WikiDer > Karotte 3

Ein Würfel mit einer roten Körperdiagonale der Länge 3.

Irrationale Zahlen: (3)√2 √3 √5φeπ
√3 in verschiedenen Zahlensystemen ausgedrückt
Binär	1,1011 1011 0110 0111 1010…
Dezimal	1,73205 08075 68877 2935…
Hexadezimal	1,BB67 AE85 84CA A73B …
wenn Kettenbruch	${displaystyle 1 {cfrac {1}{1 {cfrac {1}{2 {cfrac {1}{1 {cfrac {1}{2 {cfrac {1}{1 ddots }}}}}}}}}}}$

Karotte 3 ist der positivreelle Zahl das multipliziert mit sich selbst die Zahl 3 ergibt. Es hat einen Wert von etwa 1,73205 und wird als . bezeichnet Hauptwert von Wurzel 3, um Verwechslungen mit der negativen Zahl (ungefähr -1.73205) zu vermeiden, die im Quadrat auch 3 ergibt. Wurzel 3 wird als 3 notiert. Wie √2 die länge ist von der Diagonale von a Quadrat in dem zweidimensional flache Ebene, √3 ist die Länge der Körperdiagonale von a Würfel im Raum nach dem Satz des Pythagoras.

√3 kann nicht als Bruch von ganzen Zahlen geschrieben werden und ist daher a irrationale Zahl. Es ist auch als bekannt Theodors Konstante, benannt nach Theodor von Kyrene, was bewies, dass √3 irrational ist. Nach der Definition von gebrochen Kräfte ist √3 gleich ${displaystyle 3^{frac {1}{2}}}$.

Dezimalanzeige

Die ersten 60 Stellen der dezimalen Darstellung von √3 sind:

1,73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 5580….^[1]

Bis Dezember 2013 wurde der Wert der Quadratwurzel 3 auf mindestens zehn Milliarden Stellen berechnet.^[2]

Ansätze

Brüche

• Wurzel 3 kann durch den Bruch 97/56 (1.732142857…) angenähert werden. Trotz der kleinen Nenner von nur 56, weicht diese Näherung um weniger als 1/10.000 ab (ca. 9,2×10⁻⁵) vom richtigen Wert. Die Rundung auf 1,732 ist auf 0,01% des tatsächlichen Wertes genau.
• Archimedes 3 zwischen den Quadraten zweier Brüche eingeklemmt^[3]
  

(265/153)² < 3 < (1351/780)²

und fand mit diesen Brüchen zwei Näherungen mit einer Genauigkeit von 2/23409 (vier Dezimalstellen) bzw. 1/608400 (sechs Dezimalstellen).

Verschachtelter Ausdruck

Die folgenden verschachtelten Ausdrücke konvergieren zu √3:

${displaystyle {sqrt {3}}=2-2left({ frac {1}{2}}-left({ frac {1}{2}}-left({ frac {1}{2}}-left({ frac {1}{2}}-ldots ight)^{2}ight)^{2}ight)^{2}ight)^{2}=}$

${displaystyle ={frac {7}{4}}-4left({frac {1}{16}} left({frac {1}{16}} left({frac {1}{16}} left({frac {1}{16}} Punkte ight)^{2}ight)^{2}ight)^{2}ight)^{2}}$

Zum Beispiel für den ersten Ausdruck:

${displaystyle 2-2,({ frac {1}{2}}-A)^{2}=x}$,

mit ${Anzeigestil A}$ rekursiv bestimmt durch:

${displaystyle A=({ frac {1}{2}}-A)^{2}}$

So

${displaystyle A={ frac {1}{4}}-A A^{2}}$,

woraus folgt

${displaystyle { frac {3}{4}}=1-2A A^{2}=(1-A)^{2}}$

und somit

${displaystyle A=1-{ frac {1}{2}}{sqrt {3}}}$,

damit in der Tat

${displaystyle x=2-{ frac {1}{2}},({sqrt {3}}-1)^{2}={sqrt {3}}}$

√3 ist irrational

EIN Beweis durch Widerspruch kann analog zu √2 angegeben werden.

Angenommen √3 a Rationale Zahl ist und ist:

${displaystyle {sqrt {3}}={frac {a}{b}}}$,

wo der Bruch so ist vereinfacht ist das ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$relativ prim sind (haben keine gemeinsamen Faktoren).

Dann folgt

${displaystyle b,{sqrt {3}}=a}$

und nach links und rechts Quadrat

${displaystyle 3b^{2}=a^{2}}$

Es folgt dem ${Displaystil a^{2}}$ ist ein Tripel, also auch das ok ${Anzeigestil a}$ selbst ist ein Tripel, sagen wir ${Anzeigestil a=3k}$.

Dies folgt wiederum:

${Displaystil 3b^{2}=(3k)^{2}=9k^{2}}$,

So

${displaystyle b^{2}=3k^{2}}$.

Anscheinend ${displaystyle b^{2}}$ ein Dreifach, und damit ${displaystyle b}$ selbst. Aber das widerspricht der Tatsache, dass ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ relativ prim sein. Die Annahme, dass 3 eine rationale Zahl ist, ist daher falsch und beweist damit, dass √3 eine irrationale Zahl ist.

Siehe auch

• Karotte 2