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Das Diagramm von a Funktion (schwarze Linie) und a Tangente auf dieser Funktion (rote Linie). Die Steigung der Tangente am markierten Punkt ist gleich Derivat dieser Funktion.

Teil einer Artikelserie über Mathematik
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In dem Analyse, eine Unterregion der Mathematik, hält Differentialrechnung studiert wie Funktionen ändern, wenn ihre Argumente unendlich kleine (unendlich klein) Veränderungen auftreten. Auf Englisch ist diese Studie bekannt als Infinitesimalrechnung.

Der Hauptgegenstand des Studiums in der Differentialrechnung ist die Derivat. Ein eng verwandtes Konzept ist das Differential. Die Ableitung einer Funktion bei einem gegebenen Eingabewert beschreibt das Verhalten dieser Funktion nahe diesem Eingabewert. Für ein reellwertige Funktion einer einzelnen reellen Variablen ist die Ableitung an einem Punkt gleich Steigung des Tangente zum Graph der Funktion an diesem Punkt. Im Allgemeinen bestimmt die Ableitung einer Funktion an einem Punkt die beste Lineare Näherung für die Funktion an dieser Stelle.

Das Finden einer Ableitung heißt derivative Unterscheidung erwähnt. Das Fundamentalsatz der Integralrechnung besagt, dass die Differenzierung der umgekehrte Prozess von ist Integration.

Die Differenzierung findet in fast allen quantitativen Disziplinen Anwendung. In dem Physik ist die Ableitung von Verschiebung eines bewegten Körpers in Bezug auf die Zeit das Geschwindigkeit dieses Körpers und die Ableitung der Geschwindigkeit nach Zeit ist die Beschleunigung. Das zweite Newtonsche Gesetz besagt, dass die Ableitung von Impuls eines Körpers ist gleich dem Leistung, die auf diesen Körper ausgeübt wird. Das Reaktionsgeschwindigkeit von a chemische Reaktion ist ein Derivat. In dem operatives recherchieren Derivate bestimmen die effizientesten Wege für den Materialtransport und die Gestaltung von Fabriken. Durch die Anwendung von Spieltheorie Die beste Strategie für konkurrierende Unternehmen kann man mit Hilfe der Differentialrechnung berechnen.

Derivate werden oft verwendet, um maximal und minimal um eine Funktion zu finden. Gleichungen, die Ableitungen enthalten, sind Differentialgleichung erwähnt. Differentialgleichungen sind grundlegend für die Beschreibung von in Naturphänomen. Ableitungen und ihre Verallgemeinerungen kommen in vielen Bereichen der Mathematik vor, wie z komplexe Analyse, das Funktionsanalyse, das Differentialgeometrie, das Maßtheorie und der abstrakte Algebra.

Geschichte der Differentialrechnung

sehen Geschichte der Analysis (Mathematik) für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Das Konzept von a Derivat im Sinne von a Tangente ist eine sehr alte Idee, mit der auch AltgriechischGeometer wenn Euklid (ca. 300 v. Chr.), Archimedes (ca. 287-212 v. Chr.) und Apollonius von Perga (ca. 262-190 v. Chr.) waren bereits bekannt.^[1]Archimedes führte auch die Verwendung von unendlich klein, obwohl diese hauptsächlich in der Studie von Oberflächen und Bände und nicht im Studium der Ableitungen und Tangenten.

Die Verwendung von infinitesimalen Zahlen zur Untersuchung der Änderungsrate wurde bereits um 500 n. Chr. gefunden. zurück in Indische Mathematik, wenn der Astronom und Mathematiker aryabhata (476-550) verwendet Infinitesimals in seinem Studium der Umlaufbahn des Mondes.^[2] Die Verwendung von infinitesimalen Zahlen zur Berechnung der Änderungsrate war hauptsächlich auf Bhāskara II (1114-1185) entwickelt; es wird tatsächlich argumentiert^[3] dass viele der Schlüsselkonzepte der Differentialrechnung, wie z.Satz von Rollefindet man in seinem Werk.^[4]

Das persischer MathematikerSharaf al-Din al-Tusic (1135-1213) war der erste, der die Derivat von a kubisches Polynom entdeckt, ein wichtiger Meilenstein in der Differentialrechnung;^[5] in seinem Abhandlung über Gleichungen (Diskurs über Gleichungen) entwickelte er Konzepte zur Differentialrechnung, wie die Ableitung Funktion und maximal und minimal von Kurven, das zu kubische Gleichungen, die keine positiven Lösungen hatte.^[6] Eine frühe Version des Mittelwertsatz wurde in seinem Kommentar zu Bhāskara II . erwähnt^[7] zuerst beschrieben von Parameshvara (1370-1460), ein Mitglied der Kerala School of Astronomy and Mathematics.

Die moderne Entwicklung der Analytik wird üblicherweise auf Isaac Newton (1643-1727) und Gottfried Leibniz (1646–1716), unabhängig von Newton^[8] einen einheitlichen Ansatz für Differenzierung und Derivate.

