WikiDer > Kompakter Raum

In dem allgemeine und metrische Topologie, Teilbereiche innerhalb der Mathematik, ist ein kompakter Raum ein abstrakter Mathematiker Platz, in dem, wenn, intuitiv gesprochen, man unendlich Anzahl von "Schritten" in diesem Raum kann man beliebig nahe an jedem anderen Punkt in diesem Raum landen. EIN Geschlossen- und begrenztTeilmenge (so wie ein geschlossenes Intervall von a Rechteck) von a Euklidischer Raum ist daher kompakt, weil die Schritte schließlich gezwungen sind, in der Nähe eines Punktes der Menge zu konvergieren, ein Ergebnis, das als bekannt ist Satz von Bozen-Weierstraß, während der euklidische Raum selbst kein kompakter Raum ist, weil man unendlich viele gleichmäßige Schritte in jede beliebige Richtung machen kann, ohne jemals einem anderen Punkt im Raum sehr nahe zu kommen.

Typische Beispiele für kompakte Räume sind, abgesehen von den abgeschlossenen und beschränkten Teilmengen des euklidischen Raums, Räume, die nicht aus GeometerPunkte, aber aus Veranstaltungsräume existieren. Der Begriff kompakt wurde 1906 von Maurice Frechet als Destillat dieses Konzepts in die Mathematik eingeführt. Kompaktheit in diesem allgemeineren Sinne spielt eine äußerst wichtige Rolle in der mathematische Analyse, weil viele klassische und wichtige Theoreme aus der Analyse des 19. extreme Bewertunglässt sich leicht auf diese Situation verallgemeinern. Eine typische Anwendung wird durch die Arzelà-Ascoli . theorem und insbesondere die Peano . Existenzsatz, in der man als Grenzfall einer allgemeineren Konstruktion auf die Existenz einer Funktion mit einigen geforderten Eigenschaften schließen kann.

Mehrere äquivalente Kompaktheitsbegriffe wie sequentielle Kompaktheit und Grenzpunktkompaktheit, kann allgemein metrische Räume Werden entwickelt. Im Allgemeinen in topologische Räume die verschiedenen Begriffe der Kompaktheit sind jedoch nicht unbedingt äquivalent, und der nützlichste Begriff wurde 1929 von . eingeführt Pavel Alexandrov und Pavel Urysohn, beinhaltet die Existenz bestimmter endlichFamilien von offene Sammlungen, die den Raum "bedecken" in dem Sinne, dass jeder Punkt dieses Raums in einem ist Sammlung muss lügen, wer zu dieser Familie gehört. Diese subtilere Definition zeigt kompakte Räume als Verallgemeinerungen von endliche Mengen. In Räumen, die in diesem letzten Satz kompakt sind, ist es oft möglich, Informationen zusammenzuführen, die lokal gilt für; das ist in a Umfeld von jedem Punkt aus - in entsprechenden Aussagen, die im ganzen Raum gelten, und viele Thesen sind von dieser Art.

Einführung und Definition

Intuitiv gesprochen heißt ein Raum kompakt, wenn man unendlich viele "Schritte" in diesem Raum macht, und schließlich beliebig nahe an einem anderen Punkt dieses Raumes landet. Während Dame und Atmosphären also sei kompakt, sei Linien und Flugzeuge dies ist kein kompakter Raum, noch ist eine Scheibe oder eine Kugel mit einem fehlenden Punkt ein kompakter Raum. Im Falle einer Linie oder Ebene kann man in jede Richtung gleiche Schritte machen, ohne sich einem Punkt zu nähern; keiner dieser beiden Räume ist daher kompakt. Bei einer Scheibe oder Kugel mit fehlendem Punkt kann man sich ohne diesen Punkt jemals zum fehlenden Punkt bewegen innerhalb Raum zu nähern. Dies zeigt, dass die Scheibe oder Kugel mit einem fehlenden Punkt auch nicht kompakt ist.

Kompaktheit verallgemeinert viele wichtige Eigenschaften von Geschlossen und begrenzt Intervalle auf der echte Linie, also Intervalle der Form [ein, b] für die reale Nummernein und b. Jeder kontinuierliche Funktion, die auf einem kompakten Raum in eine geordnete Menge (mit der Bestelltopologie), da die reelle Gerade beschränkt ist. Verallgemeinert also den Satz in der in mathematische Analyse als die Extremumsatz bekannt für kompakte Räume. Auf diese Weise kann man viele wichtige Sätze in der Klasse der kompakten Räume beweisen, wo dies im Kontext nicht kompakter Räume nicht möglich ist.

Je nach Allgemeinheitsgrad können unterschiedliche Definitionen von Kompaktheit gelten. EIN Teilmenge des Euklidischer Raum heißt insbesondere kompakt, wenn a Geschlossen und beschränkte Menge ist. Dies impliziert, dass die Verwendung der Satz von Bozen-Weierstraß, das nur unendlich Warteschlange aus der sammlung Teilreihe hat, wer konvergiert zu einem Punkt in der Sammlung. Dies ist eine detailliertere Erklärung der Idee, "Schritte" in einem Raum zu machen. Mehrere äquivalente Begriffe der Kompaktheit, wie z sequentielle Kompaktheit und Grenzpunktkompaktheit kann generell metrische Räume Werden entwickelt.

