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Raakruimte

Der Tangensvektor auf

{Anzeigestil M}

im

{Anzeigestil xin M}

sowie Geschwindigkeitsvektor einer Kurve

{Displaystil-Gamma }

durch

{Anzeigestil x}

sowie Tangentialraum zum Punkt

{Anzeigestil x}

definiert

In dem Differentialgeometrie und der differentielle Topologie ist der Berührungsraum in einem Punkt eines gekrümmten Raums a Vektorraum was das klassische Konzept Tangente auf intrinsisch (d. h. unabhängig von Parametrierung und Einbettung) zu höher Maße verallgemeinert.

Klassische Bauweise

Sie ${Anzeigestil S}$ eine glatte Oberfläche, eingebettet in einen dreidimensionalen euklidischen Raum ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ . In jedem Punkt ${Display-Stil-Pin S}$ es gibt ein einzigartiges Schnittstelle deren Punkte eine zweidimensionale reelle haben Vektorraum bilden mit ${displaystyle p}$ als Ursprung.

Allgemeiner gesagt, sie ${Anzeigestil M}$ ein ${displaystyle m}$ -dimensional glatt Vielfalt, eingebettet in die ${displaystyle n}$ -dimensionaler euklidischer Raum ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ ( ${Anzeigestil n>m}$ ). Durch jeden Punkt ${Displaystil-Pin M}$ wird ein einzigartiges ${displaystyle m}$ -dimensional Hyperebene ${Anzeigestil H}$ von ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ mit der Eigenschaft, dass für ein gegebenes lokales Koordinatensystem (Karte) rund ${displaystyle p}$ , das Derivate der Koordinatenkurven in ${displaystyle p}$ parallel laufen zu ${Anzeigestil H}$ . Die Lage der ${Anzeigestil H}$ ist unabhängig vom gewählten Koordinatensystem, aber natürlich abhängig von ${displaystyle p}$ .

Eine Anmerkung ${Displaystil H=T_{p}M}$ und nennt es Tangentialraum (auch: Tangentialraum) von ${Anzeigestil M}$ im ${displaystyle p}$ . Die Ableitungen der Koordinatenkurven bilden a Base vor dem ${displaystyle T_{p}M}$ .

Intrinsische Definition

Schon seit Bernhard Riemann bevorzugen Geometer? Objekte die in ihrer Existenz nicht von den Auserwählten abhängen Koordinaten und Einbettung in einer höheren Dimension euklidischer Raum.

Der Tangentialraum jeder glatten Mannigfaltigkeit ${Anzeigestil M}$ in einem Punkt ${displaystyle p}$ ist wie folgt definiert Äquivalenzrelation auf der Menge aller durchlaufenden glatten Kurven ${displaystyle p}$ gehen:

{Anzeigestil f,g:[-varepsilon, varepsilon] oder M, f(0)=g(0)=p}

{displaystyle fsim gLeftrightarrow f'(0)=g'(0)Linksrightarrow forall i=1,ldots ,m:f'_{i}(0)=g'_{i}(0)}

Zwei Kurven sind äquivalent, wenn ihre Ableitungen in einem beliebigen Koordinatensystem in . sind ${displaystyle p}$ gleich sein. Es wird gezeigt, dass diese Eigenschaft unabhängig von den gewählten Koordinaten ist.

Das resultierende Partition bildet einen reellen Vektorraum durch Koordinatenaddition und Skalarmultiplikation in hinreichend kleinem Umfeld von ${displaystyle p}$ , und wir nennen sie den Tangentialraum in ${displaystyle p}$ . Sie ${Anzeigestil K}$ eine Karte um einen Punkt ${Displaystil-Pin M}$ . Die zu den Koordinatenkurven gehörenden Äquivalenzklassen

{displaystyle k_{i}:[-epsilon , epsilon ] o M:rmapsto Kleft(x_{1}(p),ldots ,x_{i-1}(p),x_{i}(p) r,x_{ i 1}(p),ldots ,x_{m}(p)ight)}

bilden eine Grundlage für ${displaystyle T_{p}M}$ . Traditionell werden solche Basisvektoren mit der Notation ${displaystyle {teilweise über teilweise x_{i}}}$

Touch-Paket

Das Verband aller Tangentialräume

{displaystyle TMequiv igcup {T_{p}M|pin M}}

kann natürlich mit der Struktur von a . ausgestattet werden ${Anzeigestil 2m}$ -dimensionale glatte Sorte. Mit jeder Karte von ${Anzeigestil M}$ wird eine Karte von ${displaystyle TM}$ gebaut von den ersten ${displaystyle m}$ koordiniert einen Punkt von ${displaystyle p}$ die lassen angeben, und die folgenden ${displaystyle m}$ koordiniert einen Vektor relativ zur oben skizzierten Basis.

