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Die Gamma-Funktion ist in der gesamten komplexen Ebene meromorph

In dem Komplexe Funktionentheorie ist ein meromorphe Funktion auf einen offene Teilmenge${Anzeigestil D}$ von dem komplexe Ebene ein Funktion, die überall ist ${Anzeigestil D}$Holomorph ist mit Ausnahme von a Sammlung von isolierte Punkte, das Polen der Funktion. Der Name kommt von der Altgriechisch meros, μέρος, bedeutet Teil, dies im Gegensatz zu holos, ὅλος, was ganz bedeutet.

Jede meromorphe Funktion auf ${Anzeigestil D}$ kann ausgedrückt werden als Verhältnis zwischen zwei holomorphen Funktionen, mit der Nenner nicht konstant 0, definiert auf ${Anzeigestil D}$: die Pole liegen dann auf den Nullstellen des Nenners.

Intuitiv lässt sich eine meromorphe Funktion daher als Verhältnis zweier „wohlbehäbiger“ (holomorpher) Funktionen verstehen. Eine meromorphe Funktion verhält sich immer noch "wohlerzogen", außer an den Stellen, an denen der Nenner der Fraktur ist null. Dort nähert sich der Wert der Funktion unendlich.

Aus algebraischer Sicht, wenn ${Anzeigestil D}$kohärent ist, dann ist die Menge der meromorphen Funktionen die Quotientenfeld von dem Integritätsdomäne der Menge holomorpher Funktionen. Dies ist analog zu der Beziehung zwischen den Rationale Zahlen${displaystyle mathbb {Q} }$ und der ganze Zahlen${displaystyle mathbb {Z} }$.

Eigenschaften

Seit der Polen von einer meromorphen Funktion isoliert sind, gibt es höchstens eine zählbar Anzahl der Stangen. Das Sammlung der Pole können abzählbar unendlich sein, wie die Funktion

${displaystyle f(z)={frac {1}{sin z}}}$

Unter Verwendung von analytische Fortsetzung zu löschbare Singularitäten Um sie zu eliminieren, können meromorphe Funktionen addiert, subtrahiert, multipliziert werden und können, wenn ${Anzeigestil g(z)eq 0}$ ist auf a verbunden offene Teilmenge von ${Anzeigestil D}$, der Quotient ${Anzeigestil f/g}$ werden gebildet. Also wenn ${Anzeigestil D}$ kohärent ist, bilden die meromorphen Funktionen a Körper (NL) oder Feld (B), tatsächlich a Erweiterung des komplexe Zahlen.

Meromorphe Funktionen auf Riemann-Flächen abgebildet

Auf einen Riemann-Oberfläche ist jeder Punkt ein offenes Umfeld bitte das isomorph ist mit a offene Teilmenge von dem komplexe Ebene. Dies ermöglicht es, den Begriff einer meromorphen Funktion für jede Riemann-Fläche zu definieren.

wenn ${Anzeigestil D}$ das Ganze Riemann Atmosphäre dann ist der Körper/Körper der meromorphen Funktionen gleich dem Körper/Körper der rationalen Funktionen in einer Variablen über der komplexen Ebene, denn man kann beweisen dass jede meromorphe Funktion auf der Riemannschen Kugel rational ist. Dies ist ein Sonderfall des sogenannten „GAGA“-Prinzips.^[1]

Für jedes Riemann-Oberfläche ist eine meromorphe Funktion wie eine holomorphe Funktion, die auf die Riemann-Fläche abbildet und nicht konstant gleich ist ${displaystyle infty }$. Die Pole entsprechen den komplexen Zahlen, die abgebildet werden auf map ${displaystyle infty }$.

Auf einer nicht kompakten Riemann-Fläche kann jede meromorphe Funktion als Quotient zweier (global definierter) holomorpher Funktionen realisiert werden. Im Gegensatz dazu ist auf einer kompakten Riemannschen Fläche jede holomorphe Funktion konstant, während nichtkonstante meromorphe Funktionen immer existieren.

Meromorphe Funktionen auf a elliptische Kurve sind auch bekannt als elliptische Funktionen.

Höhere Abmessungen

In der Theorie von Funktionen komplexerer Variablen eine meromorphe Funktion ist lokal als Quotient zweier holomorpher Funktionen definiert. Beispielsweise, ${displaystyle f(z_{1},z_{2})=z_{1}/z_{2}}$ ist eine meromorphe Funktion auf dem zweidimensionalen Komplex affiner Raum. Hier gilt nicht mehr, dass jede meromorphe Funktion als holomorphe Funktion mit Werten im Riemann Atmosphäre betrachtet werden: Es gibt eine Menge von "Unbestimmtheit" von Co-Dimension zwei (im angegebenen Beispiel besteht diese Menge aus dem Ursprung (0,0)).

Anders als in einer Dimension, in den höheren Dimensionen komplexe Sorten, auf denen keine nichtkonstanten meromorphen Funktionen existieren, z.B. komplexeste Tori.

Beispiele

• Jeder rationale Funktion, wie

${displaystyle f(z)={frac {z^{3}-2z 10}{z^{5} 3z-1}}}$,

ist über die gesamte komplexe Ebene meromorph.

• Funktionen wie

${displaystyle f(z)={frac {e^{z}}{z}}}$ und ${displaystyle f(z)={frac {sin {z}}{(z-1)^{2}}}}$,

das Gamma-Funktion und der Riemann-Zeta-Funktion sind über die gesamte komplexe Ebene meromorph.

• Die Funktion

${displaystyle f(z)=e^{frac {1}{z}}}$

ist in der gesamten komplexen Ebene außer im Ursprung definiert. Der Ursprung ist jedoch kein Pol dieser Funktion, sondern a wesentliche Singularität. Daher ist diese Funktion in der gesamten komplexen Ebene nicht meromorph. Diese Funktion ist jedoch meromorph (sogar holomorph) auf ${displaystyle mathbb {C} setminus {0}}$.

• Ein bisschen in gleicher Weise hat die Funktion

${displaystyle f(z)={frac {z}{e^{z}-1}}}$

Singularitäten in allen Punkten der Form ${Anzeigestil z=2npi i}$ vor dem ${displaystyle nin mathbb {Z} }$. Diese Funktion ist jedoch überhaupt nicht meromorph ${displaystyle mathbb {C} }$, da die Singularität at ${Anzeigestil z=0}$ ein löschbare Singularität ist: ${displaystyle lim _{z o 0}f(z)=1}$.

Wenn wir dies "patchen", indem wir das definieren

${displaystyle {hat {f}}(z)={ egin{cases}f(z)&zeq 0,/1&z=0,end{cases}}}$

dann wäre die funktion ${displaystyle {Hut {f}}}$ haben nur polare Singularitäten und sind daher meromorph. Das können wir auch einfach sagen ${displaystyle f}$ Meromorph ist an ${displaystyle mathbb {C} setminus {0}}$.

• Das komplexer Logarithmus Funktion

${Anzeigestil f(z)=ln(z)}$

ist über die gesamte komplexe Ebene nicht meromorph, da die Funktion nicht auf einer Menge von . liegt isolierte Punkte na kann über die gesamte komplexe Ebene definiert werden.

• Die Funktion

${displaystyle f(z)={frac {1}{sin(1/z)}}}$

ist nicht in der gesamten Ebene meromorph, da der Punkt ${Anzeigestil z=0}$ ein Sammelpunkt ist von Polen und somit keine isolierte Singularität.

• Die Funktion

${displaystyle f(z)=sin {frac {1}{z}}}$

ist nicht meromorph, da sie eine wesentliche Singularität bei 0 hat.