WikiDer > Satz von Abel-Ruffin

Das Satz von Abel-Ruffini sagt, dass es keine allgemeine Methode gibt, um die Nullen von a Polynom${displaystyle f}$ des Grad fünf oder höher, mit Koeffizienten Das ganze oder Rationale Zahlen sind, ob mit Hilfe von Wurzelformen zu entscheiden. Das Vergleich${Anzeigestil f(x)=0}$ ist nicht lösen nur durch die Grundoperationen und Wurzelformen. Die Nullstellen des Polynoms ${displaystyle f}$ kann nicht in den Koeffizienten von ausgedrückt werden ${displaystyle f}$.

Die Aussage ist zu Paolo Ruffinic und Niels Henrik Abel erwähnt.

Geschichte

Paolo Ruffinic, Teoria generale delle equazioni, 1799

Ruffinis Abhandlung Teoria generale delle equazioni (Allgemeine Gleichungstheorie) von 1799 enthielt einen Beweis dafür, dass die allgemeine Gleichung fünften Grades ist in Radikalen (Wurzelformen) nicht löslich, d.h. kein Allgemeines es gibt eine Formel, die die Wurzeln in Form der Koeffizienten ausdrückt und nur Basisoperationen verwendet und nein- der Wurzelzug. Sein Beweis wurde mit Skepsis aufgenommen, weil seine Erklärung unklar war (eine wichtige Lücke wurde später entdeckt) und er wurde von der mathematischen Gemeinschaft nie endgültig akzeptiert.^[1]

Abel veröffentlicht 1826 18^[2] ein anderer Beweis in der ersten Ausgabe von Zeitschrift für die reine und angewandte Mathematik. Es gibt Hinweise darauf, dass Abel ähnliche Ergebnisse für Gleichungen höherer (Primär-)Grade hatte und Ergebnisse, die sich auf die Wurzeln von Gleichungen beziehen, die durch Radikale gelöst werden können.^[1]

Veröffentlicht im Jahr 1845 Wantzel ein vereinfachter Beweis.

Beweis mit Galois-Theorie

Seit 1885 gibt es einen Beweis für diesen Satz mitem Galois-Theorie.

Der Beweis verläuft in drei Hauptschritten, die wir hier für ein bestimmtes Polynom skizzieren, wie zum Beispiel ${Anzeigestil x^{5}-10x5.}$^[3]

• Wenn ein Polynom mit rationalen Koeffizienten in Quadratwurzeln über die komplexen Zahlen lösbar ist, dann gilt Galois-Gruppe von dem Spaltkörper von) das Polynom a lösliche Gruppe.
• Die Gruppe des gegebenen Polynoms ist isomorph zu ${Displaystil S_{5},}$ die Permutationsgruppe der fünf Elemente (symmetrische Gruppe).
• ${displaystyle S_{5}}$ ist keine lösliche Gruppe (da normales sub${Displaystil A_{5},}$ das alternierende Gruppe auf fünf Elementen ist a Einzelgruppe).

Niedrigere Grade

Vor dem Quadrat, dritte- und quadratische Gleichungen Es gibt Methoden, um die Lösungen in den Koeffizienten auszudrücken, die nur elementare arithmetische Operationen und Quadratwurzeln verwenden. Bekannt ist die abc-Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung. Das Analoge Cardanos Formel für dritte und die Formel von Lodovico Ferrari für quadratische Gleichungen waren bereits im 16. Jahrhundert bekannt.

Lösungen

Die Aussage sagt nicht dass die oben erwähnten quintischen Gleichungen keine Lösung haben: nur diese Lösungen haben nicht die spezielle Form eines Ausdrucks in Wurzelformen. Laut der Fundamentalsatz der Algebra die Nullstellen der beabsichtigten Polynome liegen alle im komplexe Ebene. Außerdem hat ein Polynom ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten mindestens eine reelle Nullstelle. Obwohl diese Lösungen mit elementaren algebraischen Ausdrücken nicht exakt angegeben werden können, können sie bis zu einem beliebigen Grad von . angegeben werden Richtigkeit durch numerische Methoden, wie Newton-Raphson-Methode oder die Methode von Laguerre angefahren werden.

Wenn wir die reelle Zahl nehmen ${Anzeigestil a}$ die einzige reelle Nullstelle des Polynoms ${Anzeigestil x^{5} x-a}$ mit Namen angeben ultraradikal von ${Anzeigestil a,}$ dann ist die allgemeine quintische Gleichung (und damit auch jede spezifische quintische Gleichung) durch gewöhnliche algebraische Operationen, Quadratwurzeln und Ultraradikale lösbar.

Quellen

• Dieser Artikel oder eine frühere Version ist eine (Teil-)Übersetzung des Artikels Satz von Abel-Ruffini auf der englischsprachigen Wikipedia, die unter der Creative Commons Namensnennung/Weitergabe unter gleichen Bedingungen Stürze. Siehe die Verlauf bearbeiten Dort.

Verweise