Im Allgemeinen sind die verschiedenen Kompaktheitsbegriffe für topologische Räume jedoch nicht äquivalent, und der nützlichste Begriff der Kompaktheit - der ursprünglich Bi-Kompaktheit hieß - bringt Familien von offene Sammlungen mit ihnen, die den Raum in dem Sinne "bedecken", dass jeder Punkt des Raumes in einer Menge liegen muss, die Teil der Familie der Mengen ist. Konkret ist ein topologischer Raum kompakt, wenn, wenn eine Sammlung offener Mengen den Raum bedeckt, eine Untersammlung, die nur aus endlich vielen offenen Mengen besteht, auch den Raum bedeckt. Dass diese Form der Kompaktheit für abgeschlossene und beschränkte Teilmengen des euklidischen Raums gilt, nennt man Heine-Borel-Theorem. Wenn Kompaktheit auf diese Weise definiert wird, kann man oft lokal ist bekannt in a Umfeld von jedem Punkt des Raumes - bis hin zu Informationen, die global für den gesamten Raum gelten. Ein Beispiel für dieses Phänomen ist die Der Satz von Dirichlet, auf die dieses Prinzip ursprünglich angewendet wurde von Edward Heine, das a kontinuierliche Funktion in einem kompakten Intervall gleichmäßig durchgehend ist; hier ist Stetigkeit eine lokale Eigenschaft des Funktion und einheitliche Stetigkeit ist die entsprechende globale Eigenschaft.

Formal, a topologischer Raumkompakt angerufen, wenn jeder von ihr offene Abdeckungen ein endlichTeildeckung hast. Andernfalls ist ein solcher topologischer Raum nicht kompakt erwähnt. Explizit bedeutet dies, dass für jedes beliebige Sammlung

${displaystyle {U_{alpha }}_{alpha in A}}$

von offene Teilmengen von ${Anzeigestil X}$ so dass

${displaystyle X= igcup _{alpha in A}U_{alpha },}$

es gibt eine endliche Teilmenge ${Displaystil J}$ von ${Anzeigestil A}$ existiert damit

${displaystyle X= igcup _{iin J}U_{i}.}$

Einige Bereiche der Mathematik, wie z algebraische Geometrie, Verwendung unter dem Einfluss der Franzosen Bourbaki-Schule der Begriff "quasi-kompakt" für den allgemeinen Begriff und reservieren den Begriff "kompakter Raum" für topologische Räume, die beides sind Hausdorff Zimmer als "quasi-kompakte Räume". Eine einzelne kompakte Menge wird manchmal als a . bezeichnet kompaktum; zum Lateinzweite Deklination (Neutrum), die entsprechende Pluralform ist kompakta.

Historische Entwicklung

Im 19. Jahrhundert wurden erstmals verschiedene mathematische Eigenschaften verstanden, die später als Folgen der Kompaktheit angesehen wurden. Einerseits war Bernhard Bozen Beachten Sie, dass jede begrenzte Reihe von Punkten (z. B. in einer Linie oder in der Ebene) einem beliebigen anderen Punkt schließlich beliebig nahe kommen muss, was a . ist Grenzpunkt wird genannt. Bozens Beweis beruhte auf dem Methode der Bisektion: Die Zeile wurde in ein Intervall gelegt, das dann in zwei gleiche Intervalle geteilt wurde, und es wurde ein Teil ausgewählt, der unendlich viele Terme der Zeile enthielt. Dieser Vorgang könnte dann wiederholt werden, indem das resultierende kleinere Intervall in immer kleinere Teile unterteilt wird, bis der gewünschte Grenzpunkt erreicht ist. Die volle Bedeutung des Satzes von Bozen und seiner Beweismethode sollte sich erst fast 50 Jahre später durchsetzen, als dieser Satz von wiederentdeckt wurde Karl Weierstraße.^[1]

In den 1880er Jahren wurde klar, dass sich vergleichbare Ergebnisse mit dem Satz von Bolzano-Weierstraß formulieren lassen Funktionsräume statt nur für Zahlen oder geometrische Punkte. Die Idee, Funktionen als in sich abgeschlossene Punkte innerhalb eines verallgemeinerten Raumes zu denken, geht auf die Forschung von Giulio Ascoli und Cesare Arzela.^[2] Der Höhepunkt ihrer Ermittlungen, die Arzelà-Ascoli . theorem, war eine Verallgemeinerung des Satzes von Bozen-Weierstrass auf Familien von kontinuierliche Funktionen, die genauen Schlussfolgerungen, aus denen es möglich war, einheitlich konvergent Folge von Funktionen aus einer geeigneten Familie von Funktionen. Der einheitliche Grenzwert dieser Folge spielte dann genau die gleiche Rolle wie der Bozner „Grenzpunkt“.

