WikiDer > Ein Begriff

In dem Algebra ist ein ein Begriff, mononomisch oder Monom ein Polynom die nur aus einem besteht Begriff existiert, mit anderen Worten: es ist ein einziger Begriff Produkt von a Koeffizient mit einem oder mehreren positiven Kräfte von Variablen.

Rechtschreibung

Da keine Verwechslungen möglich sind, wird das Multiplikationszeichen in der Regel weggelassen. Der Koeffizient ${Anzeigestil 1}$ und der Exponent ${Anzeigestil 1}$ werden in der Regel weggelassen. So ${Displaystil 7ab}$ bedeutet: siebenmal das Veränderliche ${Anzeigestil a}$ (hoch ${Anzeigestil 1}$) mal die Variable ${displaystyle b}$ (auch an die Macht ${Anzeigestil 1}$). In diesem einen Term ist der Koeffizient gleich ${Anzeigestil 7}$ und halte die Veränderlichen aus ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ beides in erster Potenz.

Beispiele für einzelne Begriffe:

${Anzeigestil a,,a^{2},,7ab,,-5a^{2}b^{4}}$

Jedes Polynom ist eine Summe von Mononomen; zum Beispiel die Ausdruck

${Displaystil 5x^{3} 7x^{2}-2x-10}$

setzt sich aus folgenden Begriffen zusammen:

${Displaystil 5x^{3},,7x^{2},,-2x^{1},,-10x^{0}}$

Grad eines Semesters

Das Grad eines Mononoms ist die Summe der Exponenten in den Potenzen der Variablen. Einzelne Koeffizienten (ohne Variable) haben den Grad 0. Für das spezielle Mononom 0 werden unterschiedliche Konventionen verwendet: manchmal ist der Grad daraus bekannt ${Anzeigestil -1}$ komm schon, manchmal ${displaystyle -infty }$.

Der Grad des einen Begriffs ${displaystyle -5a^{2}b^{4}}$ entspricht ${Anzeigestil 2 4=6}$.

Der einzelne Exponent einer Variablen wird auch als Grad des Mononoms bezeichnet im das veränderbar. Der obige Term ist zweiten Grades in ${Anzeigestil a}$ und vom vierten Grad in ${displaystyle b}$. Der (Gesamt-)Grad des Mononoms ist also die Summe der Grade in allen Variablen separat. Kommt eine Variable im Einterm nicht vor, wird auch gesagt, dass der Einterm in dieser Variablen den Grad 0 hat.

Monoterm-Operationen een

Das entgegengesetzte Mononom ist das Mononom, das durch Ersetzen des Koeffizienten durch his with Gegenteil (inverses Element für die Ergänzung).

${displaystyle -left(7abight)=(-7)ab}$

Das Produkt zweier Mononome ist wieder ein Mononom. Der Grad des Produkts in einer gegebenen Variablen ist die Summe der Grade der einzelnen Mononome in derselben Variablen. Der Gesamtgrad des Produkts ist die Summe der Gesamtgrade der einzelnen Mononome.

${displaystyle left(7abight).left(-5a^{2}b^{4}ight)=(-35)a^{3}b^{5}}$

Die Summe zweier Mononome ist nicht immer ein Mononom: Dies geschieht nur, wenn jede Variable mit exakt gleichem Exponenten in beiden zu addierenden Mononomen vorkommt. Im anderen Fall wird das Ergebnis manchmal als Zweiterm bezeichnet. In jedem Fall ist die Summe von zwei oder mehr Mononomen immer ein Polynom.

${Displaystyle links(7abight) links(2abight)=9ab}$

${displaystyle left(7abight) left(a^{2}ight)=7ab a^{2}}$

In allen obigen Beispielen können die Klammern und der Punkt als Multiplikationszeichen weggelassen werden.

Alternative Definition

In Teilen der Literatur wird ein Mononom lediglich als ein Produkt von Variablen (also ohne die Koeffizienten). Nach dieser Konvention haben Mononome die folgende Eigenschaft.

Betrachtet man die Polynomring${displaystyle K[X_{1},,Punkte,X_{n}]}$ im ${displaystyle n}$ Variablen ${Displaystil X_{1},,Punkte,X_{n}}$ über einen Körper${Anzeigestil K,}$ wie ein Vektorraum Über ${Anzeigestil K}$, dann ist die Sammlung von einem Begriff a Base dieser Vektorräume.

Im speziellen Fall einer einzelnen Variablen ${Anzeigestil X,}$ besteht diese Basis aus den Mononomen

${displaystyle 1, X, X^{2}, X^{3}, ldots }$

Siehe auch

• Homogenes Polynom
• Hochtöner