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Variatierekening

Variationskonto ist Teil von Funktionsanalyse, das ist der Bereich der Mathematik die sich mit "Funktionen von Funktionen" beschäftigt. Das Variantenkonto sucht nach Funktionen, für die das betreffende Funktional ein has stationären Punkt hat, also maximal, ein Minimum oder ein Sattelpunkt. Die Variationsrechnung wurde im 18. Jahrhundert von Euler und Lagrange.

In vielen Fällen ist die gefundene allgemeine Lösung gegeben durch Euler-Lagrange-Gleichung, ein partielle Differentialgleichung.

Beispiele

Ein bekanntes Beispiel für eine Anwendung der Variationsrechnung findet sich in der Prinzip von Fermat, bei dem ein Lichtstrahl den kürzesten Weg zwischen zwei Punkten auf beiden Seiten einer Grenzfläche zweier optischer Medien mit unterschiedlichen Ausbreitungsgeschwindigkeiten "sucht". Eine gerade Linie zwischen diesen beiden Punkten ist nicht die schnellste, da im langsamen Medium „zu viel“ der Flugbahn zurückgelegt wird.

Ein schwierigeres Beispiel ist die Bestimmung der brachistochrone Kurve, zum Beispiel die Form einer Rampe, entlang der ein Geschoss am schnellsten hinunterrollen muss; eine schräge Gerade nach unten hat die kürzeste Weglänge, nutzt aber die Schwerkraft nicht voll aus.

Die Hauptanwendung der Variationsrechnung liegt wahrscheinlich im in Lagrange-Formalismus in der theoretischen Mechanik. Dies ist eine Ausarbeitung der Prinzip der kleinsten Wirkung.

Geschichte

Obwohl beide Isaac Newton wenn Gottfried Leibniz widmete sich dem Thema in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts[1], kann man sagen, dass die Variationsrechnung mit einem Problem der brachistochrone Kurve die 1696 von Johann Bernoullic. Das Thema hat sofort die Aufmerksamkeit auf sich gezogen Jakob Bernoullic und der Marquis de l'Hôpital, aber es war Leonhard Euler der als erster die Variationsrechnung von 1733 ausgearbeitet hat. Seine "Elementa calculi Variationum" gaben der Wissenschaft ihren Namen. Ebenfalls Lagrange leisteten wichtige Beiträge zum Variationskonto. legendre gab 1786 eine sonst nicht ganz befriedigende Methode zur Bestimmung von Maxima und Minima. Auch die Bestimmung von Maxima und Minima hat dazu beigetragen Vincenzo Brunaccia (1810), Carl Friedrich Gauß (1829), Simeon Poisson (1831), Michail Ostrogradskisk (1834) und Carl Jacobic (1837) Beiträge. Ein wichtiges allgemeines Werk ist das von Sarrus (1842), das in 1844 wurde verdickt und verbessert durch die Augustin Louis Cauchy.

Andere wertvolle Abhandlungen und Memoiren wurden geschrieben von Strauch (1849), Jellet (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858), und carll (1885). Das vielleicht wichtigste Werk des neunzehnten Jahrhunderts ist das von Karl Weierstraße. Seine berühmte Vorlesungsreihe zur Theorie ist bahnbrechend. Man kann argumentieren, dass er der erste war, der die Variationsrechnung auf eine feste und unbestreitbare Grundlage stellte. Es 20 und der 23.Hilberts Problem, erschienen 1900, provozierte eine Weiterentwicklung.[1] Im 20. Jahrhundert, David Hilbert, Emmy Noether, Leonida Tonelli, Henri Lebesgue und Jacques Hadamard wichtige Beiträge.[1]Marston Morse wendete die Variationsrechnung auf das an, was jetzt die Morsetheorie wird genannt.[2]Lev Pontryagin, Ralph Rockafellar und Clarke neue mathematische Werkzeuge für die Optimale Kontrolltheorie, eine Verallgemeinerung des Variationskontos.[2]

Fußnoten

  1. ↑ einbcvan Brunt, Bruce, Die Variationsrechnung. Jumper (2004). ISBN 0-387-40247-0 .
  2. ↑ einb[Ferguson, James] (2004). „Kurzer Überblick über die Geschichte der Variationsrechnung und ihre Anwendungen“. arXiv:arXiv:math/0402357.