Die entscheidende Erkenntnis, die Leibniz diese Anerkennung verlieh, war die sogenannte Fundamentalsatz der Integralrechnung, Das Unterscheidung und Integration verbindet: Dieser Hauptsatz machte die meisten der vorhergehenden Methoden zur Berechnung von Flächen und Volumina im laufenden Betrieb überflüssig.^[9] Diese Methoden werden seit der Zeit von Ibn al-Haytham (Alhazen)^[10] im Wesentlichen unverändert. Sowohl Newton als auch Leibniz bauten für ihre Ideen zu Ableitungen auf wichtige frühere Arbeiten von Mathematikern wie Isaac Barrow (1630-1677), René Descartes (1596-1650), Christian Huygens (1629-1695), Blaise Pascal (1623–1662) und John Wallis (1616/03). Insbesondere wird Isaac Barrow oft die frühe Entwicklung des „Derivat“-Konzepts zugeschrieben.^[11] Dennoch bleiben Newton und Leibniz Schlüsselfiguren in der Geschichte der Differentialrechnung, nicht zuletzt, weil Newton als erster die Differentialrechnung auf die theoretische Physikwährend Leibniz systematisch einen Großteil der mathematischen Notation für die Differentialrechnung entwickelt hat, die noch heute verwendet wird.

Seit dem 17. Jahrhundert haben viele Mathematiker zur Theorie der Differentialrechnung beigetragen. Im 19. Jahrhundert wurde die Analyse von Mathematikern wie . auf eine festere Basis gestellt Augustin Louis Cauchy (1789-1857), Bernhard Riemann (1826-1866), und Karl Weierstraße (1815-1897). In diese Zeit fällt auch die Differenzialrechnung zum euklidischer Raum und der komplexe Ebene wurde erweitert.

Einfache Erklärung

Das Prinzip der Differentialrechnung lässt sich am einfachsten anhand eines Beispiels erklären:

Die Geschwindigkeit einer Bewegung ist die in einer bestimmten Zeit zurückgelegte Strecke geteilt durch diese Zeit: Wer in einer Stunde hundert Kilometer zurücklegt, legt 100 Kilometer pro Stunde zurück... zumindest im Durchschnitt. Aber woher wissen wir die Geschwindigkeit, wenn sie variiert? Um die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt herauszufinden, ist es notwendig, die zurückgelegte Strecke in sehr kurzer Zeit zu bestimmen. Dies ergibt einen Bruch mit einem sehr kleinen Nenner und einem sehr kleinen Zähler, wobei das Verhältnis (der Quotient) normalerweise nicht sehr klein ist. Wer 28/100 000 Meter in 0,001 Sekunden zurücklegt, fährt immer noch mit 100 km/h.

Dann ist in der Differentialrechnung a Grenzübergang angewendet, indem das Zeitintervall gegen Null gebracht wird. In einem Experiment kann das Zeitintervall nicht beliebig klein gewählt werden, dem sind technische Grenzen gesetzt. Wenn jedoch die zurückgelegte Strecke als Mathematiker Funktion der Zeit geschrieben ist, dann ist das möglich: die Derivat gibt den Differentialquotienten, in diesem Fall aus Zeit und Entfernung, an und kann eindeutig bestimmt werden.

Grafik

Grafisch kann der Differentialquotient als Steigung einer Kurve an einem bestimmten Punkt dargestellt werden. Geometrisch kann diese Neigung als die Neigung einer Tangente dargestellt werden – und eine Tangente ist eine Linie, die phantasievoll konstruiert werden kann, indem eine Linie durch zwei Punkte auf dieser Kurve gezogen wird und der Abstand zwischen diesen beiden Punkten gegen Null geht.

Anwendungen

Die Bedeutung der Differentialrechnung liegt vor allem darin, dass physikalische Phänomene, bei denen physikalische Größen in gegenseitiger Abhängigkeit, also fast überall, ständig variieren, beschrieben werden können durch Differentialgleichung. Eine elementare Anwendung ist die Bestimmung, wo eine mathematische Funktion Extremwerte erreicht, da dort die Tangente horizontal verläuft und der Differentialquotient somit Null ist. Aus einer Funktion mit mehr als einer unabhängige Variable kann auch Sattelpunkte bestimmt sind.

Differentialoperatoren

Vor dem Skalar und vektoriell Funktionen wurden alle Arten von Differentialoperatoren entwickelt: das del or nabla die auf a Skalar angewendet, a Gradient und auf einen Vektor angewendet ergibt a Drehung oder ein Abweichungen könnte sein. Diese Art von fortgeschrittenen Differentialoperatoren spielen eine große Rolle bei der Mechanik, Elektromagnetismus und Strömungsmechanik. Darüber hinaus gibt es die Laplace-Operator, das Hessisch und der Jacobi.

Infinitesim-Konto

Integrales Konto und Differentialrechnung werden zusammenfassend beschrieben als infinitesimalrechnung, Teil der "höheren Mathematik".

Fußnoten