WikiDer > Dedekind-Ring

In dem kommutative Algebra verallgemeinert das Konzept Dedekind-Ring bestimmte Eigenschaften der ganze Elemente von a algebraisches Zahlenfeld. In Dedekind-Ringen, in abstrakter Form auf der Ebene von Ideale, die eindeutige Zerlegung in Primfaktoren. Ein Dedekind-Ring ohne Nullteiler ist a Dedekind-Domain.

Formale Definition

EIN Dedekind-Ring ist ein Kommutativer Ring mit Einheitselement Das noethers und ganz geschlossen ist, und von denen jeder Primideal was von (0) verschieden ist, ist ein maximales Ideal.

Beispiele und Gegenbeispiele

Körper haben keine anderen Primideale als (0) und erfüllen somit die Definition. Einige Autoren schließen jedoch Körper explizit aus.

Der Ring der ganzen Zahlen, und zwar jede einzelne Hauptidealbereich, ist ein Dedekind-Ring.

Der Ring ganzzahliger Elemente eines Zahlenkörpers (eine endliche Körpererweiterung des Körpers von Rationale Zahlen) ist immer ein Dedekind-Ring, aber nicht immer ein Hauptidealbereich. Diese Art von Ringen war das ursprüngliche Motiv, Dedekind-Ringe als abstraktes Konzept zu untersuchen (siehe unten).

Der Ring der reellen Polynome in zwei Variablen X und Ja ist Noethers und ganzheitlich geschlossen, bildet aber keinen Dedekind-Ring. Das Primideal (X) ist eine strikte Teilmenge des maximalen Ideals (X,Y) und kann daher selbst nicht maximal sein.

Geschichte

In seinem Studium der Der letzte Satz von Fermat bemerkte Ernst Kummer bemerkte zum ersten Mal, dass der ganzzahlige Ring einiger Zahlenkörper kein idealer Hauptring war, so dass man sich der eindeutigen Zerlegung in Primfaktoren nicht mehr sicher sein konnte (siehe: einzigartige Faktorisierungsdomäne). So bewerben Sie sich im Ring ${displaystyle mathbb {Z} [{sqrt {-5}}]}$ die folgenden zwei verschiedenen Faktoren der Zahl 6:

${Anzeigestil (1 {Quadrat {-5}}) (1-{Quadrat {-5}}) = 2,3}$

Kummer und Richard Dedekind führte den Begriff des Ideals ein, und Dedekind untersuchte die Ringe, die später nach ihm benannt wurden. In Dedekind-Ringen gilt nicht unbedingt die eindeutige Zerlegung von Elementen in irreduzible Elemente, wohl aber die eindeutige Zerlegung eines Ideals in Primidealen.

Abmessungen

Das Abmessungen von einem Ring ist es höchste der Längen streng ansteigender Ketten von Primidealen. Ein Dedekind-Ring hat per Definition die Dimension 0 (Körper) oder 1.