 1}/q_{i 1}}$, ${displaystyle p_{i 2}/q_{i 2}}$, von einer Zahl α, gilt mindestens eine der folgenden drei Ungleichungen:

${displaystyle left|alpha -{p_{i} over q_{i}}ight|<{1 over {sqrt {5}}q_{i}^{2}},qquad left|alpha -{p_{i 1} über q_{i 1}}ight|<{1 über {sqrt {5}}q_{i 1}^{2}},qquad left|alpha -{p_{i 2} über q_{i 2}}ight| <{1 über {sqrt {5}}q_{i 2}^{2}}}$

√5 im Nenner ist die schärfste mögliche Grenze für die Konvergenten der Goldener Schnitt. Eine schärfere Schätzung scheint nicht möglich zu sein, wenn man sich die vierten oder spätere Konvergenten ansieht.^[14]

Algebra

Das Ringz[√5] enthält Zahlen der Form a b √-5, mit ein und bganze Zahlen und √-5 die imaginäre Zahl i√5. Dieser Ring wird oft als Beispiel für a . genannt Integritätsdomäne das nein einzigartige Faktorisierungsdomäne ist. Die Zahl 6 kann innerhalb dieses Rings auf zwei Arten in Faktoren aufgeteilt werden:

${Anzeigestil 6=2cdot 3=(1-{Quadrat {-5}})(1 {Quadrat {-5}}).,}$

Es Körperq[√-5] ist wie jeder andere quadratisches Feld ein Abelianische Erweiterung der rationalen Zahlen (die Brüche). Das Kronecker und Weber.theorem garantiert, dass Wurzel 5 als Begründung geschrieben werden kann lineare Kombination von Wurzeln der Einheit:

${displaystyle {sqrt {5}}=e^{{frac {2pi }{5}}i}-e^{{frac {4pi }{5}}i}-e^{{frac {6pi }{5} }i} e^{{frac {8pi }{5}}i}.,}$

Ähnlichkeiten von Ramanujan

Wurzel 5 kommt in mehreren Gleichungen mit Kettenbrüchen vor, die Srinivasa Ramanujan entdeckt.^[15][16]

Zum Beispiel dieser Fall des Rogers-Ramanujan Kettenbruchs:

${displaystyle {cfrac {1}{1 {cfrac {e^{-2pi}}{1 {cfrac {e^{-4pi}}{1 {cfrac {e^{-6pi}}{1 ddots}}}} }}}}=links({sqrt {frac {5 {sqrt {5}}}{2}}}-{frac {{sqrt {5}} 1}{2}}ight)e^{frac {2pi } {5}}=e^{frac {2pi }{5}}left({sqrt {varphi {sqrt {5}}}}-varphi ight).}$

${displaystyle {cfrac {1}{1 {cfrac {e^{-2pi {sqrt {5}}}}{1 {cfrac {e^{-4pi {sqrt {5}}}}}{1 {cfrac {e^ {-6pi {sqrt {5}}}}{1 ddots }}}}}}}}=left({{sqrt {5}} über 1 {sqrt[{5}]{5^{frac {3}{ 4}}(varphi -1)^{frac {5}{2}}-1}}}-varphi ight)e^{frac {2pi }{sqrt {5}}}.}$

${displaystyle 4int _{0}^{infty }{frac {xe^{-x{sqrt {5}}}}{cosh x}},dx={cfrac {1}{1 {cfrac {1^{2} }{1 {cfrac {1^{2}}{1 {cfrac {2^{2}}{1 {cfrac {2^{2}}{1 {cfrac {3^{2}}{1 {cfrac { 3^{2}}{1 Punkt }}}}}}}}}}}}}}.}$