Die Vielfalt ${displaystyle TM}$ heißt der Tangentenbündel von ${Anzeigestil M}$ . Sie ist der Inbegriff des Konzepts Vektorbündel. Die getrennten Vektorräume ${displaystyle T_{p}M}$ sind die Ballaststoff von ${displaystyle TM}$ .

Ein glattes Bild von (einem Teil von) ${Anzeigestil M}$ zu ${displaystyle TM}$ dass jeder ${Displaystil-Pin M}$ bildet auf einen Vektor aus der entsprechenden Faser ab ${displaystyle T_{p}M}$ , wir nennen a Sektion von ${displaystyle TM}$ , ebenfalls Vektorfeld oder einfach (in der Physik etwas verwirrend) Vektor.

Coraakruimte und Coraaken-Bündel

Mit einem beliebigen Vektorraum ${Anzeigestil V}$ man assoziiert die dualer Vektorraum ${Displaystil V^{*}}$ welches besteht aus dem lineare Bilder von ${Anzeigestil V}$ zum Skalarkörper ${Anzeigestil K}$ .

Das Coraak-Zimmer von ${Anzeigestil M}$ im ${displaystyle p}$ , bemerkt ${displaystyle T_{p}^{*}M}$ , besteht aus den linearen Abbildungen von ${displaystyle T_{p}M}$ zu ${displaystyle mathbb {R} }$ .

Mit jeder Basis ${displaystyle {e_{1},ldots ,e_{n}}}$ aus einem endlichdimensionalen Vektorraum kommt eine natürliche Basis ${displaystyle {e_{1}^{*},ldots ,e_{n}^{*}}}$ für den dualen Vektorraum: der duale Basisvektor ${displaystyle e_{i}^{*}}$ zeigt den Basisvektor ${displaystyle e_{i}}$ off auf 1 und alle anderen Basisvektoren auf 0.

Die duale Basis von ${displaystyle T_{p}^{*}M}$ was der Basis entspricht ${displaystyle left{{partial over partielle x_{1}},cdots ,{partial over partielle x_{m}}ight}}$ von ${displaystyle T_{p}M}$ , wir stellen fest ${displaystyle left{dx_{1},cdots ,dx_{m}ight}}$ .

Die Vereinigung aller Coraak-Räume in den verschiedenen Punkten von ${Anzeigestil M}$ heißt der Corraking-Bündel von ${Anzeigestil M}$ und wird ${Displaystil T^{*}M}$ notiert. Er wird auch ein Naturtalent ${Anzeigestil 2m}$ -dimensionale Vielfalt (eigentlich a ${displaystyle m}$ -dimensional Vektorbündel Über ${Anzeigestil M}$ ). Seine Sektionen heißen Kovektorfelder oder Kovektoren.

Schlagen oder induziertes Bild

Jetzt sofort glattes Bild zwischen glatten Sorten ${displaystyle f:M oder N}$ kommt natürlich lineares Bild zwischen den Tangentialräumen ${displaystyle f_{p}^{*}:T_{p}M o T_{f(p)}N}$ Spiel. Dies kann auf zwei äquivalente Arten explizit definiert werden:

Ein Vektor ${displaystyle vin T_{p}M}$ ist per Definition eine Äquivalenzklasse von Kurven mit gleicher Geschwindigkeit in ${displaystyle p}$ . Durch Zusammensetzung mit ${displaystyle f}$ wir erhalten Kurven in ${Displaystil N}$ , und wegen der Kettenregel haben alle die gleiche geschwindigkeit? ${Anzeigestil f(p)}$ . Sie bestimmen also eine eindeutige Äquivalenzklasse, also einen Vektor in ${Displaystil T_{f(p)}N}$ . Es ist nicht schwer zu berechnen, dass dieser Zusammenhang linear ist.
Betrachten Sie Karten ${Anzeigestil (x^{i})}$ im ${displaystyle p}$ bzw. ${Anzeigestil (y^{j})}$ im ${Anzeigestil f(p)}$ . Die natürlichen Basen ${displaystyle left({partial over partial x^{1}},cdots ,{partial over partial x^{m}}ight)}$ und ${displaystyle left({partial over partial y^{1}},cdots ,{partial over partial y^{n}}ight)}$ bestimme lineare Isomorphismen einerseits zwischen ${displaystyle T_{p}M}$ und ${displaystyle mathbb {R} ^{m}}$ , andererseits zwischen ${Displaystil T_{f(p)}N}$ und ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ . Ausgedrückt in den entsprechenden Koordinatensystemen kommt mit ${displaystyle f}$ Ein Bild ${displaystyle { ilde {f}}=xcirc fcirc y^{-1}}$ von ${displaystyle mathbb {R} ^{m}}$ zu ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ , also sie Derivat ${displaystyle d{ilde{f}}}$ ist eine lineare Abbildung von ${displaystyle mathbb {R} ^{m}}$ zu ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ . Das berührendes Bild ist dann definiert als ${displaystyle f_{p}^{*}=(dx)^{-1}circ d{ ilde {f}}circ dy}$ .