WikiDer > Hessenberg-Matrix

In dem Lineare Algebra ist ein Hessenberg-Matrix ist ein Quadrat Matrix in welchem

• oder alle Elemente unterhalb der ersten unteren Diagonale sind null; dies wird als Oberhessen-Matrix bezeichnet;
• oder alle Elemente oberhalb der ersten oberen Diagonale sind gleich Null; dies wird als untere Hessenberg-Matrix bezeichnet.

In der Regel bedeutet eine Hessenberg-Matrix eine obere Hessenberg-Matrix.

Hessenberg-Matrizen sind nach dem deutschen Mathematiker benannt Karl Hessenberg (1904-1959).

Für eine oberhessenbergische Matrix ${displaystyle h}$ gilt:

${displaystyle h_{ij}=0}$ für alle ${Anzeigestil i> j 1}$.

Für eine niedere Hessenberg-Matrix ${displaystyle h}$ gilt:

${displaystyle h_{ij}=0}$ für alle ${displaystyle j>i 1}$.

Beispiel

${displaystyle { egin{bmatrix}1&4&2&3/3&4&1&7/0&2&3&4/0&0&1&3/end{bmatrix}}}$

eine obere Hessenberg-Matrix ist;

${displaystyle { start{bmatrix}1&2&0&0/5&2&3&0/3&4&3&7/5&6&1&1/end{bmatrix}}}$

ist eine niedere Hessenberg-Matrix.

Eigenschaften

Das transponierte Matrix einer unteren Hessenberg-Matrix ist eine obere Hessenberg-Matrix und umgekehrt.

Es Matrixprodukt einer Hessenberg-Matrix mit a Dreiecksmatrix ist auch eine Hessenberg-Matrix: wenn ${Anzeigestil A}$ ist eine obere Hessenberg-Matrix und ${Anzeigestil T}$ eine obere Dreiecksmatrix, dann ${displaystyle AT}$ und ${Anzeigestil TA}$ Oberhessenbergsche Matrizen.

EIN tridiagonale Matrix ist eine Matrix, die sowohl eine obere als auch eine untere Hessenberg-Matrix ist.

Anwendung

Eine besondere Rolle bei der Berechnung der . spielen die Hessenberg-Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix. Hessenberg stellte die nach ihm benannten Matrizen 1940 in einem Bericht der Institut für Praktische Mathematik zu Darmstadt, mit dem Titel "Behandlung linearer Eigenwertaufgaben mit Hilfe der Hamilton-Cayleyschen GleichungSeine Methode wurde später verallgemeinert von James Hardy Wilkinson in seinem Buch"Das algebraische Eigenwertproblemab 1965.

In Moler und Stewarts "QZ-Algorithmus"^[1] zur Lösung allgemeiner Eigenwertprobleme ${displaystyle Ax=lambda Bx}$, mit ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ allgemeine quadratische Matrizen, wird in einem ersten Schritt ${Anzeigestil A}$ reduziert auf eine obere Hessenberg-Matrix und ${Anzeigestil B}$ zu einer oberen Dreiecksmatrix um orthogonale Transformationen.^[2]