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts begannen sich auf dem Gebiet der vergleichbare Ergebnisse mit denen von Arzelà und Ascoli anzuhäufen Integralgleichungen, wie recherchiert von David Hilbert und Erhard Schmidt. Für eine bestimmte Klasse von Grüne Funktionen ausgehend von Lösungen von Integralgleichungen hatte Schmidt gezeigt, dass eine dem Satz von Arzela-Ascoli analoge Eigenschaft im Sinne von gilt durchschnittliche Konvergenz - oder Konvergenz in dem, was zum "Hilbert-Raum" würde genannt. Dies führte schließlich zu der Vorstellung von a Kompaktantrieb als Ableger der allgemeinen Vorstellung von einem kompakten Raum. Es war Maurice Frechet, das in 1906 die Essenz des Gutes Bozen-Weierstrass destilliert und mit dem Begriff Kompaktheit kam mit Bezug auf dieses allgemeine Phänomen.

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts hatte sich durch die Erforschung der Kontinuum, welche Studie als "grundlegend für die rigorose Formulierung der Analyse" angesehen wurde. Im Jahr 1870 ließ Edward Heine sehe das a kontinuierliche Funktion tatsächlich auf einem geschlossenen und beschränkten Intervall definiert gleichmäßig durchgehend früher gewesen. Im Verlauf seines Beweises benutzte Heine ein Lemma, dass "für eine gewisse Überdeckung des Intervalls durch kleinere offene Intervalle es möglich war, eine endliche Anzahl von offenen Intervallen zu wählen, die das Intervall auch überdeckten". Die Bedeutung dieses Lemmas war 1895 anerkannt von Emile Borel und wurde 1895 von angenommen Pierre Cousine und in 1904 durch Henri Lebesgue zu beliebigen Intervallsammlungen verallgemeinert. Das Heine-Borel-Theorem, wie dieses Ergebnis heute bekannt ist, ist eine weitere spezielle Eigenschaft abgeschlossener und beschränkter Mengen reeller Zahlen.

Diese Eigenschaft war wichtig, weil sie Bedingung lokale Informationen über eine Menge (wie die Stetigkeit einer Funktion) zu globalen Informationen über die Menge (wie die gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion). Dieses Gefühl wurde 1904 von Lebesgue zum Ausdruck gebracht, der dieses Anwesen auch bei der Entwicklung des Lebesgue-Integral. Schließlich ist die russische Schule der Punktsammlungstopologie geführt von Pavel Alexandrov und Pavel Urysohn, den Begriff der Heine-Borel-Kompaktheit in einer Weise, die auf den modernen Begriff von a . angewendet werden könnte topologischer Raum. In einer Arbeit von 1929 zeigten Alexandrov und Urysohn, dass die von Fréchet formulierte frühere Version der Kompaktheit heute auch als (relative) sequentielle Kompaktheit genannt, unter den richtigen Bedingungen, aus der Version der Kompaktheit, die in Bezug auf die Existenz endlicher Teilhüllen formuliert ist. Es war dieser Begriff der Kompaktheit, der zum vorherrschenden Begriff wurde, weil er nicht nur eine stärkere Eigenschaft war, sondern auch, weil dieser Begriff mit einem Minimum an zusätzlichen technischen Anforderungen in einem allgemeineren Rahmen formuliert werden konnte, da dieser Begriff sich nur auf die Struktur stützte der offenen Mengen in einem Raum.

Beispiele

Beispiele aus der allgemeinen Topologie

• Jeder endlicher topologischer Raum, einschließlich der leere Sammlung, ist kompakt. Allgemeiner gesagt, jedes Zimmer mit a endliche Topologie (d.h. mit einer endlichen Zahl offene Sammlungen) kompakt; Dies betrifft insbesondere die triviale Topologie.
• Jeder Raum, den die kofinite Topologie trägt ist kompakt.
• Jeder lokal kompaktHausdorff-Raum kann in einen kompakten Raum umgewandelt werden, indem diesem Raum ein einzelner Punkt hinzugefügt wird. Dazu verwendet man die Alexandroff - Einpunktverdichtung. Die Einpunktverdichtung von R ist homöomorph zum Kreis${Displaystil S^{1}}$; die Einpunktverdichtung von R² ist homöomorph zur Atmosphäre ${Displaystil S^{2}}$. Mit der Einpunktkompaktifizierung kann man leicht kompakte Räume konstruieren, die keine Hausdorffräume sind. Dies kann erfolgen, indem mit einem Nicht-Hausdorff-Raum begonnen wird.
• Das Richter- oder Linksordnungstopologie auf jede begrenzte total bestellte Kollektion ist kompakt. Insbesondere die Sierpiński-Gebiet kompakt.
• Ein Leerzeichen R, dass die Topologie der unteren Grenze trägt, erfüllt die Eigenschaft, dass keine überabzählbare Menge kompakt ist.
• In dem zweite abzählbare Topologie auf R (oder jede andere unzählbare Sammlung), ist keine Single unendliche Sammlung kompakt.
• Keines der Leerzeichen in den beiden vorherigen Beispielen ist lokal kompakt, aber beide sind noch Lindelof Zimmer.

Fußnoten

Externe Links

• (und) Abzählbare Kompaktheit auf PlanetMath
• (und) Beispiele für kompakte Räume auf PlanetMath