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Profiniete groep
In dem Gruppentheorie, eine Unterregion der Mathematik, ist ein profane Gruppe ein topologische Gruppe die gewissermaßen aus samengesteld . besteht endliche Gruppen. Profinite Gruppen haben viele Eigenschaften gemeinsam mit ihren endlichen Quotienten.
Definition
Formal ist eine profane Gruppe a Hausdorff, kompakt, und total zusammenhängendtopologische Gruppe: also eine topologische Gruppe, die auch a . ist Steinraum ist. Äquivalent kann man eine profane Gruppe als topologische Gruppe definieren, die isomorph ist mit dem inverse Grenze von a inverses System von diskretendliche Gruppen. Im kategorisch Ausdrücke dies ist ein Spezialfall von a (mit)gefilterte Grenze Konstruktion.
Beispiele
- Endliche Gruppen sind Gewinn, wenn es a . gibt diskrete Topologie gegeben ist.
- Die Gruppe von p-adische Zahlenzp unter Addition ist profin (eigentlich prozyklisch). Es ist der inverse Grenzwert der endlichen Gruppen z/pneinz, wahr nein variiert über alle natürlichen Zahlen und die natürlichen Bilder z/pneinz → z/pichz (nein≥ich) werden für das Limitverfahren verwendet. Die Topologie auf dieser profiniten Gruppe ist die gleiche wie die Topologie, die sich aus der p-adischen Bewertung auf . ergibt zp.
- Das Galois-Theorie von Körperverlängerungen von unendlich Grad führt natürlich zu profanen Galois-Gruppen. Besonders wenn l/k ein Galois-Erweiterung ist, betrachten wir die Gruppe G = Gal(l/k), die aus allen Körperautomorphismen von . besteht l welche alle Elemente von k halten. Diese Gruppe ist der inverse Grenzwert der endlichen Gruppen Gal(f/k), wahr f variiert über alle Zwischenbereiche so, dass f/k ein endlich Galois-Erweiterung. Für den Begrenzungsprozess verwenden wir die Begrenzung Homomorphismen Gal(f1/k) → Gal(f2/k), wahr f2 ⊆ f1. Die Topologie erhalten wir auf Gal(l/k) ist bekannt als der Krull-Topologie, benannt nach Wolfgang Krull. Waterhouse hat das gezeigt jeder Leistungsgruppe isomorph zu einer Gruppe, die sich aus der Galois-Theorie eines beliebigen Körpers ergibt k, aber man kann (noch) nicht überprüfen, welche Leiche k wird in diesem Fall sein. Tatsächlich kennt man viele Körper k generell nicht welche endliche Gruppen als Galois Gruppen über k Performance. Das ist es inverses Galois-Problem für einen Körper k. (Für einige Körper k löste das inverse Galois-Problem, wie den Körper der rationalen Funktionen in einer Variablen über dem komplexe Zahlen.)
- Betrachtet aus der Sicht der algebraische Geometrie sein grundlegende Gruppen auch Leistungsgruppen, grob gesagt, weil Algebra nur endliche Überdeckungen von a . abdeckt algebraische Vielfalt kann sehen'. Das grundlegende Gruppen von dem algebraische Topologie sind jedoch im Allgemeinen keine gemeinnützigen Gruppen.