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In dem Gruppentheorie, eine Unterregion der Mathematik, ist ein Gruppe vom LügentypG(k) a (nicht unbedingt endlich) Gruppe der rationalen Punkte eines reduktiven lineare algebraische GruppeG mit Werten in der Feldk. Endliche Gruppen vom Lie-Typ machen den Großteil der nicht-abelschen aus endlicheinzelne Gruppen. Sonderfälle sind die klassische Gruppen, das Chevalley-Gruppen, das Steinberg-Gruppen und der Suzuki-Ree-Gruppen

Klassische Gruppen

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Ein erster Ansatz zu dieser Frage war die Definition und detaillierte Untersuchung der sog klassische Gruppen über endlich und anderes Felder. Aus der Zeit von L. E. Dickson zum Buch von Jean Dieudonnen in diesem Bereich wurde viel geforscht. Emil Artin untersucht zum Beispiel die Auftrag solcher Gruppen, um Zufälle zu klassifizieren.

Eine klassische Gruppe ist grob gesagt a spezielle Linear-, senkrecht-, symplektisch- oder einheitliche Gruppe. Dabei gibt es mehrere kleinere Variationen. Diese sind gegeben durch Ableitung Untergruppen von Quotient aus durch die Center. Sie können über endlichen Körpern (oder jedem anderen Körper) in ähnlicher Weise konstruiert werden, wie sie über reelle Zahlen konstruiert werden. Sie entsprechen der Serieein_nein, B_nein, C_nein, d_nein,²ein_nein, ²d_nein von Chevalley- und Steinberg-Gruppen.

Chevalley-Gruppen

Die Theorie wurde Mitte der 1950er Jahre durch die Theorie der algebraische Gruppen und die Arbeit von Claude Chevalley auf Lie-Algebren. Als Ergebnis ist das Konzept von a Chevalley-Gruppe isoliert. Chevalley konstruiert a Chevalley-Basis (eine Art Integralform) für alle Komplexeinfache Lügenalgebra's (oder eher ihrer) universelle Hüllalgebra's), die verwendet werden können, um die entsprechenden assoziierten algebraischen Gruppen über den ganzen Zahlen zu definieren. Insbesondere konnte er seine Punkte mit Werten in jedem endlichen Feld einfahren. Für die Lie-Algebren ein_nein, B_nein, C_nein, d_nein gab dieser bekannten klassischen Gruppen, aber ihre Konstruktion ergab auch Gruppen, die mit den außergewöhnlichen Lie-Algebren verbunden sindE₆, E₇, E₈, f₄,und G₂. (Einige dieser Gruppen wurden zuvor von Dickson konstruiert.)

Steinberg-Gruppen

Chevalleys Konstruktion umfasste nicht alle bekannten klassischen Gruppen: Es ließ die unitären Gruppen und die nicht-dissoziierten Gruppen orthogonale Gruppen Weg. Steinberg fand eine Änderung in der Konstruktion von Chevalleys Konstruktion, die diesen fehlenden Gruppen plus einige neue Gruppen von Gruppen gab. Diese Konstruktion verallgemeinerte die übliche Konstruktion des einheitliche Gruppe von dem allgemeine lineare Gruppe.

Die unitäre Gruppe entsteht wie folgt: die allgemeine lineare Gruppe über den komplexe Zahlen hat ein Diagrammautomorphismus die durch Umkehrung der gegeben ist Dynkin-Diagramm${Displaystil A_{n}}$ invertieren (was dem transponierten Inversen entspricht) und a Feldautomorphismus, die durch die gegeben wird komplex konjugiert zu nehmen, die pendeln. Die unitäre Gruppe ist die Gruppe der Fixpunkte des Produkts dieser beiden Automorphismen.

In ähnlicher Weise haben viele Chevalley-Gruppen Diagramm-Automorphismen, die durch Automorphismen ihrer Dynkin-Diagramme, und durch Automorphismen von a . induzierte Feldautomorphismen endliches Feld. Analog zum unitären Fall konstruierte Steinberg Gruppen von Gruppen durch Fixpunkte eines Produkts eines Diagramms und eines Körperautomorphismus.

Diese Geschenke:

• Das einheitliche Gruppen²ein_nein der Ordnung 2 Automorphismus von ein_nein;
• Des Weiteren orthogonale Gruppen²d_nein der Ordnung 2 Automorphismus von d_nein;
• Die neue Serie ²E₆, der Ordnung 2 Automorphismus von E₆;
• Die neue Serie ³d₄, der Ordnung 3 Automorphismus von d₄.

Typengruppen ³d₄ habe kein analog zu dem reale Nummern, da die komplexen Zahlen keinen Automorphismus der Ordnung 3 besitzen. Die Symmetrien der ${displaystyle D_{4}}$ Diagramm ergeben auch Trialität.