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In einer Reihe von Teilbereichen der Mathematik, wie abstrakte Algebra, das Topologie und der Kategorientheorie, wird unter a . verstanden Einbettung von a mathematisches Objekt in einem anderen Objekt die Vorstellung dieses Objekts als Teil des umfassenden Objekts. Ein Beispiel in der Geometrie ist ein Kreis als Teil des Raumes oder im abstrakte Algebra ein Untergruppe, das Teil von a . ist Gruppe.

Definition

Das Einbettung eines mathematischen Objekts ${Anzeigestil X}$ in einem anderen Objekt ${Anzeigestil Y}$ ist gegeben durch a injektiv und strukturerhaltendes Bild ${Anzeigestil f:X oder Y}$. Die genaue Bedeutung von "strukturerhaltend" hängt von der Art der mathematischen Struktur ab, die die Objekte ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ besitzen. In der Terminologie der Kategorientheorie zum Beispiel wird ein texturerhaltendes Bild zu a Morphismus erwähnt.

Notation

Eine Einbettung wird oft durch einen "Häkelpfeil" angezeigt: ${displaystyle f:Xhookrightarrow Y.}$

Benutzen

Für gegebene Objekte ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ gibt es verschiedene einbettungen von ${Anzeigestil X}$ im ${Anzeigestil Y}$ möglich. In vielen interessanten Fällen gibt es eine standardmäßige (oder "kanonische") Einbettung, wie z natürliche Zahlen in dem ganze Zahlen, die ganzen Zahlen im Rationale Zahlen, die rationalen Zahlen im reale Nummern und die reellen Zahlen im komplexe Zahlen. In solchen Fällen ist es üblich, Domain${Anzeigestil X}$ sich mit ihr identifizieren Statue${Anzeigestil f(X)}$ im Rahmen ${Anzeigestil Y}$, damit dann gesagt werden kann ${displaystyle Xsubseteq Y.}$

Topologie und Geometrie

Hauptartikel zu diesem Thema: Topologische Einbettung

In dem allgemeine Topologie ist eine Einbettung a Homomorphismus auf seinem Statue. Genauer gesagt, a Bild${Anzeigestil f:X oder Y}$ zwischen den topologische Räume${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ eine Einbettung als ${displaystyle f}$ ein Homöomorphismus zwischen ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil f(X)}$ ergibt (wo ${Anzeigestil f(X)}$ ist ausgestattet mit dem Unterraumtopologie, die geerbt wird von ${Anzeigestil Y}$). Intuitiv gesprochen ist die Einbettung ${Anzeigestil f(X)}$ Es ist möglich ${Anzeigestil X}$ behandeln wie ein topologischer Unterraum von ${Anzeigestil Y}$. Jede Einbettung ist injektiv und kontinuierlich. Von jedem Bild, das injektiv, kontinuierlich und entweder Öffnen oder Geschlossen soll eine Einbettung sein. Es gibt jedoch auch Einbettungen, die weder offen noch geschlossen sind. Letzteres wird als Bild bezeichnet ${Anzeigestil f(X)}$ noch a Öffnen-, noch a geschlossene Sammlung im ${Anzeigestil Y}$ ist.