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Bestimmung des Inhalts eines unregelmäßigen Objekts durch Wasserverdrängung

Das Inhalt wenn es Volumen eines Objekts (Körper) ist die Größe der von diesem Objekt eingenommenen Fläche im dreidimensional Platz. Als Basis in drei Dimensionen ist der Inhalt von a rechteckiger Block entspricht Länge × Breite × Höhe. Das Volumen eines Objekts wird nun durch die Anzahl der Einheiten mit Länge, Breite und Höhe je 1 cm bestimmt, also Volumen 1 cm³, die in das Objekt passen.

Das Volumen eines Objekts wird bestimmt ${Anzeigestil V}$ indem der Raum in Volumen unterteilt wird ${Anzeigestil Delta V}$ von 1 Einheit, und die Einheiten verwendet in ${Anzeigestil V}$ zählen. Denn nicht jede Einheit ist genau oder nicht in ${Anzeigestil V}$ dies ergibt eine Annäherung:

${Displaystil I(V)ungefähre Summe _{i}Delta V_{i}}$

Indem die Einheiten immer kleiner werden, wird diese Näherung genauer. Dieser Begrenzungsprozess führt zu einem räumlichen Integral, das in der folgenden Formel angegeben ist.

Das SIInhaltseinheit ist die Kubikmeter, m³.

Formel

Der Inhalt eines beliebigen Objekts kann berechnet werden aus ${displaystyle iiint _{V}mathrm {d} v}$, wobei das Integral über die Raumfläche läuft runs ${Anzeigestil V}$ vom Objekt besetzt.

Beispiel

Die Lautstärke ${Anzeigestil I}$ des Zylinder mit Höhe ${displaystyle h}$ und strahl ${displaystyle r}$ von der Grundebene, mit der z-Achse als Zylinderachse und auf der xy-Ebene stehend, berechnen wir wie folgt:

${displaystyle I=int _{x=-r}^{r}int _{y=-{sqrt {r^{2}-x^{2}}}}^{sqrt {r^{2}-x ^{2}}}int _{z=0}^{h}mathrm {d} zmathrm {d} ymathrm {d} x=2hint _{-r}^{r}{sqrt {r^{2}- x^{2}}}mathrm {d} x=pi r^{2}h}$

Verallgemeinerung

Das Maßtheorie bietet eine allgemeine Definition für den Inhaltsbegriff mit a messen, insbesondere die Lebesgue-Größe auf ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$. Es ${displaystyle n}$-dimensionales Volumen von a ${displaystyle n}$-dimensional Block ist das Produkt von ${displaystyle n}$ Maße; daraus folgt ${displaystyle n}$-dimensionales Volumen von a ${displaystyle n}$-dimensionalen Körper, indem man ihn in Blöcke teilt und die Volumina addiert und dann die Grenze nimmt, bei der die Größe der Blöcke gegen Null geht.

Beispiele

Der Inhalt einiger Standardobjekte:

• Würfel mit Rippe${displaystyle r}$: ${Anzeigestil I=r^{3}}$
• Strahl mit Länge ${Anzeigestil L}$, Breite ${Anzeigestil B}$ und Höhe ${Anzeigestil H}$: ${displaystyle I=Limes B imes H}$
• Zylinder mit Strahl${displaystyle r}$ und Länge${Anzeigestil L}$: ${displaystyle I=pi Lr^{2}}$
• Kegel mit Höhe${displaystyle h}$ und Strahl${displaystyle r}$ der kreisförmigen Basis: ${displaystyle I={ frac {1}{3}}pi h^{2}}$
• Pyramide mit Höhe ${displaystyle h}$ und Fläche der Basis ${Anzeigestil G}$: ${displaystyle I={ frac {1}{3}}h imes G}$
• Kugel mit Strahl${displaystyle r}$: ${displaystyle I={ frac {4}{3}}pi r^{3}}$
• Ellipsoid mit scheinen${displaystyle r_{1},,r_{2}}$ und ${displaystyle r_{3}}$: ${displaystyle I={ frac {4}{3}}pi r_{1}r_{2}r_{3}}$

Volumen und Inhalt

Bei einem hohlen Gegenstand bezieht sich der Inhalt normalerweise auf das Volumen im Inneren. Dies ist das Gesamtvolumen abzüglich des Volumens des Objekts selbst (Seiten, obere und untere Wände). Dies gilt insbesondere dann, wenn man etwas hineinlegen kann oder wenn sich etwas darin befindet, das man zum Gebrauch herausnehmen kann, zum Beispiel eine Tasse, ein Glas, eine Flasche, ein Fass oder eine Schachtel.

Um zu verdeutlichen, was gemeint ist, kann man zum Beispiel vom „Volumen innerhalb der Flasche“, „dem Volumen des Körpers ohne Luft“ oder „dem Gesamtvolumen des Körpers“ sprechen.

Siehe auch

• Innengröße
• Außengröße
• nein-dimensionales Volumen

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