Die ersten sechs Hermite-Polynome
In dem Mathematik sind die hermite polynome, benannt nach Charles Hermite, das Polynome die die Lösung von bilden Differentialgleichung von Hermite.
Differentialgleichung
Die Differentialgleichung von Hermite lautet:
.
Darin ist 
die Ordnung der Gleichung, a natürliche Zahl.
Diese Differentialgleichung findet Anwendung im Wahrscheinlichkeit.
Es gibt auch eine alternative Form, die häufiger in der Physik. Auf dieses Formular wird weiter unten gesondert eingegangen.
Die entsprechenden Hermite-Polynome sind definiert durch:
Die Hermite-Polynome können als Spezialfall der Laguerre-Polynome.
Rekursion
Die Hermite-Polynome sind im Folgenden rekursiv Beziehung:
,
Sie erfüllen außerdem:
,
Orthogonalität
Die Hermite-Polynome bilden a senkrecht System in Bezug auf die Innenprodukt:
,
also mit Gewichtsfunktion:
,
ein Faktor nach dem Wahrscheinlichkeitsdichte des Standardnormalverteilung.
Es gilt:
in welchem 
das kronecker delta ist, also gleich 1, wenn 
und sonst 0.
Alternativform
Die alternative Form des Differentialgleichung von Hermite ist:
.
Die entsprechenden Hermite-Polynome sind definiert durch:
Diese zweite Definition ist nicht vollständig Äquivalent mit dem ersten.
Die ersten 6 Hermite-Polynome sind:
Rekursion
Die Hermite-Polynome sind im Folgenden rekursiv Beziehung:
Sie erfüllen außerdem:
Orthogonalität
Die Hermite-Polynome bilden a senkrecht System in Bezug auf die Innenprodukt:
,
also mit Gewichtsfunktion:
.
Es gilt:
Siehe auch
